本章說明 WENO 算則應用於一維淺水波方程式，數值方法時間 離散採用三階時間準度之 TVD Runge-Kutta 積分法，空間離散則採 用差分式的守恆形式 WENO 算則(Vukovic and Sopta 2002)，搭配有限 體積法求解，並延續 2-3 節對差分式數值通量作更進一步的說明。
3-1 統御方程式
淺 水 波 方 程 式 ， 源 自 於 納 維 - 斯 托 克 斯 方 程 式 (navier-stokes equations)採水深積分的形式，並定義以下幾點以作簡化：(1)水平方 向的尺度遠大於垂直方向的尺度、(2)不可壓縮流、(3)忽略風力與柯 氏力的影響、(4)垂直壓力梯度採靜水壓力分佈、(5)在水平方向的底 床坡度變化極小、(6)在垂直方向的速度分佈為定值。
因此一維淺水波方程式守恆形式(conservation form )表示如下：
(3-1) ，
， (3-2) 其中 h 為水深(m)， q 為單寬流量(cms)，v = q/h 為流速(m/s)，z 為 底床高程(m)，n 為曼寧糙度，g 為重力加速度(m/s2)。另定義 Jacobian 矩陣 A：
(3-3)
上式所對應之特徵值有二：
、 (3-4) Jacobian 矩陣 A 的左、右特徵向量依上下式分為
、
，上
標 p 表示為運算矩陣中第 p 個位置，下標(i+1/2)意指格網 i 與i+1 之 交界面位置，而交界面位置之特徵速度及特徵向量以算數平均求解，
圖 3- 1 為計算格網示意圖。
圖 3- 1 計算格網示意圖
將(3-1)式中對流項移至等號右側，再以空間運算子 代表 對流項與源項兩項之和，表示如下：
(3-5) (3-6)
3-2 數值方法
3-2-1 時間離散
利用三階 TVD-Runge-Kutta 積分法，考慮半離散化(semi-descrete) 系統，將(3-5)式表為時間項之離散式後，其積分形式如下：
i i+1
i+1/2
(3-7)
3-2-2 空間離散
基於每個網格單元的局部通量平衡，本文採用空間離散與時間離 散分開處理的半離散有限體積法(finite volume method)。(3-5)式之空 間運算子部分 ，以有限體積法數值通量之格式表示：
(3-8)
式中 為源項通量， 、 為數值通量，計算採用五階的差分
式守恆形式 WENO 算則。(3-8)式說明格網左右交界面淨通量之和，
加上該格網之源項通量即為控制體積內物理量之變化，圖 3- 2 為數值 通量示意圖。
圖 3- 2 有限體積法之數值通量示意圖 Si
f -i-1/2
f +i-1/2
f -i+1/2 f +i+1/2
χi-1/2 χi χi+1/2 χi+1 χi-1
Fi-1/2 Fi+1/2
3-2-3 守恆形式差分式 WENO 算則
引用 Vukovic and Sopta (2002)之文獻，說明差分式守恆形式 WENO 算則之理論。依據(2-48)式可知差分型式包含一階與高階數值 通量的計算，以下分別介紹 LLF 算則與 RF 算則。
a. Lax-Friedrichs flux(LLF)算則：
一階通量的部份採
(3-9)
，為全計算域最大特徵速度之絕對值 高階通量則定義為
(3-10) 組合式(3-9)與式(3-10)可得完整之 LLF flux 算則：
(3-11) b. Roe flux(RF)算則：
一階通量的部份採
，
上式 則為：
(b)
同理依據特徵速度傳遞方向不同，分別選擇 LLF flux 及 RF flux
其中 ，G、Z 函數則依守恆律定義為：
(3-27)
(3-28) (3-27)式與(3-28)式中， 、 與 、 為對應其點位 1 與 2 之水深與底床高。
在原始的差分式 WENO 算則中，對流項(3-17)式中的權重依據 (3-18)與(3-19)式的 通量計算決定，為 形式；源項(3-24) 式的權重，則是以(3-25)式與(3-26)式的 通量為依據，為 形式。
而差分式守恆形式 WENO 算則依據結合 exact C (conservation) 性質，水體靜止時，則必滿足：
(3-29) 再結合了對流項與源項所對應的通量，權重皆以( )作為 新輸入通量計算決定，為 ( )的形式，因此重新定義(3-17) 式與(3-24)式：
(3-30) (3-31)
3-3 乾溼交界處理
淺水波方程式於數值計算中常含有源項，如應用於實際不規則地 形之淹水模擬時，對乾、濕交界之處理不可避免。當水流遇到高出水 面之地形時，水深變為零，在計算特徵速度時，分母有一水深 h 項，
計算到水深為零處，會產生發散問題。
本文參考 George (2004)之推導，其概念為先求解濕鋒之特徵速度，
再利用積分曲線推求乾鋒之特徵速度，如此可避免乾鋒水深為零處產 生之數值發散問題。
此外定義一最小水深容忍值 ， 之值可依模擬案例之尺度加 以選擇，由前一時刻計算所得之水深 h 與 比較，以判斷計算點之 乾溼狀況。若水深 h 大於 則該點屬於濕床情況，無頇任何處理即 可進行數值計算；當計算遇到水深為零或小於 時，則表示該點為 乾床狀態，需推求乾鋒之特徵速度。
當溼鋒由左至右傳遞至乾床，如圖 3- 5(a)所示，位置 i+1/2 之特 徵速度為：
(3-32) 反之溼鋒由右至左傳遞至乾床，如圖 3- 5(b)所示時，位置 i+1/2 之特徵速度為：
擬之數值解可分為兩組弱解，分為稀疏波解及震波解，兩解皆能滿足 方程式，這個不唯一性乃守恆律方程式的一個缺陷。因此本文參考 Einfeldt (1988)之熵修正概念，將(3-4)式之特徵速度修正如下：
(3-34) 其中 、 為 Roe Speed，藉由此修正式對震波解附加條件，
以篩選出具物理意義之解。
圖 3- 6 一維潰壩案例示意圖(上：起始水深、中：特徵速度 曲線群、
下：特徵速度 曲線群；實線扇形為稀疏波範圍，虛線為震波位置。)
(摘自 LeVeque 2002)