縮短支線長度之時序限制安全區域的建構

在分群完成之後，接著要計算出暫存器的安全區域，這些安全區域的範圍，會與 暫存器之間的電路延遲以及時序限制有關。以下將說明如何將暫存器之間的傳遞延遲 進行分解，接著根據分解出的段落將原始的時序限制式進行改寫，再假定哪ㄧ個暫存 器位置會改變，得到不同表示形式的時序限制式，再根據這些不同表示形式對應到幾 何平面上的關係，計算出暫存器的安全區域。

圖 4-7 二個暫存器之間的參考點

i j

時脈來源端

前參考點(Pre-reference point)

後參考點(Post-reference point) 單一暫存器群集

D F B

K J I

連接暫存器群集 G H

E I

L M J

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首先，在暫存器 i 到暫存器 j 之間先定義出二個參考點，分別為前參考點與後參 考點，如圖 4-7 來表示暫存器 i 與暫存器 j 之間的關係。在暫存器 i 到暫存器 j 之間，

用前參考點(Pre-reference point)代表為暫存器 i 的下一個邏輯閘輸入的位置。後參考 點(Post-reference point)代表為暫存器 j 的前一個邏輯閘輸出的位置，這二個參考點也 代表了中間組合電路輸入點與輸出點的位置。

在電路延遲的部分，這二個暫存器之間的電路，可以分成三個段落，此三個段落 分別為：第一段為從暫存器 i 到前參考點的延遲時間、第二段為中間組合電路的延遲 時間(從前參考點到後參考點的延遲時間)以及第三段為後參考點到暫存器 j 的延遲時 間。在這三段之中，因為是暫存器之間的移動，只有與暫存器相連接的段落才會發生 延遲時間的改變，所以，中間組合電路的延遲時間是不會因為暫存器的移動而有所改 變。

時序限制式當中有二項條件限制，分別為準備時間的限制條件，代表了在電路中 最長路徑訊號的傳送能夠延遲時間的最大上限值，與保持時間的限制條件，代表了在 電路中最短路徑訊號能夠延遲時間的最小下限值。在原始的時序限制式當中，準備時 間與保持時間當中的最長傳遞延遲時間，以及最短傳遞延遲時間，可以根據前面所敘 述的，將此延遲時間的段落分成三個部份分別做計算。以下二式分別為原始的準備時 間與保持時間的時序限制式。其中C_p為時脈週期，T_i→j^dmax為二暫存器之間的最大傳遞 延遲時間，T_i→j^dmin為二暫存器之間的最小傳遞延遲時間，t_i為時脈訊號抵達暫存器 i 的 時間，tj為時脈訊號抵達暫存器 j 的時間，T_setup^j 為暫存器 j 的準備時間，T_hold^j 為暫存 器 j 的保持時間，為了簡化時序限制式的表示形式，假設暫存器的內部延遲已經計算 到T_i→j^dmax與T_i→j^dmin當中。

C_p - T_i→j^dmax + t_j - t_i ≥ T_setup^j T_i→j^dmin + t_i - t_j ≥ T_hold^j

在上面二個公式當中的T_i→j^dmax代表為二個暫存器之間傳遞延遲的最大延遲時間，

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經過分解後得到T_i→j^pre、T_i→j^max與T_i→j^post，T_i→j^pre代表為暫存器 i 到前參考點的延遲時間，T_i→j^max為

中間組合電路最大的延遲時間，T_i→j^post為後參考點到暫存器 j 的延遲時間。同樣地，T_i→j^dmin 代表為二個暫存器之間傳遞延遲的最小延遲時間，經過分解後可以得到T_i→j^pre、T_i→j^min與

T_i→j^post，其中T_i→j^min為中間組合電路最小的延遲時間，如圖 4-8 所示，將中間的組合電路 分解成三個段落的延遲時間總和。將中間傳遞延遲分解出的三部分改寫到時序限制式 當中的T_i→j^dmax與T_i→j^dmin，其餘的保持不變，得到以下二個將原始時序限制式分解的公式。

C_p - (T_i→j^pre + T_i→j^max + T_i→j^post) + t_j - t_i ≥ T_setup^j (T_i→j^pre + T_i→j^min + T_i→j^post) + t_i - t_j ≥ T_hold^j

圖 4-8 電路的分解

由於在暫存器移動的過程中，一次只會進行一個暫存器的移動，在此階段分別來 觀察暫存器 i 與暫存器 j 分別固定不動的狀況下所獲得的時序限制式。

首先，先假設暫存器 i 為固定不動，暫存器 j 為可移動，在暫存器 j 移動的過程 中，會改變時脈訊號抵達暫存器 j 的時間，並且從後參考點到暫存器 j 的延遲時間也 會改變，其他段落的延遲時間不會因為暫存器 j 的位置改變而受到影響，這些不變段 落的延遲時間視為常量，獲得以下二個公式：

C_p - (T_i→j^pre + T_i→j^max) - t_i - T_setup^j ≥ T_i→j^post - t_j T_i→j^post - t_j ≥ T_hold^j - (T_i→j^pre + T_i→j^min) - t_i

i j

T_i→j^max

T_i→j^min Cp

時脈訊號

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從上面二個公式當中可以觀察到，T_i→j^post與t_j這二個變動量延遲時間的差值，會落 在一個固定的常量範圍內。接著，若假設暫存器 j 為固定不動的暫存器，暫存器 i 可 移動，此時在暫存器 i 移動的過程中，會改變時脈訊號抵達暫存器 i 的時間，並且從 暫存器 i 到前參考點的延遲時間也會改變，同樣地，其他段落的延遲時間也不會因為 暫存器 i 的位置改變而受到影響，這些不變的段落視為常量，跟前述固定暫存器 i 的 做法相同，將時序限制式當中的變數與常量分開放置於不等式的二側，獲得以下二個 公式：

C_p - (T_i→j^post + T_i→j^max) + t_j - T_setup^j ≥ T_i→j^pre + t_i

T_i→j^pre + t_i ≥ T_hold^j - (T_i→j^post + T_i→j^min) + t_j

從上面二個公式當中可以觀察到，這二個變動量延遲時間的總和會落在一個固定 的常量範圍之內，由於延遲時間可以藉由導線的延遲時間計算得到，並且導線延遲是 由導線的長度所計算出，所以可以藉由導線的長度來替代延遲時間的關係，因此以下 就分別探討在平面上二個固定點與一個移動點，在這一個移動點到二個固定點的距離 總和以及距離差值落在一個範圍內所形成的幾何圖形。

在圖 4-9 當中將此公式應用於三個暫存器 FF_i、FF_j與 FF_k之間的關係，因為一次 只會移動一個暫存器，其他的暫存器被假設為固定不動，以下先找出當暫存器 FFj為 目的端時可以移動的範圍，接著在找出當暫存器為來源端時可以移動的範圍，而合法 的移動範圍為必頇同時落在上述的二個範圍之內。

在考慮三個暫存器之間的關係中，首先，先看暫存器 FF_i到 FF_j之間的關係。在 在這三個暫存器 FFi、FFj以及 FFk中，假設暫存器 FFj為一個可移動的點，在 FFi到 FF_j之間的後參考點(將此點標示為 BRP_i,j)和暫存器 FF_j連接到網格上的點(將此點標示 為 CPj)是不動的，以下分別來討論在尤拉平面與曼哈頓平面中，二個固定點與一個可 移動點之間的關係。

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圖 4-9 在縮短支線長度階段暫存器 FF_i到暫存器 FF_j之間的參考點

下圖 4-10 中，標示了 A、B、C 三點的位置座標，A 點為(x₁, y1) B 點為(x2, y2) C 點為(x₀, y₀)。在此階段當中要討論的是一個移動點到二個固定點的距離差的關係，因 此假設移動點 C 到固定點 A 的距離減掉移動點 C 到固定點 B 的距離為一個常數 d，

也就是線段AC - BC = d，以下分別探討在尤拉平面與曼哈頓平面當中 C 點所形成的 點集合。

圖4-10 距離差關係：二個固定點 A、B 與移動點 C 之示意圖

在尤拉平面當中，二點(x_a, y_a)與(x_b, y_b)間的距離運算為√(x_a - x_b)² + (y_a - y_b)²，因 此 在 C 點 與 到 A 和 B 二 點 的 距 離 差 為 d 的 表 示 運 算 式 ， 可 以 表 示 為

√(x₀- x₁)² + (y₀- y₁)² - √(x₀- x₂)² + (y₀- y₂)² = d。

當 d = 0 時，此時√(x₀ - x₁)² + (y₀ - y₁)² = √(x₀ - x₂)² + (y₀ - y₂)²，代表線段 AC = BC，因此在平面上的△ABC 會形成一個等腰三角形，在滿足所有此條件下，C

A(x1, y1)

C(x0, y0)

B(x2, y2) FFi FFj

FFk

BRPi,j CPj

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點所形成的點集合，會是一個AB的中垂線。如下圖 4-11，在AB的中垂線上任意一點 到 A 點與到 B 點的距離皆相等，可以做為移動點 C。

圖4-11 在尤拉平面中所形成的中垂線點集合

當 d ≠ 0 時 ， 此 時 √(x₀ - x₁)² + (y₀ - y₁)² > √(x₀ - x₂)² + (y₀ - y₂)² ， 或 者

√(x₀ - x₁)² + (y₀ - y₁)² < √(x₀ - x₂)² + (y₀ - y₂)²，代表線段AC > BC或者AC < BC，此 時，在平面上會形成一個半曲線，當AC > BC此時該半曲線會較接近於 B 點，所形成 的半曲線會類似於下圖 4-12，相反的，當AC < BC此時該半曲線則是會較接近於 A點。

圖4-12 在尤拉平面中所形成的半曲線點集合

在曼哈頓平面當中，在二點(x_a, y_a)與(x_b, y_b)間的距離運算為|x_a - x_b| + |y_a - y_b|，因 此 在 C 點 與 到 A 和 B 二 點 的 距 離 差 為 d 的 表 示 運 算 式 ， 可 以 表 示 為 (|x₁ - x₀| + |y₁ - y₀|) - (|x₂ - x₀| + |y₂ - y₀|) = d。

首先，先以線段AB為對角線，形成一個矩形，在矩形內的任意一點 C 到 A 點與

B(x2, y2) C(x0, y0)

A(x1, y1)

B(x2, y2) C(x0, y0)

A(x1, y1)

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到 B 點的距離和為AB線段的長度，因此，根據上述條件可以得到二個運算式，分別 為AC + BC = AB以及AC - BC = d，從此二關係式可以得到AC = (AB + d) / 2，因此，

在此關係中 C 點的點集合，會在AB所形成的矩形內形成一個線段，該線段上的點到 A 點的距離為(AB + d) 2⁄ ，在矩形外則是會形成二條直線，如下圖 4-13，C 點的點集 合會在以AB為對角線所形成的矩形內形成一條線段，在矩形外則是會形成二條直線。

圖4-13 在曼哈頓平面中所形成的三個區段點集合

暫存器 FF_i 到暫存器 FF_j 之間的時序限制式為T_hold^j - (T_i→j^pre + T_i→j^min) - t_i ≤ T_i→j^post - t_j ≤ C_p- (T_i→j^pre + T_i→j^max) - t_i - T_setup^j ，將 U₁ 設為C_p - (T_i→j^pre + T_i→j^max) - t_i - T_setup^j ，L₁ 設為T_hold^j -

(T_i→j^pre + T_i→j^min) - t_i，因此可以得到L₁ ≤ T_i→j^post - t_j ≤ U₁，T_i→j^post為 BRPi,j到 FFj的距離所產生 的延遲，t_j為 CPj到 FFj的距離所產生的延遲。在下限值 L1的部分會形成距離 BRPi,j

為(BRP_i,jCP_j + L₁) 2⁄ 的線段與直線的界線，在上限值 U1的部分會形成距離 BRPi,j為 (BRP_i,jCP_j + U₁) / 2的線段與直線的界線。如圖 4-14 為在這二個界線之間所形成的區 域。

圖4-14 在二個界線之間所形成的範圍 BRPi,j

CPj

B(x2, y2)

A(x1, y1)

C(x0, y0)

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在圖 4-15 中，有三個暫存器 FF_i、FF_j以及 FF_k，當考慮為 FF_j到 FF_k之間的關係 時，假設 FF_j為一個可移動的點，在 FF_j到 FF_k之間的前參考點(將此點標示為 ARP_j,k) 和 FF_j連接到網格上的點(將此點標示為 CP_j)是固定不動的，以下來討論二個固定點與 一個可移動點之間的關係。

圖 4-15 暫存器FFj到暫存器FFk之間的參考點

圖 4-16 中，標示了 A、B 與 C 三點的位置座標，A 點為(x₁, y₁)，B 點為(x₂, y₂)，

C 點為(x0, y0)。在此階段當中要討論的是一個移動點到二個固定點的距離和的關係，

因此假設移動點 C 到固定點 A 的距離加上移動點 C 到固定點 B 的距離為一個常數 d，

也就是線段AC加上BC等於一個常數 d，以下分別探討在尤拉平面與曼哈頓平面當中 C 點所形成的點集合。

圖4-16 距離和關係：二個固定點 A、B 與移動點 C 之示意圖 A(x1, y1)

B(x2, y2) C(x0, y0)

FFi FFj

FFk

ARPj,k

CPj

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在尤拉平面當中，C 點與到 A 和 B 二點的距離和為 d 的表示運算式，可以表示 為√(x₀- x₁)² + (y₀- y₁)² + √(x₀- x₂)² + (y₀- y₂)² = d。

當 d = AB線段時，此時AC + BC = AB，而只有當 C 點落在AB線段上時，才會使 得AC + BC = AB，因此當d = AB時，此時所形成的點集合為AB線段。

當 d > AB線段時，代表了 C 點要到二個固定點距離總和為 d 的所有點，而此特 性也正好符合橢圓的定義，在橢圓上的任意一點到二個焦點的距離總和皆相等，而此 二焦點就代表這二個固定點，橢圓上的點就代表可移動的點，因此當d > AB時，此時 所形成的點集合為一個以 A 點和 B 點為焦點，焦半徑總和為 d 的橢圓。

如下圖 4-17，為以 A 點和 B 點為焦點所形成的橢圓，並且二個焦半徑AC和BC的 總和為 d，因為橢圓的特性，使得在該橢圓上的點到 A 點與到 B 點的距離總和相等。

圖4-17 在尤拉平面中所形成的橢圓外圍點集合

在曼哈頓平面當中，C 點與到 A 和 B 二點的距離和為 d 的表示運算式，可以表 示為(|x₁ - x₀| + |y₁ - y₀|) + (|x₂ - x₀| + |y₂ - y₀|) = d。

以AB為對角線形成一個矩形，在矩形內部的任意一點 C 到 A 點與 B 點的距離總 和為 d，在此關係中的 C 點座標，當 d = AB的長度時，此時點集合為線段AB所形成 的矩形。

當 d > AB時，從矩形向外延伸出一點 p，假設該點到矩形的最近距離為點p'，在 矩形外一點 p 到 A 和 B 二點的距離總和為pp' + Ap' + pp' + Bp'，因為p'為矩形上的點，

因此Ap' + Bp' = AB，最後得到此距離總和d = 2 × pp' + AB。

B(x2, y2) C(x0, y0)

A(x1, y1)

AC + BC = d