第二章 藍光雷射的基本原理
2.3 腔內倍頻的探討
隨著低損耗、高損害閥值鍍膜技術之快速發展，使腔內倍頻成為 可能，如此大幅提昇了倍頻轉換效率，也減少雷射系統的體積，提昇
其實用性，本節將介紹腔內倍頻技術，並討論影響倍頻效率的原因。
腔內倍頻的原理
自 1960 年雷射被發明後，科學家藉由其高強度特性發現大量非 線性光學現象。1961 年 Franken 等科學家以紅寶石雷射光束通過石英 晶體(quartz crystal)，產生紅寶石雷射兩倍頻率的紫外光[22]，倍頻技 術首先呈現在世人面前。
倍頻，或是二次諧波產生(second harmonic generation, SHG)，是 產生一種頻率為基頻光兩倍，波長減半的技術。因為現在還有很多波 段並無法直接吸收放光產生，因此倍頻在非線性光學中，是相當重要 的一環。
當 光 束 入 射 介 電 質 材 料 (dielectric material) ， 價 電 子 (valence electrons)因受入射光電場擾動而偏離原來的軌道產生偶極矩(dipole moment)，其單位體積的平均偶極矩稱之為極化(polarization)。
非線性晶體中，光電場 E 與感應極化 P 的關係可以下式表示：
ε
0：真空介電係數(vacuum permittivity)χ
：線性電化率(linear susceptibility)在入射光強度很弱時，電場很小，這時可以將 2.2 式高次項省略，
總感應的極化量 P 為 P(1)=
ε
0χ
E。此時光電場 E 和感應極化 P 兩者呈 現線性關係，這種情況的光學現象通常稱為線性光學現象。但是在入 射光很強時，除了考慮線性感應，也必須考慮非線性感應，即 2.2 式....
P P
P
P
=
(1)+
(2)+
(3)+
NL 0
χ
E+
Pε
=
(2.2)高次項不可省略，非線性感應極化為 PNL之和，其中 PNL是 P(2)與 P(3) ､ P(4)……等項之和。
而倍頻即是兩個頻率同樣是
ω
的基頻電場在非線性晶體中轉換 成 2ω
的倍頻電場，我們可以表示 P(2)可表示為其中d( )2ù 為晶體的光學非線性係數(nonlinear optical coefficient)，
假設光波為無限大的平面波且不考慮倍頻晶體的邊界問題時，將(2.3)
∆
k：相位不匹配(phase mismatch)程度 (permeability)腔內倍頻原理如下，若輸出透鏡的反射率為 R，腔內光功率將是 velocity)於晶體內行進，稱之為相位匹配(phase matching)。
由 (2.5)式雷射波長及倍頻晶體確定時，K 是一個常數。當我們
一般達成相位匹配的方法可分為 CPM(critical phase matching)與 NCPM(non-critical phase matching)兩類。
如圖 2.8 (a) 所示，CPM 指的是以一特定入射角角度
θ
，利用晶
(B) 可接受角：
實際上光束在傳播時有一定的發散角(beam divergence angle)，即 使基頻光以相位匹配的角度入射，基頻光在倍頻晶體傳播時，因為發 散角關係將慢慢偏離相位匹配的角度，因此要是倍頻晶體長度越長，
越到後面相位匹配的程度就會越差，轉換效率也越低。
而透過聚焦雖可提高入射光的功率密度，但因發散角相對變大，
相位匹配程度變差，因此未必能提高轉換效率。
因此一般定義可接受角(full angle at half maximum, FAHM)
∆θ
為 轉換效率降為最大值 1/2 時偏離的角度，如圖 2.10 所示。圖 2.9 LBO NCPM 溫度對波長關係圖
type I
type II
圖 2.10 可接受角(FAHM)示意圖
(C) 溫度頻寬：
當倍頻晶體的溫度發生變化造成折射率改變，將導致相位匹配的 程度變差，可知倍頻轉換效率也將受限於倍頻晶體的溫度頻寬。晶體 本身溫度頻寬越小，這時必須對倍頻晶體作溫度控制，以保有最佳的 倍頻轉換效率。
(D)產生藍光倍頻晶體：
依照雷射系統的需求，選擇適當的倍頻晶體，是產生高效率倍頻 的重要條件。因此我們將常用產生藍光的倍頻晶體， 整理成一表格 (表 2-3)，並介紹非線性係數、可接受角、溫度頻寬 … … 等 [23],[24]。
我們這裡以β-BBO 在 type I 的相位匹配舉例，定義
θ
與ϕ
θ 為行進方向 K 與光軸 z 的夾角
ϕ 為行進方向 K 在 xy 平面投影與 x 軸的夾角
而圖 2.12、2.13、2.14，為實驗上使用 KNbO3、LBO 及β-BBO 三種產生藍光的倍頻晶體，其波長對非線性係數、波長對相位匹
K z
y x
θ ϕ
圖 2.11 θ 與
ϕ
的定義表 2-3 產生藍光倍頻晶體在 946 nm 下特性比較
SHG Crystal β-BBO KNbO3 LBO LiIO3 CBO
Phase-matching
Type Type I Type II Type I (NCPM)
Type I
(NCPM) Type I Type II Type II (NCPM) Phase-matching angle
(deg.) Acceptance angle
(mrad-cm) Nonlinear coefficient
(w.r.t. KDP)
3.74
2.40 27.36 2.53 9.49 0.3 2.81*Temperature bandwidth
(℃-cm)
55
N/A 0.3 4 N/A N/A N/ASpectral acceptance
(nm-cm) 0.61 0.66 0.08 1.02 0.2 0.23 0.72 Walk-off angle
(deg.) 3.44 4.16 2.68 0.65 4.59 4.59 0.8 Others Uniaxial Crystal Biaxial
Crystal
Biaxial
Crystal Uniaxial Crystal Biaxial Crystal PS :*這一列為在 1064 nm 的數據
`
圖 2.12 KNbO3 type I (a)波長對非線性係數(b)波長對相位匹配角
0 5 10 15 20 25 30 35
800 900 1000 1100 1200 1300 1400
Wavelength (nm)
Nonlinear coefficient (w.r.t. KDP)
(a)
(b)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
800 900 1000 1100 1200 1300 1400
Wavelength(nm)
Phase-matching angle(deg.)
è
ö
圖 2.13 LBO type I (a)波長對非線性係數(b)波長對相位匹配角
0 10 20 30 40 50 60 70
500 600 700 800 900 1000 1100 1200
Wavelength(nm)
Nonlinear coefficient (w.r.t KDP)
(a)
(b)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
500 600 700 800 900 1000 1100 1200
Wavelength(nm)
Phase-matching angle(deg.)
è
ö
500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400
Wavelength(nm)
Nonlinear coefficient (w.r.t KDP)
(a)
500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400
Wavelength(nm)
Phase-matching angle(deg.)
(b)