群

2.1.1 群的歷史

群理論的發展歷史可以追溯自三個數學領域：數論、代數方程理論和幾何學。

在數論中最早出現的群的概念始於萊昂哈德·尤拉(Leonhard Euler)對於正整數之 間的研究，接著在高斯(Gauss)對於同餘理論的著作《算術研究》(Disquistiones Arithmeticae)中亦運用並延伸了乘法群與加法群。爾後在十九世紀初，法國數學 家埃瓦里斯特·伽羅瓦(Évariste Galois)為了求解高於 4 次的多項式方程組，而引 進了數體的擴張、置換群、可解群等概念，也是此種代數結構首次被稱為「群」

(Group)。最後，則是在幾何學的發展中群論首次顯現出了它的重要性，菲利克 斯·克萊因(Felix Christian Klein)在 1872 年所發表的愛爾蘭根綱領，便是運用群 理論來建立雙曲幾何、射影幾何等不同的幾何學之間的聯繫關係，而馬里烏斯·

索菲斯·李(Marius Sophus Lie)更進一步發展了這些研究，在 1884 年創立了關於 李群的研究。

經過一系列的研究和發展，群的概念在 1870 年左右形成並牢固建立，現代 群論亦是一門非常活耀的數學學科。為了探索群，數學家們依照各種概念以及需 要來分割、定義群，形成眾多群的分支，包括李群、辛群、商群…等等更小、也 更容易理解與運用的群類。因為群所具有的數學性質相當抽象，數學家還從理論 觀點與數值計算觀點來研究如何具體地表示群所存在的形式與結構，進而有群表 示論(Group representation theory)的研究。而其中在有限群理論的部分發展地特 別豐富，自 1980 年代中葉至今，對有限單群的分類與研究一直都是群論特別活 耀的一個分支。

群在抽象代數中有非常重要的地位，其重要分支如線性代數群(Linear algebraic group)和李群(Lie group)在現今也已形成相對獨立的研究領域。

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2.1.2 群的定義

群是一種代數結構，乃是由一個元素集合與一個可結合兩個元素並形成第三 個元素之二元運算子所組成的一個完整的架構。一個群的架構必須滿足四項特性 條件，分別為封閉性、結合律、單位元素以及逆元素，這四個性質合起來也稱作

「群公理(Group axioms)」。首先我們定義一個群為集合 G，與一個運算子“⋅ ”，

它結合任意兩個元素 a 和 b 而形成另一個元素，記為 a⋅ b，則群公理可以用以下 的方式表述：

1. 封閉性：a∈G b, ∈G  a b⋅ =c  c∈G

對於集合 G 中的任意兩元素 a 與 b，進行運算 a b⋅ 的結果 c 也必存在於 此集合 G 之中。

2. 結合律：a b c, , ∈G  a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅( ) (a b c)

對於集合 G 中的所有元素a b, 與 c ，在不改變運算子“⋅ ”位置的情況 下，其運算的順序並不會改變運算結果。

3. 單位元素：a∈G, e∈G  a e⋅ = ⋅ =e a a

集合 G 中必存在一個單位元素 e，此元素與其他元素結合時，並不會改 變那些元素。

4. 逆元素：a d, , e∈G  a d⋅ = ⋅ =d a e

對於每個存在於集合 G 中的元素 a ，必存在一個元素 d 在與元素 a 進 行運算後會等於單位元素 e 。

值得注意的是，以上四種運算規則並不包含交換律，換句話說，在進行群運 算時，運算的次序是很重要的，將屬於集合 G 中的元素 a 與元素 b 結合，並不 一定會等同於元素 b 與元素 a 的結合，亦即： a b b a⋅ = ⋅ 並非恆成立的。當然能

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x= ⋅b a⁻1。同樣地，G 中亦存在方程式a y⋅ =b的唯一解y，透過將方程式左乘

以a⁻¹解得，即y=a⁻¹⋅ 。且此處的解 x 與解b ^y 並不會相等。則由此可以發現，

群中元素運算的乘法可以視為是一個對自身的雙射(bijection)運算。

有許多的數學系統都遵從以上這些公理，例如一組簡單的整數搭配我們所熟 悉的運算子加減乘除，便足以構成一個群。而若將群公理的公式由具體的群和運 算中抽象出來，便可以利用此種靈活的數學架構來處理起源於抽象代數或是其他 數學分支的實體，而在同時保留處理對象的本質結構、性質。

2.1.3 李群與李代數

西元 1884 年，挪威數學家索菲斯‧李(Sophus Lie)為了研究微分方程進而創 造了連續對稱理論，後人為了紀念他便以李群命名此種群。並且李群也在現今的 數值分析研究中佔有非常重要的地位。

在數學中，李群是具有群結構的流形(Manifold)，並且群中的加法運算和逆 元素運算均為是流形中的可解析映射。此處的流形是一種在數學中用於結束幾何 的模型，它在微觀的局部結構具有歐幾里得空間(Euclidean Space)的性質，此時 他的局部結構形式都是固定的；而在整體的結構上則是保持拓撲結構的特性，可 以有所變形。換言之，李群是一個在微觀上可以容納微分結構，並在整體上可以 接受局部擾動的群模型，是一種適合用於研究有需要考慮局部獨立擾動的數學或 是物理問題的群結構。

李群 G 的基本定義可以描述為：

1. G 為一具有有限維度的實解析光滑流形(或稱微分流形)，可以在其上進行微 分運算。

2. G 的二元運算與逆元素運算皆為解析映射，且其運算因子中的乘法運算映射

G G× → 與逆運算映射GG → 均滿足群公理，因而具有群的結構。 G 3. G 可以擁有無限個元素，且其可為時間之函數。

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另外，在數學上，李代數則是一種代數結構，主要用於研究像是李群與其他 微分流形之類的幾何對象。李代數同樣是數學家索菲斯‧李(Sophus Lie)在發展 連續對稱理論時，為研究無窮小變換的概念而引入的。過去也有文獻以無窮小群 (Infinitesimal Group)來指稱李代數。李代數是一個域(field)代數，在某個域F上 的向量空間 L，其二元運算可表示為：[ , ] :⋅ ⋅ L L× →L，稱之為李括號。李括號必 滿足下述的特性：

[1] 雙線性：

對域F中的所有純量及向量空間L中的所有元素：∀a b, ∈F, ∀x y z, , ∈L， 均滿足以下二式：

[ax+by z, ]=a x z[ , ]+b y z[ , ] (2.3) [ ,z ax+by]=a z x[ , ]+b z y[ , ] (2.4) [2] 交替性：

對向量空間L中的每一個元素： x L∈ ，均滿足此方程式：

[x, x]=0 (2.5)

[3] 雅可比恆等式(The Jacobi identity)：

對向量空間L中的每一個元素：x y z, , ∈L ，均滿足此方程式：

[ ,[ , ]] [ ,[ , ]] [ ,[x, y]]x y z + y z x + z =0 (2.6) 其首兩個條件雙線性與交替性亦包含反對稱性質：

對向量空間L中的每一個元素：x y, ∈L

[ , ]x y = −[ , ]y x (2.7)

而值得注意的是，用李括號來表示的乘法並不一定符合結合律，亦即[[ , ], ]x y z 與

[ ,[ , ]]x y z 並不一定相等。也因此李代數通常並非環結構或是結合代數結構。

李代數可以表示為李群在單位元素上的局部特徵，反之，藉著指數映射或源 自李代數的葉狀結構，我們亦可以將李代數的性質提昇到李群的層次。例如：連 通李群 G 是交換群，則若且唯若李代數 g 是交換李代數。

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2.1.4 特殊線性群

特殊線性群(Special Linear Group, SL)在數學中可以視為是一般線性群的 其中一個子群，故要解釋特殊線性群便必須由其母群一般線性群來定義：所謂的

n 次一般線性群是指在任何域 F 或是環 R 上一個帶有來自 F (或 R )的元素的 n n× 可逆矩陣的集合，和與之相伴的矩陣乘法作為群運算子，如此便構成了一個 群結構。而之所以命名為一般線性群是因為可逆矩陣的縱列是線性獨立的，因此 由此群所定義的向量、點位應是在一般線性位置上，且群中的矩陣也是在一般線 性位置上的點位做變換，所以必須規定矩陣的元素是何種類型。例如在實數集合 R 上的 n 次一般線性群是實數的 n n× 可逆矩陣的集合所構成的群，則我們會將 其寫成GL n R 或是( , ) GL R_n( )，縮寫為GL n 。 ( )

群GL n F 和它的子群通常也被稱作一般線性群或是矩陣群，這些群一般用( , ) 於向量/非向量的空間對稱研究，以及多項式的研究。而當一般線性群是位於實 數域上時，群GL n R 實際上便是( , ) n 維度的實數李群。另外，若² n≥2時，群

( , )

GL n F 是不能滿足交換律的，故並非阿貝爾群。

本文所使用的特殊線性群則是屬於一般線性群中的子群的一種，同樣地，在 任意域 F 或是環 R 上 n 次特殊線性群則可以寫作SL n F 。特殊線性群是指在一( , ) 般線性群中所有矩陣之行列式值皆為 1 的元素所組成的群，因為這些矩陣實際上 是由滿足一組多項式方程式的代數結構所映射而來，在沒有減根的情況下，由其 矩陣元素運算而得的行列式值會是 1。也因為此特性，所以實數域上的特殊線性 群SL n R 是一個可以保持體積和方向不變的( , ) R 的線性變換群。 ⁿ

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