自旋—軌道耦合（Spin-Orbit Coupling）與自旋霍爾態（Spin Hall State）

（Spin Hall State）

[13]~[18]

在量子霍爾效應中，一直未將一個非常重要的「作用」考量進來，那就是：

電子的自旋與軌道耦合效應（spin-orbit coupling，SOC）。在說明 SOC 之前，

我們先對一個現象，進行說明： 自旋霍爾效應（Spin Hall effect）。

FIG. 1. 6 霍爾效應（上）和自旋霍爾效應（下）

（此圖取自 J. E. Hirsch, Phys. Rev. Lett, 83, 9, 1999.）

在霍爾效應中，在磁場中運動的電子（或電荷載子）在受到 Lorentz force 的作用下會往垂直於電流方向的兩邊偏移，因而在兩邊界處形成電壓

V （稱為

_H 霍爾電壓），這個現象是由美國學者 Edwin Hall 在 1879 年所發現，因而稱為

「霍爾效應」，如 FIG.1.6（上）所示。1970 年代，Dyakonov 和 Perel 指出即使 沒有外加磁場，由於自旋—軌道耦合的效應，會使得不同自旋方向的載子在受 到雜質散射後朝向相反的方向偏移而產生自旋流，並各自形成大小相等的霍爾

電壓

V ，但是由於向上走與向下走的電子數量相等，因此在 y 方向，如

這項效應是由 Hirsch 在 1999 年時所提出[ 15 ]。由於此現象的主要成因是由於

1. Rashba-SOC：由結構反轉不對稱所造成。（structure inversion asymmetry）

2. Dresselhaus-SOC：由塊材反轉不對稱所造成。（bulk inversion asymmetry）

在此我們先簡略介紹晶體結構中的「對稱性」（symmetry）。在晶體的能 帶結構中，由於自旋向上與自旋向下的電子，位在相同的能帶上，因此，每一 能帶都是呈現「二重簡併」（two-fold degenerate）的情形，這種情形可由「時 間反轉對稱性」（time-reversal symmetry）來說明，也就是：

( , ) ( , ),

由於在沒有外加磁場的作用下，系統仍然具有時間反轉對稱性的關係。而 系統的自旋—軌道交互作用的 Hamiltonian 形式為：

(

_z

) ,

R

H

SO

  e   p 

（Rashba term） (1-7)



R為強度參數（strength parameter）。因此我們可以得到此二維系統的 Hamiltonian 為：

2

但是卻沒有造成的「淨電流」。此即「自旋霍爾效應」（spin Hall effect）。

1.4 Berry phase

[ 19 ][ 20 ]

回到原本的狀態，但是系統將會出現相差（phase difference），稱為 Berry phase。

首先我們讓系統的 Hamiltonian 隨著某一參數 R 而變動，也就是：

( ), ( , ,...)

H  H R R  R X Y

。如果參數空間 R 是時間的函數，那麼這個系統的

Schrodinger’s equation 就可表示為：

( ( )) ( ) ( ) , ( ) :

以上的Schrodinger’s equation 的解，具有以下的型式：

' '

上式中的第一個指數項稱為：幾何相位（geometric phase）或是 Berry phase；第 二個指數項稱為：dynamical phase factor。然而該如何處理第一個指數項呢？

將(1.12)式代回(1.11)式並且乘上

n R t

( ( )) （每一個本徵態均正交歸一化），

我們可以得到(1.13)式，此相位是 gauge-dependent：

( ) ( )

n Ci n R n R dR



 ^R 



 ^(1-13)

如果這個系統是在一個緩慢變化的過程中進行，且

R t ( )

具有以下的特性：

( )

稱為 Berry connection 或 Berry vector potential：

( ) ( ) ( ) ,

然而，積分路徑所包圍的區域內，如果有出現奇異點（singularity），則



_n與立 體角會具有另一特殊關係。

第二章 理 論 模 型

2.1 Liang Fu 和 C. L. Kane 的理論模型

[ 21 ] [22]

一般要造成自旋流的方式有以下兩種：

1. 經由控制某些參數，例如：交互變動的電場及磁場。使其具有週期性緩慢變 動的特性，此特性將具有幫浦（pump）的功能，並使得系統產生自旋流動的 現象，此現象即為「自旋傳輸」（spin transport）。

2. 利用自旋霍爾效應的原理，使用電場來產生自旋流。

tight-binding model，其二次量子化（second quantization）後之 Hamiltonian 如下：

0 h t so

† † 上的消滅算符（annihilation operator）和產生算符（creation operator），下標中 的α 與 β 則表示電子的自旋方向，之後將表示為：

Fu and Kane 的論文中指出，透過交錯磁場（

h

_st）和交錯電場（

t

_st）進行

為了方便進行分析，我們先將系統取為週期性邊界條件（periodic boundary condition, PBC），並且將 Hamiltonian 以矩陣的形式來表示，而此 Hamiltonian 矩陣必須為 Hermitian。矩陣的階數依 site 的數量而變，當 chain 所包含的 site 數量愈多時，矩陣階數愈大。由於矩陣包含電子自旋（二維），因此，系統的 維度必須是「空間（number of sites）



自旋（spin up and down）」，也就是說：

系統若有 n 個 site，Hamiltonain 矩陣則必須為 2n×2n 階。將系統的 eigenstate 以



表示（α 為第 α 個 eigenenergy），我們將



_分為上、下兩部分，上半部分

* *

† †

於系統具有 PBC，因此可以利用 Fourier transform 將系統的 Hamiltonian 轉 換至 k 空間。其轉換結果如下：

* 與動量空間（k-space）(2.10)式的 Hamiltonian 矩陣式。接下來我們可以開始對 這個系統進行分析。然而，系統的「對稱性」自然是必須先考量的重點。

2.2 「空間反轉對稱性」與「時間反轉對稱性」

*

比較(2.18)式和(2.19)式的結果可知，系統在以下二項條件均成立時才能滿 足(2.17)式的關係：

1. 不加弱磁場（

h

₀



0）。 2. 不加外磁場（

h

_st



0）。

當以上二項條件均成立時，系統具有「時間反轉對稱性」。也就是：加上

h

0^、

h

_st可破壞系統的「時間反轉對稱性」！此時，由於週期性邊界條件的關係，

此系統將會只有「空間反轉對稱」。如果以簡併的方式來說明，則是：當

0 0

h 

，

h

_st



0時，此系統具有四重簡併；而當

h

₀、

h

_st任一項不為零時，系 統將只具有二重簡併。

2.3 系統參數的影響

H eigenvalue eigenstate

H I

稱線，但是會出現裂隙（level splitting）。而 level splitting 的出現意謂著：

如果在這情形下，要使能譜出現 level splitting，也就是：若要破壞系統的 簡併，則必須滿足「(2.23)式中，根號項不為零」的條件。更進一步來說：

2.3.1 h

_st



0

， t

_st



0

， 

_so



0

（即不考慮 SOC）

FIG. 2. 6 在不同強度的交錯磁場下能譜的變動情形

接著，再來看看當

t

_st



0時，不同大小的交錯磁場（

h

_st^{）對於系統能譜所} 造成的影響。由 FIG.2.6 及(2.28)式可知，不加入交錯磁場且未加交錯電場時，

在 k=–π 與 k=＋π 處的能隙將為零。然而，由(2.27)式可知：隨著

h

_st值的變動，

上下兩能帶之間的能隙將逐漸拉大。

2.3.2 h

_st



0

， t

_st



0

， 

_so



0

（即不考慮 SOC）

FIG. 2. 8 在不同強度的交錯電場下能譜的變動情形

接著，再來看看當

h

_st



0時，不同大小的電場（

t

_st^{）對於系統能譜所造成}

的影響。由 FIG.2.8 及(2.31)式可知而：隨著

t

_st值的變動，上下兩能帶之間的能 隙將逐漸拉大。

2.3.3 h

_st



0

， t

_st



0

， 

_so



0

（即不考慮 SOC）

將系統的參數取為常數（

h

_st



0.8，

t

_st



0.4，均不隨 t 值而變動），並且 令(2.24)式中的

h

₀

^

0，晶格常數 a=1，在不考慮自旋–軌道耦合的效應下（即

so 0

 

），(2.24)式可改寫為：

2 2

2 2

( ) 2 cos(

0

) 2 sin( ) .

2 2

st st

ka ka

k h t t

   ^   ^    ^   ^  

(2-33)

我們將系統的各項參數代入後，我們便可畫出此系統的 Brillouin zone，結 常數）於系統上時，對於系統能譜所造成的影響。由 FIG.2.10 及(2.34)式可知：

隨著

t

_st值的變動，上下兩能帶之間的能隙將逐漸拉大。

FIG. 2. 9 加入

h 與

_st

t 的作用，但

_st



_so



0（不考慮 SOC）

FIG. 2. 10 在不同強度的交錯磁場與交錯電場作用下的能譜比較 時，原本的能帶將會出現 level splitting。Energy gap 的大小如下(2.38)式：

 

而 level splitting 的大小則為（以下〝＋〞表示

 

0的部分。

 

0的部分情況亦

FIG. 2. 12 在不同強度的交錯磁場與 SOC 作用下能譜的變動情形

 

energy gap 和 level splitting 的大小分別為：

2 2 有加大的情形。另外，在k≠0 的部分，能帶將會產生分裂為二（level splitting），

如要求得 level splitting 分裂的最大值，則可以令(2.43)式對 k 的一次導數為零，

此時即可求出。然而，在 k=–π 與 k=＋π 處，兩分裂能帶又重合為一。以下則 呈現出：在不同

t

_st值下，系統能譜的變動情形。

FIG. 2. 13 交錯電場與 SOC 作用下的情形

FIG. 2. 15 交錯磁場、交錯電場與 SOC 作用下的情形

由(2.48)式，我們可以看出產生 level splitting 最主要是「根號項」的存在，因 此，我們可以得到以下結論：

由(2.49)式及(2.50)式，我們可以得到系統在

  0

的部分由 SOC 在 k=–π 與 k=

＋π 處，所造成的 level splitting 大小為：

2 2 2 2 2 2

( )

h

_st (2 )

t

_st (2 _so) 4

h

_{st so}

h

_st (2 )

t

_st (2 _so) 4

h

_{st so}.



_

    

         

(2-50)

2.3.7 自旋－軌道耦合的方向

在前幾節中，我們是利用將系統的 tight-binding model 轉換至 k 空間後得到 系統的 4×4 階 Hamiltonian，

H

_{4 4} ( )

k

，並解出系統的本徵值，

 ( ) k

。不過，為 了能算出

H

_{4 4} ( )

k

，我們是將 SOC 在系統中的方向取在「y 軸」上。然而，如果 要更廣泛地去了解這個系統，我們必須試著將 SOC 的方向取在其他「任意方向」

上，但是，這將會使

H

_{4 4} ( )

k

的形式更加複雜，因而造成計算上的難度。因此，

在此我們將直接利用轉換後所得到的 Hamiltonian，

H

_{4 4} ( )

k

，並透過能譜來分 析 SOC 的方向會對系統造成什麼樣的影響？

在本章 2.1 節中的(2.10)式，即是 SOC 方向取在「任意方向」的

Hamiltonian，經由(2.6)式（

e

so



(sin cos ,sin sin , cos ) ,

     e

so



1,），不同 角度的取值後，我們可以得到以下的能譜：

FIG. 2. 16 自旋－軌道耦合的方向（一）

FIG. 2. 17 自旋－軌道耦合的方向（二）

觀察 FIG.2.16 和 FIG.2.17，我們可以知道：當自旋－軌道耦合在 y 方向上具有 分量時，系統在 k=–π 與 k=＋π 處會出現 level splitting。相反地，如果在 y 方向 不具分量時，則會出現「簡併」的情形。也因此，我們可以確認：在此系統中，

自旋－軌道耦合的方向對於系統亦會產生影響。

以上各節的分析均是將系統轉換至 k 空間後，對於各項可能影響系統的參 數進行分析。然而，以上的電場與磁場都是控制在「靜態」，也就是：定值！

不產生變動的情形。至於在 Fu and Kane model 中，則是利用「電場與磁場交錯 變動」的方式來作用在系統上。這部分的分析，將會在第三章中進行。

以下將本節中所探討的各項參數對 Fu and Kane model 的能譜所造成的影響，

整理成下表¹：

h

st

t

_st



_so

能隙 分裂

    

    

    

    

    

    

    

    

Table 2. 1 各項參數對 Fu and Kane model 的能譜所造成的影響

：表示該參數不等於零或現象有產生。



：表示該參數等於零或現象沒產生。

能隙（energy gap）：指上下兩能帶間的最小能量差。

分裂（level splitting）：指能帶的分裂。

第三章 數 值 分 析

[ 21 ]~[ 23 ]

本章將對於 Fu and Kane model 在不同邊界條件（boundary condition）下的 情形進行分析，並且觀察在不同邊界條件下自旋的堆積與移動的情形。第二章 中(2.1)式至(2.5)式為 Fu and Kane model 的緊束縛模型，在此模型中，我們將建 立起一個一維的直鏈（one dimensional chain），在這 chain 上排入 N 個 site，並 在這 N 個 site 上，利用「電場與磁場規律性交錯變動」的方式，來驅動系統的 電荷（charge）與自旋（spin），如第二章(2.7)式與 FIG.2.3 所示。以上模型，

我們將在不同的邊界條件下進行分析和討論：

1、週期性邊界條件（periodic boundary condition, PBC）。

2、開放邊界條件（open boundary condition, OBC）。

3、開放邊界條件並於直鏈兩側外加 site。

第α 個 site 的電荷密度（charge density,



_）與自旋密度（spin density, s_）分 別可表示為：

2 2

  

  c

_

 c

_ (3-1)

2 2











s c c

(3-2)

由(3.1)式與(3.2)式，我們可以得到系統第 α 個 site 的電荷密度



_( )

t

與自旋密度 ( )

s t

_ 隨 t 值的變動情形^2,3。

2 本章所說的第 α 個本徵值，指的是：本徵值由小至大排序，最小的本徵值訂為第 1 個本徵值。

3 當本徵值隨

t

值而變動時，部分本徵值之大小順序可能產生變動。因此，為確保系統是在「同 一」本徵值變動下所進行的分析，我們將經由能譜中的譜線變化情形來選擇適當的本徵值進

3.1 週期性邊界條件（periodic boundary condition, PBC）

若把系統的 tight-binding model 在週期性邊界條件下直接對角化，我們可以 得到系統在實空間中的 Hamiltonian，如(3.3)式所示。

* * 此，Hamiltonian 為 48×48 矩陣。

若以 8×8 階矩陣為例，如(3.3)式。由於目前系統所考慮的是 PBC，因此，

Hamiltonian 的矩陣式在粗斜體字這幾個矩陣元都必須有值（表示系統「首尾相 連」，為一週期性循環的系統）。

系統變大時的情形亦同。而系統中所運用的交錯電場與交錯磁場，將依(3.4) 式所預設的路徑進行「交錯變動」。

在文檔中 Fu-Kane 模型下的自旋幫浦 (頁 11-0)