本章將探討懸臂樑共振時，其各個能量散失機制，隨著環境壓力及結構的不 同，其散失機制可分為外在(extrinsic)及內在(intrinsic)來源，藉由瞭解其機制，我 們便能來計算品質因子(quality factor, Q)的大小。
Q 值的物理意義為儲存能量的能力，即為懸臂樑總能量與一個震盪週期散失 能量的比值，其數學表示式如下
(2-36)
小振幅操作下的簡諧運動模型，由式(2-19)推導，我們也可定義出 Q 值，如下所 示
(2-37)
其中無因次參數 為阻尼比(damping ratio)，其值的大小直接決定了 Q 值的高低。量測上，Q 值約略可由共振頻率，與強度減為-3dB 的半高寬之比值[20]
來決定，如下所示
(2-38)
由於 Q 值同時由多個能量散失機制所影響，必須考慮多個 Q 值的總和，其計算 方式如下
(2-39)
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2.2.1 外在損耗
外在損耗主要是由環境的介質所造成，對我們的操作方式來說，其介質便是 空氣，而空氣阻尼(air damping)又可分為獨立面阻尼(iso-plate damping)與壓縮面 阻尼(squeeze damping)，這兩者個差異於前者將空氣視為不可壓縮，適用於懸臂 樑運動方向上無鄰近的平面，後者考慮了空氣的壓縮性，適用於懸臂樑距離基板 很近，也就是小縫隙(gap)的情況。
能量損耗依據不同的壓力下，可分為三個區域，一為傳統上壓力約小於 1 Pa 前的本質區(intrinsic region)，此區主要為內部損耗主宰；二為傳統上壓力約於 1 Pa 到 10 Pa 之間的分子區(molecular region)，此區空氣阻尼造成的外部損耗影響 浮現；三為傳統上壓力約大於 10 Pa 後的黏質區(viscous region)，此區空氣影響 比前一區更為明顯，因此在 molecular 以及 viscous region 必須考慮空氣所造成的 損耗。
首先是 molecular region 下 iso-plate damping 的情況，圖 2.7(a)為元件示意圖 以及幾何結構的各項參數，在此壓力下，能量損耗可由氣體動力學計算，其 Q 值[21]可表示為
(2-40)
其中ρ、h 以及 ω 為懸臂樑的密度、厚度以及共振角頻率，R 為理想氣體常數，
T 為溫度，M 為空氣莫耳重，p 為空氣壓力。
接著是 molecular region 下 squeeze damping 的情況，圖 2.7(b)為元件示意圖 以及幾何結構的各項參數，可以看到懸臂樑的運動方向上，上半部無鄰近平面，
為 iso-plate damping 主宰，根據 Christian’s model 其 Q 值[22]可表示為
(2-41)
下半部有鄰近平面，為 squeeze damping 主宰，根據 Bao’s model 其 Q 值[22]可表 示為
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(2-42)
其中 l 為懸臂樑的長度，g 為 gap 的距離。考慮整體懸臂樑的 Q 值[22]，其計算 方式如下
(2-43)
綜合上述可知，在 molecular region 下，iso-plate damping 與 squeeze damping 的 Q 值與壓力的關係可表示為
(2-44)
(2-45)
其中 Cmo,iso與 Cmo,sq為其他非壓力相關的項之乘積。
圖 2.7、元件示意圖 (a)iso-plate (b)squeeze film 基板
固定端
懸臂樑 震動方向
l h
g b
固定端 懸臂樑 震動方向
l h
b
(a)
(b)
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再者是 viscous region 下 iso-plate damping 的情況，我們可由流體力學中的 Navier-Stokes equation，加上球狀近似來推得 Q 值[23]表示式如下
(2-46)
其中μ0為理想氣體在標準溫度壓力(STP)下的空氣黏度係數(viscusity)。
最後是 viscous region 下 squeeze damping 的情況，其 Q 值[22]表示式如下
(2-47)
其中μ 為壓力相關的空氣黏度係數，計算方式如下
(2-48)
其中 (2-49)
而 (2-50)
Kn為克努森數(knudsen number)， 為空氣的平均自由路徑(MFP)， 0及 p0分 別為 STP 下的 MFP 及壓力。綜合上述可知，在 viscous region 下，iso-plate damping 與 squeeze damping 的 Q 值與壓力的關係可表示為
(2-51)
(2-52)
其中 Cvi,iso與 Cvi,sq為其他非壓力相關的項之乘積。
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2.2.2 內在損耗
內在損耗主要是由固定端損耗(clamping loss)以及熱彈力阻尼(thermoelastic damping, TED)造成，前者的緣由是儲存在懸臂樑上的聲波能量，藉由固定端散 逸至基板；後者的緣由是懸臂樑彎曲時，一面受到壓縮力，另一面受到張力，體 積的改變導致了溫度的梯度，在熱平衡的驅使下產生反方向的恢復力，而使能量 損耗。
根據寬度為無限長的半平面模型，可計算出固定端損耗造成的 Q 值[23]為
(2-53)
其中β 為 2.1，在不同的模型計算下，此係數將略有差異。再根據 Zener’s model，
可計算出熱彈力阻尼造成的 Q 值[23]為
(2-54)
其中
(2-55)
Cp、α 以及 κth分別為懸臂樑的比熱、線熱膨脹係數以及熱傳導係數。
一般而言，固定端損耗的影響會大於熱彈力阻尼，除非操作頻率很高，如 100 MHz 以上，能量散失才有可能是由熱彈力阻尼主宰。
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