第 一 章 緒論
Equation Section 1
1.1 前言
土木工程廣義而言泛指一切與水、土、文化相關聯的民生基礎建設之計畫、
建造與維護。在土木工程學門眾多的分支方向當中，結構工程是一個非常龐大且 重要的研究領域。研究結構工程的人主在分析受到各種不同荷載及力作用下的結 構體行為，從建築結構、機械結構到汽車結構等都是結構工程師研究的對象。結 構工程的理論大多是建立於龐大的工程經驗的歸納，透過力學、物理規律的分析，
不同的環境因子、材料因子的研究，結構工程師們創造出許許多多簡單的結構構 件，再揉合經驗法則來一一組合成複雜的結構體。
結構工程師最基礎也最重要的研究之一，便是簡單獨立的結構構件，例如樑、
柱、版、牆、拱等等。一個好的結構設計必須要能夠確保大至結構整體，小到每 個結構元件都能夠安全正常地工作，不會有過度的變形或開裂，也不會有材料的 疲勞而致使失效或分離。而在將這些結構元件組合成整體的結構分析前，最重要 的便是掌握這些元件本身的物理性質以及不同的元件之間互相接合的介面性質。
例如一個簡單的樑桿件它會受到溫度、外力的變化而在內部產生不同的撓曲、彎 矩、剪力、扭轉甚至是整體的位移，它與其他結構元件的接合面可能是剛性接合，
也有可能是容許轉動的鉸接合與滾接合，每個不同的因素都會影響結構工程師對 於元件的掌握以及結構整體的設計規劃。
大多數的結構元件在進行模擬時最重要的部分，便是透過數值計算分析其中 的力學行為以及元件變化。藉由古典力學我們可以將這些內外力的交互作用寫成 方程式的形式，並且透過微積分了解不同力之間的關係，將這些不同的內外力整 理並系統化為我們常用的微分方程組作為對結構元件力學行為的分析。除此之外，
2
研究結構元件與其外部連結的形式還有這些連結元件所能夠傳遞的力與不能傳 遞的力，便會形成我們所須知的結構元件其接合面的束制條件(constrain)，將束 制條件與內外力的微分方程組相結合成一組邊界值問題，而此束制條件便是我們 的邊界。討論此問題在不同的接合面、受力、溫度以及材料特性等情況下結構元 件的力學行為、變化情形，讓我們可以更好地掌握結構元件的特性，也更好地對 整體結構行為做控制與預測。
將這些物理問題透過方程式或是矩陣等數學工具呈現，並且以簡單而精確的 數值計算方法來解決困難的物理問題，並且持續不斷地尋求更好、更逼真的模擬 及更迅速、更精確的數值計算方法，便是求解此類型問題的核心目標。而本文所 使用的李群打靶法，主旨便在解決具有 n 維線性、非線性邊界值問題的微分方程 組，將邊界值問題轉換為簡單的初始值問題並且用打靶法求解。
李群本身是一個微分流形，它給予這些方程組運算一個簡單的群構造與拓樸 流形，比起其他的演算法李群在求解微分方程的數值解時可以更好地保持其函數 原本的軌跡長度，並且有效地連結初始值、最終值還有各個導函數向量場，讓我 們的打靶計算更簡單、更有效率。
1.2 文獻回顧
樑振動問題在土木工程學門的研究已有長年的歷史，一般最常見的數值 模型便是以尤拉─白努力樑(Euler-Bernoulli beam)的振動問題之研究[1]，學者 Naguleswaran[2]則是對變軸力的樑模型進行研究。而對於群理論的研究，則早始 於 19 世紀初期的代數研究。在近代數學家中則有學者 Hall[32]為李群及李代數 的介紹而寫作著述，以及著名的美國學者 Lang[31]所編寫的教科書中亦有討論。
對於求解兩點邊界值問題，最常見的數值方法就是應用兩點相應線性的疊代 算法，例如有限元素法、有限差分法、級數解法、配置法(collocation method)與 簡單打靶法(simple shooting method)。而簡單打靶法更是其中最為容易的數值計
3
算方法，並且早已在 Kubicek and Hlavacek[3], Keller[4]跟 Ascher[5]等人的著述 中被廣為應用。簡單打靶法雖然是一個容易且有用的方法，但對於病態數值問題 (ill-posed problem)的求解則會產生不穩定及不準確的缺點，因此我們需要結合 一些初始值方法來解決，例如：利卡提法(Riccati method)[5]、穩定行進演算法(
stabilized marching method)、多重打靶法(multiple shooting method)或者是修正 簡單打靶法(modified simple shooting method)[6]等。
近年來，學者劉在打靶法的研究上有長足的突破[7]-[9]，藉由學者劉[10]的 保群算法(group preserving schemes, GPS)可以將常微分方程式的邊界值問題進 一步轉換為初始值問題並求解，而此方法則稱之為李群打靶法(Lie-group shooti ng method, LGSM)，並且由其運算結果可以發現此方法對於求解該類問題有非 常好的效果，深具發展潛力。
關於李群法(Lie-group method)在計算邊界值問題上，始於學者劉利用李群 的封閉性質而創造了一步保群算法(one-step group preserving schemes)[7]來連 結兩點邊界值，進而以打靶法求得數值解。但是該算法並不能隨意地應用在其他 的數值方法上，原因在於其必須利用到李群此種數學結構的特性。學者劉[11]首 先提出此問題，並以時間反向的伯格方程式(backward in time Burgers equation) 作為應用證明，爾後學者劉[12]與其他學者[13]也利用此算法建立一步估算法，
用以估算時變之熱導率問題，以及熱導率和熱容的物理性質[14][15]。並且在[16]
中透過李群打靶法以內部溫度來估算未知邊界條件的熱應力問題、以溫度梯度來 識別時變熱導率(time-dependent heat conductivity)問題。學者劉也以同樣的技巧 來求解史特姆─李奧維爾問題(Sturm-Liouville problems)的特徵值與特徵向量 [17]，以及應用在彈性力學的挫曲計算[18]。近年來則是以李群打靶法研究隨時間 變化的阻尼和勁度係數的反算振動問題[19][20]，還有多維度非線性邊界值問題 [21]等微分方程問題為主。
4
1.3 研究動機與目的
一般結構元件的模擬分析大多可以分成三大種類：
1. 直線元素(Linear elements) 2. 面元素(Surface elements) 3. 空間元素(Spatial elements)
其中直線元素便是我們最常用於連結兩個支承或是節點的結構元件，最常見的直
李奧維爾方程式(Fourth-order Generalized Sturm-Liouville equation)的形式，例 如：
5
夠求解更多更複雜的方程式類型不論是對於線性還是非線性的外力或是樑柱，並 且因為簡化李群元素與李代數的緣故，將李群打靶法在此類方程式上的指數映射 困難度降低，提高我們數值計算的效率，並且讓此類數值計算方法能夠更好地幫 助結構工程師做複雜結構元件的模擬與分析。
1.4 論文架構
本文將由五個章節來做論述：
第一章主要在於介紹關於彈性樑本身的撓曲與振動問題的背景與沿革，關於 此類型問題對於土木工程和結構工程的重要性，以及這些物理問題所寫成的數學 形式跟其接合點、斷面所對應的邊界值問題。在文獻回顧中也介紹了過去李群打 靶法的研究歷史和在此類型問題上的應用，以及最後希望藉由改良的李群元素與 李代數來推廣李群打靶法求解邊界值問題的研究目標。
第二章描述本文所使用的數值解法，其中包含了保群算法、一步保群算法、
李群 SL(4,R)打靶法與四階龍格─庫塔法等。保群算法的發展主要是用來求解初 始值問題，劉教授早在 2001 年便已經利用李群此一代數結構的特性建立了保群 算法，發展出可以在運算中持續保持長度量的增廣動態系統，並且以此系統為基 礎持續發展出了其後的一步保群算法、李群打靶法等多種數值計算方法。在不斷 的努力與研究之後，保群算法已不只用於求解初始值問題，而進一步拓展到多維 度的邊界值問題。而此一系列的算法中所會運用到的數學結構與假設，包括群特 性、李群、勞倫茲群、李代數、廣義中值定理、凱萊轉換式以及指數映射轉換等 等，也將一併在第二章中做詳細的說明。
6
第三章主要探討的是單維度下彈性樑系統的振動問題。將一個受外力荷載的 結構元件樑元素上，其每一個點位的內力作力平衡後推導其內力方程式，並且透 過多個方程式之間的微分關係建立合適的李代數數學結構來計算，並且探討關鍵 的李代數結構形式其指數映射轉換的方式，以及對於李群 SL(4,R)打靶法的優劣。
再推導簡化過的李代數求解同樣樑系統的微分方程組，最後探討在不同的樑節點 與支承上我們的樑元素其邊界條件的形式，和如何將李群 SL(4,R)打靶法應用於 我們的邊界值問題。
第四章將會以數個數值算例來檢驗我們的數值計算方法，首先透過簡單的樑 系統來驗證新的李群 SL(4,R)打靶法的可行性，並且觀察其打靶精度與運算效率，
還有與閉合解之間的誤差狀況。接著逐步加入不同的邊界條件、更複雜的外力函 數與非均勻的樑體來檢核同樣的打靶法。最後將其應用於同樣是樑系統的自由振 動特徵方程式上，觀察其在特徵值問題中的打靶表現，並且用打靶結果做出樑的 振動模態來判斷其是否合理，以及其精度、效率。
第五章為結論與未來展望，針對第四章中算例的結果進行討論與反思，分析 李群 SL(4,R)打靶法運用於各種不同的樑系統上的效果如何，並比較優劣性以期 能讓往後的研究更加地進步和優秀。
7