Fu-Kane 模型下的自旋幫浦
76
0
0
全文
(2) 謝. 誌. 解決問題時，所用的方法總有脈絡可循；所列的式子，總是在力求無誤後 呈現；對於結果的分析，總有理論依據；內容的用字譴詞，總是務求精準。這 是我在這兩年多來，從張明哲教授身上所看到一位學者對於學問的堅持與細 膩。在每一次的接觸中，總有啟發、震撼與感動。由衷地感謝張明哲教授的指 導！ 最後，感謝我最親愛的老婆，在這段時間裡對我的支持與無怨無悔地付 出。過程中的許多辛苦，總在妳的鼓勵下度過！謝謝妳！. i.
(3) 摘. 要. 本篇論文旨在探討 Fu and kane 所建立的一維自旋幫浦模型。此模型是用以 描述在反鐵磁性材料所構成的一維直鏈上經由交錯變動的電磁場作用可在其上 產生自旋流。透過不同邊界條件的設定，我們將分析在鏈上的自旋與電荷分布 情形。在週期性邊界條件中，我們可以利用傅氏轉換得到能譜在 Brillouin zone 中的情形，並且分析系統參數對於能譜所產生的影響。在開放性的邊界條件中， 我們將此模型利用矩陣對角化的方式得到其在實空間中的矩陣，並且得到在此 交錯變動的電磁場作用下電荷與自旋的分布情形。在受電磁場作用的直鏈兩端 分別加上不受電磁場作用的兩段具有相同結構的直鏈，在電磁場的作用下，直 鏈上將產生自旋流，但不產生電荷流，而不同自旋方向的電子將朝相反方向移 動，在經此電磁場的一次循環作用後，朝相反方向移動的自旋，會分別進入兩 端外加的直鏈中，並且呈現量子化的情形。. 關鍵字：自旋幫浦、自旋流 ii.
(4) 目. 錄. 第一章 導 論..................................................................................................... - 1 1.1. 前. 言 .......................................................................................................... - 1 -. 1.2 量子霍爾態（Quantum Hall State） ............................................................ - 3 1.3 自旋—軌道耦合（Spin-Orbit Coupling）與自旋霍爾態（Spin Hall State） ..... - 6 1.4 Berry phase ................................................................................................... - 9 -. 第二章 理 論 模 型 ....................................................................................... - 11 2.1. Liang Fu 和 C. L. Kane 的理論模型 ........................................................ - 11 -. 2.2. 「空間反轉對稱性」與「時間反轉對稱性」 ........................................ - 17 -. 2.3. 系統參數的影響 ........................................................................................ - 20 -. 2.3.1. hst 0 ， tst 0 ， so 0 （即不考慮 SOC）............................... - 22 -. 2.3.2. hst 0 ， tst 0 ， so 0 （即不考慮 SOC）............................... - 24 -. 2.3.3. hst 0 ， tst 0 ， so 0 （即不考慮 SOC）............................... - 25 -. 2.3.4. hst 0 ， tst 0 ， so 0 （加入 SOC） ...................................... - 27 -. 2.3.5. hst 0 ， tst 0 ， so 0 （加入 SOC） ...................................... - 29 -. 2.3.6. hst 0 ， tst 0 ， so 0 （加入 SOC） ...................................... - 31 -. 2.3.7. 自旋－軌道耦合的方向 ..................................................................... - 33 -. 第三章 數 值 分 析 ..................................................................................... - 36 3.1. 週期性邊界條件（periodic boundary condition, PBC） ......................... - 38 -. 3.2. 開放邊界條件（open boundary condition, OBC） .................................. - 43 -. 3.2.1. 在沒有 SOC 作用下（ so 0 ） ...................................................... - 43 iii.
(5) 3.2.2 3.3. 在 SOC 作用下（ so 0 ） .............................................................. - 48 -. 開放邊界條件並於直鏈兩側外加 site ..................................................... - 52 -. 3.3.1. 在沒有 SOC 作用下（ so 0 ） ...................................................... - 53 -. 3.3.2. 在 SOC 作用下（ so 0 ） .............................................................. - 61 -. 第四章 結 論................................................................................................... - 68 參考文獻 .............................................................................................................. - 71 -. iv.
(6) 第一章. 1.1 前. 導. 論. 言[ 1 ]~[ 5 ]. 長久以來，「傳輸現象」（transport phenomenon）一直是令許多人感到好 奇，並且想要一窺究竟的科學。量子力學告訴我們每一個粒子都具有「波的形 式」，由於我們所用的空間尺度遠大於這些粒子的波長，因此，它們的「波性」 非常地不明顯。但是，如果我們在奈米的尺度下來探討電子的運動特性時，那 麼它們的波性就不能被忽略了。這項性質在量子傳輸（quantum transport）中是 相當重要的概念[ 1 ]，也因此，我們會使用波函數與機率密度的方式來描述電 子在「小尺度」下的行為。 為何傳輸現象如此吸引人呢？讓我們來想像一個簡單的實驗，實驗裝置如 下圖所示。. FIG. 1. 1 量子傳輸. 假設我們在 source 和 drain 之間架上一條導線（wire），如果我們將兩端施加偏 壓，電子將從 source 經導線進入 drain 端，我們可以利用簡單的「歐姆定律」 量出導線的電阻（或電導）。然而，如果我們固定導線的長度，而將它的寬度 持續縮短到「極小」，那麼這段導線（此時可以稱為 quantum wire）的電阻是 零還是無窮大呢？答案其實兩者都不是！而是呈現一種量子化的現象，它的導 電率是. e2 這個數字的倍數！ h. 上面的這個現象其實已經夠耐人尋味了，可是這都還沒去考慮電子的另一 項特性，那就是：自旋！大部分學物理的人都知道電子具有兩種不同自旋方向， -1-.
(7) 但是，在一般的電子元件中我們都只看到電荷，而不是看到兩種不同電荷載子 的運動呢？其主要因素，就是因為電子能夠維持固定自旋方向的行進路徑太短， 以致於我們無法觀察。也就是說：電子在經過長距離的運動後，由於自旋不停 翻轉的效應，最後導致自旋無法被分辨。不過，以上情形都是發生在「早期」。 近年來人工合成的奈米結構，已經可以使自旋方向的維持得以在元件中被確保 [ 2 ]。也因此，自旋傳輸的相關研究也如雨後春筍般地出現。 在八零年代早期，Thouless 就曾指出：在一個緩慢變化的一維且具有週期 性的電場中，每次循環將可傳輸整數數量的電子，也就是：量子化的粒子傳輸 （quantized adiabatic particle transport, QAPT）[ 3 ]。接著，Shindou 也進行了另 一項粒子傳輸的研究：量子化的自旋傳輸（quantum spin pump）[ 4 ]。 量子自旋幫浦（quantum spin pump），是一種利用電磁場交錯作用或是利 用旋轉的磁場等方式來達到驅動自旋電子的目的。這個「只傳送自旋流（spin current）而不傳輸電荷（charge current）」的現象。也已經由 K. Watson 等人在 GaAs/AlGaAs 上的實驗被觀察到[ 5 ]。 本篇論文將探討透過不同參數（parameter）的調控，在一維緩慢變動的系 統中，將不同自旋方向的電子傳輸到開放邊界的兩端，並分析自旋電子的傳輸 情形。我們將分為以下部分來探討： 一、在週期性邊界條件下（periodic boundary condition ,PBC） 二、在開放的邊界條件下（open boundary condition ,OBC） 三、在 OBC 的條件下，在直鏈兩端增加 sites。 本節之後的篇幅將用以介紹本篇論文所涉及的理論基礎。. -2-.
(8) 1.2 量子霍爾態（Quantum Hall State）[ 6 ]~[ 12 ] 霍爾效應（Hall effect）是一種為人熟知的現象，透過在導體中導入電流並 將其置於外加磁場中量測其感應霍爾電壓（Hall Voltage）來判斷傳導載子的極 性與其密度。 在 1930 年時 de Haas 和 van Alphen 在測量半金屬 Bi 的磁化強度 （magnetization）時發現，在低溫強磁場的作用下，磁化率在磁場強度增加到 一定程度時，會呈現「振盪」的現象。而同樣的情形，在 Shubnikov 和 de Haas 在進行磁阻的測量時也出現，如 FIG.1.2，這一傳輸上的量子現象就稱為： Shubnikov-de Haas effect。. FIG. 1. 2. Shubnikov-de Haas effect. ( 本圖引自 Ashcroft/Mermin，SOLID STATE PHYSICS，p267 ). 對於以上現象，Landau 提出了他的見解：如果將系統侷限在二維電子系統， 並且處於低溫、強磁場的環境中則其能階會呈現量子化的現象。 因此，在探討量子霍爾效應之前，我們先就Landau的觀點，介紹一個基本 概念：Landau quantization。所謂的「Landau quantization」指的是：在外加磁場 中，將電荷的旋迴軌道量子化的過程。而量子化之後所得到的不連續能階，就 稱為「Landau levels」。在量子力學裡，一個不考量電子交互作用的二維電子系 統，在外加垂直於此二維平面的均勻磁場中其能階是量子化的。我們知道自由 電子在磁場中的Hamiltonian可寫成下式（不考慮電子自旋）： -3-.
(9) H. 1 e ( P A)2 2m c. (1-1). 將其代入 Schrodinger 方程式中或是利用量子力學中所提到的 ladder operator 的 方式，皆可得到電子在垂直磁場方向的能量是量子化的： 1 2. n (n ) c ; c . eB m. (1-2). Landau levels 為磁場大小（B）的函數. FIG. 1. 3. n c n 1 2 B n 1 2 . 這些量子化的能階就是 Landau levels，而平行磁場方向的能量則為連續。此系 統的簡併數可表示為： N B . eB （單位面積），也就是每一個 Landau level 所具 hc. 有的簡併數（即可填入的電荷數）與外加磁場的強度成正比。這也表示 Landau level 在強磁場下具有高度簡併的特性。然而，如果要正確算出此系統中霍爾導 電率值，還得算出填充因子 N（filling factor）。隨著磁場的增加，FIG.1.4 中的 峰值（peak）也會跟著上移，若 Fermi level 介於兩個 Landau levels 之間，此時 填充因子是整數，就會呈現如 FIG.1.5 中所示的「平台區」，這個現象就稱為： 整數量子霍爾效應。在二維電子系統下的這種現象，也成了我們研究量子傳輸 現象的一項好工具。. -4-.
(10) FIG. 1. 4. Landau levels 的態密度（density of states, DOS）. FIG. 1. 5 磁場大小與霍爾電導關係圖. 霍爾導電率的量子化現象，最早是由 Ando、Matsumoto 和 Uemura 在 1975 年時所發現的，不過，當時他們並未提出「量子化」的概念！然而，就在幾年 後的 1980 年，von Klitzing 等人注意到他們的研究，並且在實驗中加以探討， 發現霍爾導電率的確是量子化的！這項發現也讓 von Klitzing 得到諾貝爾獎的殊 榮。現階段大部分整數量子霍爾效應的實驗是在金屬氧化半導體（MOS）或是 在砷化鎵中進行，不過，後來也被發現可以在石墨烯（graphene）中執行。 然而還有另一種霍爾效應，稱為「分數量子霍爾效應」。其中最主要的差 異在霍爾電導的平台位於 N. e2 ，其中 N 為分數。這部分的實驗是由 D. C. Tsui、 h. H. L. Stormer 和 A. C. Gossard 等人所發現[ 11 ]，理論則是由 Laughlin 於 1983 年提出[ 12 ]。由於本文的研究內容並未將電子與電子之間的交互作用納入，因 此對於這部分將不進行說明。 -5-.
(11) 1.3 自旋—軌道耦合（Spin-Orbit Coupling）與自旋霍爾態 （Spin Hall State）[13]~[18] 在量子霍爾效應中，一直未將一個非常重要的「作用」考量進來，那就是： 電子的自旋與軌道耦合效應（spin-orbit coupling，SOC）。在說明 SOC 之前， 我們先對一個現象，進行說明： 自旋霍爾效應（Spin Hall effect）。. FIG. 1. 6 霍爾效應（上）和自旋霍爾效應（下） （此圖取自 J. E. Hirsch, Phys. Rev. Lett, 83, 9, 1999.）. 在霍爾效應中，在磁場中運動的電子（或電荷載子）在受到 Lorentz force 的作用下會往垂直於電流方向的兩邊偏移，因而在兩邊界處形成電壓 VH （稱為 霍爾電壓），這個現象是由美國學者 Edwin Hall 在 1879 年所發現，因而稱為 「霍爾效應」，如 FIG.1.6（上）所示。1970 年代，Dyakonov 和 Perel 指出即使 沒有外加磁場，由於自旋—軌道耦合的效應，會使得不同自旋方向的載子在受 到雜質散射後朝向相反的方向偏移而產生自旋流，並各自形成大小相等的霍爾 電壓 VSH ，但是由於向上走與向下走的電子數量相等，因此在 y 方向，如 FIG.1.6（下）所示，並不會產生淨電流，這種現象就稱為「自旋霍爾效應」。 -6-.
(12) 這項效應是由 Hirsch 在 1999 年時所提出[ 15 ]。由於此現象的主要成因是由於 材料中的自旋—軌道耦合作用。以下就對 SOC 做個說明： 電子在原子中的 SOC 交互作用，可表示為： H so . 2 2. 4m c. (V P) . 1 dV r dr. (1-3). L . 其中 V (r ) 表示空間中的位能變化。真空中所求得的 λ 極小（ . 1. g. ），因為真. 空中的能量尺度大（ mc 2 ～0.5MeV），因此真空中電子的 SOC 效應常被忽略。 然而，電子如果在半導體材料中其半導體的能量尺度則為能隙（energy gap）， 其能量尺度較真空中小的多，則 λ 的值將比真空中大上許多，因此，SOC 效應 所產生的結果，不能被忽略。 一般我們可將內稟（intrinsic）的 SOC 分為兩大類： 1. Rashba-SOC：由結構反轉不對稱所造成。（structure inversion asymmetry） 2. Dresselhaus-SOC：由塊材反轉不對稱所造成。（bulk inversion asymmetry） 在此我們先簡略介紹晶體結構中的「對稱性」（symmetry）。在晶體的能 帶結構中，由於自旋向上與自旋向下的電子，位在相同的能帶上，因此，每一 能帶都是呈現「二重簡併」（two-fold degenerate）的情形，這種情形可由「時 間反轉對稱性」（time-reversal symmetry）來說明，也就是：. E(k , ) E(k , ),. (1-4). 但是，如果晶體本身也具有晶格上的反轉對稱，也就是滿足：. E(k , ) E(k , ),. (1-5). 由以上兩式的關係，可以看出：我們可以得到：. E(k , ) E(k , ),. (1-6). 也就是說：若一個晶體同時具有以上兩種對稱形式，那麼此系統的能量與電子 的自旋無關。但是，如果我們考量的是位於晶體的表面上，那麼第二種對稱性 質將不存在，也不會有(1.6)式的關係，此時，由自旋—軌道耦合作用所造成的 能隙（spin-orbit splitting）就可能發生。 -7-.
(13) 由於在沒有外加磁場的作用下，系統仍然具有時間反轉對稱性的關係。而 系統的自旋—軌道交互作用的 Hamiltonian 形式為：. H SO R (ez p) , （Rashba term）. (1-7). R 為強度參數（strength parameter）。因此我們可以得到此二維系統的 Hamiltonian 為：. H. p2 H SO 2m. (1-8). E . k2 Rk, 2m. (1-9). 並且得到系統的能量為：. 由(1.9)式可知系統會將產生「分支」。. FIG. 1. 7 在 SOC 作用下的自旋霍爾. 由 FIG.1.7 我們可以看出，不同自旋方向的電子將會分別朝向不同方式運動， 但是卻沒有造成的「淨電流」。此即「自旋霍爾效應」（spin Hall effect）。. -8-.
(14) 1.4 Berry phase [ 19 ][ 20 ] 通常我們在處理一個量子系統時，Hamiltonian 都是在描述一個「不變動的 環境」，也就是在「穩定態」中。但是，如果環境是變動的呢？這系統的本徵 態會如何變化呢？這部分便可由 Berry 所提出的觀點來理解了。 在一個緩慢變化的量子系統中，系統的本徵能量態（eigenenergy state）會 隨系統的外加參數的變動而產生變動，當參數經過一個循環變動後，系統也會 回到原本的狀態，但是系統將會出現相差（phase difference），稱為 Berry phase。 首先我們讓系統的 Hamiltonian 隨著某一參數 R 而變動，也就是： H H ( R), R R( X , Y ,......) 。如果參數空間 R 是時間的函數，那麼這個系統的. Schrodinger’s equation 就可表示為： (t ) t. H ( R(t )) (t ) i. (t ) : eigenstate. ,. (1-10). 對於在任何時間下系統都滿足以下的關係： H ( R) n( R) n ( R) n( R). n( R) : 任一t值的不連續本徵態. (1-11). 以上的 Schrodinger’s equation 的解，具有以下的型式：. n (t ) e. i n ( t ). i. t. dt n ( R ( t )) e 0 n( R(t )) . '. '. (1-12). 上式中的第一個指數項稱為：幾何相位（geometric phase）或是 Berry phase；第 二個指數項稱為：dynamical phase factor。然而該如何處理第一個指數項呢？ 將(1.12)式代回(1.11)式並且乘上 n( R(t )) （每一個本徵態均正交歸一化）， 我們可以得到(1.13)式，此相位是 gauge-dependent： n i n( R ) C. n( R) dR R. (1-13). 如果這個系統是在一個緩慢變化的過程中進行，且 R(t ) 具有以下的特性： -9-.
(15) R(t ) 在參數空間是沿著一個封閉路徑 C 在進行，則 n 可寫成在封閉路徑上的線. 積分型式： n . . C. n( R) dR R. i n( R ). (1-14). 此時 n 為 gauge-independent。我們可以定義一個向量 An ( R) ，這個向量一般 稱為 Berry connection 或 Berry vector potential： An ( R) i n( R). n( R ) , R. (1-15). 若系統是三維的參數空間，則可應用 Stokes’s theorem 得到： n . . S. (1-16). ( R An ( R)) dS ,. 再定義一個變量 Vn ( R) ，這個變量稱為 Berry curvature： Vn ( R) R An ( R), 計算 Vn ( R) 可得：. Vn ( R) Im . m n. n( R) R H ( R) m( R) m( R) R H ( R) n( R). Em ( R) En ( R). 2. .. (1-17). 然而，積分路徑所包圍的區域內，如果有出現奇異點（singularity），則 n 與立 體角會具有另一特殊關係。. - 10 -.
(16) 第二章. 理 論 模 型. 2.1 Liang Fu 和 C. L. Kane 的理論模型[ 21 ] [22] 一般要造成自旋流的方式有以下兩種： 1. 經由控制某些參數，例如：交互變動的電場及磁場。使其具有週期性緩慢變 動的特性，此特性將具有幫浦（pump）的功能，並使得系統產生自旋流動的 現象，此現象即為「自旋傳輸」（spin transport）。 2. 利用自旋霍爾效應的原理，使用電場來產生自旋流。 在一維絕緣系統中經由適當的方式使系統進行緩慢週期性變化以達到粒子 傳輸的目的，此方式我們稱為：「量子幫浦」（quantum pump）。自旋幫浦 （spin pump）即是量子幫浦的一種。自旋幫浦的概念接近於量子自旋霍爾效應， 這種情形就好比是電荷幫浦之於量子霍爾效應的概念。也由於「自旋幫浦」概 念的產生，因此也衍生出許多自旋幫浦的設計。 R. Shindou 於 2005 年時，曾提出一個「反鐵磁自旋 1/2 的自旋幫浦系統」， 此系統是一個具有自旋 1/2 的量子自旋鏈，在這條鏈上每單位晶胞（unit cell） 具有 2 個 site，而其上電子則呈現自旋向上與自旋向下交錯排列（Neel order state）。在這個系統中，他提出利用緩慢交錯變動的電場與磁場可以產生自旋 流[ 4 ]。而 L. Fu 和 C. L. Kane 則依據 R. Shindou 的模型，提出了一個一維 tight-binding model，其二次量子化（second quantization）後之 Hamiltonian 如下：. H H0 Vh Vt Vso. . H 0 t0 ci† ci 1 ci†1 ci i ,. z † Vh hst (1)i ci ci i ,. - 11 -. (2-1). . (2-2) (2-3).
(17) Vt tst (1)i (ci† ci 1 ci†1 ci ). (2-4). i ,. Vso so. ieso (ci† ci 1 ci†1 ci ) i , , . (2-5). FIG. 2. 1 自旋－軌道耦合方向. eso (sin cos ,sin sin ,cos ),. (2-6). eso 1,. FIG. 2. 2 單位晶胞（unit cell）示意圖（一） †. FIG.2.2 即是(2.1)式至(2.6)式所表示的系統，其中 ci 與 ci 分別表示在第 i 個 site 上的消滅算符（annihilation operator）和產生算符（creation operator），下標中 的 α 與 β 則表示電子的自旋方向，之後將表示為：. :自旋向上 ; :自旋向下. H 0 項中的 t0 表示原子之間的鍵結強度； Vh 中的 hst 表示交錯磁場的強度；. Vt 中的 tst 表示原子間鍵結強度的調整量，鍵結強度的調整可經由外加電場來達 成； (1)i 則是表示強度（磁場或電場）在不同 site 之間的「交錯變動」；而. Vso 項中的 so 表示自旋－軌道耦合的強度， 為 Pauli matrix，而 eso 則表示 自旋－軌道耦合的方向。 - 12 -.
(18) Fu and Kane 的論文中指出，透過交錯磁場（ hst ）和交錯電場（ t st ）進行 循環式的變動，將可驅動位於晶格中的電子。將 hst 和 t st 兩個參數以一向量 R 來表示，並記為： . R(t ) (tst (t ), hst (t )) tst cos( . 2 t 2 t ), hst sin( ) ，t：0→2π T T . FIG. 2. 3. (2-7). hst , tst 隨 t 變動關係圖. 為了方便進行分析，我們先將系統取為週期性邊界條件（periodic boundary condition, PBC），並且將 Hamiltonian 以矩陣的形式來表示，而此 Hamiltonian 矩陣必須為 Hermitian。矩陣的階數依 site 的數量而變，當 chain 所包含的 site 數量愈多時，矩陣階數愈大。由於矩陣包含電子自旋（二維），因此，系統的 維度必須是「空間（number of sites） 自旋（spin up and down）」，也就是說： 系統若有 n 個 site，Hamiltonain 矩陣則必須為 2n×2n 階。將系統的 eigenstate 以. 表示（α 為第 α 個 eigenenergy），我們將 分為上、下兩部分，上半部分 表示「自旋向上」；下半部分則表示「自旋向下」，即：. . , 以下取 4 個 site，矩陣為 8×8 階為例，表示如下：. - 13 -.
(19) H 88. hst * a 0 b 0 * e 0 f. a hst b* 0 f 0 e* 0. 0 b hst a* 0 f 0 e*. b* 0 a hst e* 0 f 0. 0 f* 0 e hst c* 0 d. e 0 f* 0 c hst d* 0. 0 e 0 f* 0 d hst c*. f* 0 e 0 d* 0 c hst . 其中， a t0 tst iso cos , b t0 tst iso cos , c t0 tst iso cos , d t0 t st iso cos , e iso sin ei , f iso sin e i ,. (2-8). 由於交錯磁場的關係，取每單位晶胞為兩個原子，如 FIG.2.4 所示，其中 a 為晶格常數（lattice constant），以下為了方便分析，我們可以令晶格常數 a 1 ， 並且將 FIG.2.2 改為 FIG.2.4，以便於之後進行轉換。. FIG. 2. 4 單位晶胞（unit cell）示意圖（二）. 依 FIG.2.4，先將原本的 Hamiltonian 進行改寫，並且加入弱磁場（ h0 ）當 作微擾項，其目的是為破壞系統因不同自旋方向的電子所造成的簡併態，改寫 結果如下：. - 14 -.
(20) i odd i even. rewrite. ci . ci di. H H 0 Vh Vt Vso N. t0 (ci† di di† ci 1 h.c.) i 1. N. N. i 1. i 1. z z (h0 hst ) ci† ci (h0 hst ) di† di. N. tst (ci† di d i† ci 1 h.c.) i 1. N. so ie so (ci† di d i† ci d i† ci 1 ci†1 di ), i 1. (2-9). 於系統具有 PBC，因此可以利用 Fourier transform 將系統的 Hamiltonian 轉 換至 k 空間。其轉換結果如下：. H (k ) . [2t. 0. cos(. k,. ka ) (ck† d k d k† ck ) 2. (2i ) tst sin(. ka † ka ) ck d k (2i ) t st sin( )d k† ck ) 2 2. z z (h0 hst ) ck† ck (h0 hst ) d k† d k . (2) so sin(. ck† k. d k†. ka ez ) 2 ex ie y. ck†. ex iey † (ck d k d k† ck )] ez . ck d d k† A44 k , ck dk . - 15 -.
(21) 其中，. A 44. h0 hst f* 0 h. f h0 hst h 0. 0 h* h0 hst g*. h* 0 , g h0 hst . f k 2t0 cos. ka ka ka 2i t st sin 2so sin cos , 2 2 2. g k 2t0 cos. ka ka ka 2i t st sin 2so sin cos , 2 2 2. hk 2so sin. ka sin ei . 2. (2-10). 在經過以上的轉換之後，我們已經得到系統在實空間（real-space）(2.8)式 與動量空間（k-space）(2.10)式的 Hamiltonian 矩陣式。接下來我們可以開始對 這個系統進行分析。然而，系統的「對稱性」自然是必須先考量的重點。. - 16 -.
(22) 2.2 「空間反轉對稱性」與「時間反轉對稱性」 以下我們將檢驗系統的「空間反轉對稱性」與「時間反轉對稱性」兩項對 稱性質。首先，我們先定義兩個算符（operator），分別為：. I 44. 1 0 0 1 I 22 0 0 0 0. T44 i y I 22. 0 0 0 0 , 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 . 1 0 0 0 0 1 0 0 . (2-11). (2-12). 其中， I 44 為空間反轉算符， T44 為時間反轉算符， 與 是 Pauli matrix 在自 旋與軌道空間中的表示方式， 則是 complex conjugate。 首先，我們將 I 44 算符作用在(2.10)式來檢驗系統是否具有「空間反轉對 稱」。如果系統可以滿足(2.13)式關係，則此系統即具有「空間反轉對稱性」： I 44 H (k ) I 414 H (k ),. (2-13). 計算方式如下：. 1 0 0 1 I 44 H (k ) 0 0 0 0. 0 0 h0 hst 0 0 f * 1 0 0 0 1 h. f h0 hst h 0. 0 h* h0 hst g*. h* 0 , g h0 hst . (2-14). 而在計算 H (k ) 前，我們先分別計算出以下各數：. f k 2t0 cos. ka ka ka 2i t st sin 2so sin cos , 2 2 2. g k 2t0 cos. ka ka ka 2i tst sin 2so sin cos , 2 2 2. h k 2so sin. ka sin ei . 2. 並且計算出：. - 17 -. (2-15).
(23) H (k ) I 44. h0 hst * f k 0 h k. fk h0 hst h k 0. 0 h*k h0 hst g * k. h*k 1 0 0 0 1 g k 0 0 h0 hst 0 0. 0 0 0 0 , 1 0 0 1. (2-16). 比較(2.14)式和(2.16)式，可得： I 44 H (k ) H (k ) I 44. I 44 H (k ) I 414 H (k ).. 因此，此系統具有「空間反轉對稱性」。 接下來，我們將利用時間反轉算符 T44 來檢驗是否具有「時間反轉對稱性」。 如果系統可以滿足(2.17)式，則此系統即具有「時間反轉對稱性」： T44 H (k )T414 H (k ),. (2-17). 首先，我們先計算：. 0 0 0 0 T44 H (k ) 1 0 0 1 0 hk* h0 hst f k. 1 0 0 0. 0 h0 hst 1 f k* 0 0 0 hk. hk* 0 f k* h0 hst. h0 hst gk 0 hk. fk h0 hst hk 0. 0 hk* h0 hst g k*. hk* 0 gk h0 hst . g k* h0 hst , hk 0 . (2-18). 由(2.15)式，可以得到 H (k ) ，因此，接著計算：. H (k )T44. h0 hst * f k 0 h k. 0 h*k h0 hst * g k. fk h0 hst h k 0. h*k 0 gk h0 hst. 0 h*k h0 hst g * k. h0 hst f *k 0 h k. h*k 0 0 0 0 0 g k 1 0 h0 hst 0 1. fk h0 hst , h k 0 . - 18 -. 1 0 0 0. 0 1 0 0. (2-19).
(24) 比較(2.18)式和(2.19)式的結果可知，系統在以下二項條件均成立時才能滿 足(2.17)式的關係： 1. 不加弱磁場（ h0 0 ）。. 2. 不加外磁場（ hst 0 ）。. 當以上二項條件均成立時，系統具有「時間反轉對稱性」。也就是：加上. h0 、 hst 可破壞系統的「時間反轉對稱性」！此時，由於週期性邊界條件的關係， 此系統將會只有「空間反轉對稱」。如果以簡併的方式來說明，則是：當. h0 0 ， hst 0 時，此系統具有四重簡併；而當 h0 、 hst 任一項不為零時，系 統將只具有二重簡併。. - 19 -.
(25) 2.3 系統參數的影響 將 Hamiltonian 轉換至 k 空間之後，我們可以透過本徵值的計算，解出系統 的能譜，並且透過參數的調控，來瞭解各項參數對於系統的影響。 在(2.10)式中的自旋－軌道耦合項為：. ez ex iey. ex iey ez . (2-20). 此項由(2.6)式與 Pauli matrix 內積所得，然而，在轉換為 k 空間的過程中，若將. e so 取為完整的(2.6)式，這將使得轉換不易進行。因此，以下我們將 e so 取為：. eso 0,1,0 ,. (2-21). 而 e so 在其它方向上的性質，我們將會在 2.3.7 節中探討。 利用(2.22)式的方式，我們可以得到此系統的本徵能量（eigenenergy）：. H 44 ,. : eigenvalue; : eigenstate. det( H 44 I 44 ) 0,. (2-22). 2. 2. ka ka ka (k ) h h 2t0 cos( ) 2tst sin( ) 2so sin( ) 2 2 2 2 2 ka ka 2 4h0 2t0 cos( ) 2tst sin( ) 2 2 2. 2 0. 2. 2 st. 1 2 2 ka 2 (h02 hst2 ) 2 (h02 hst2 ) 2 4hst2 2so sin( ) 4 2t0 so sin(ka) . 2 (2-23). 算出(2.23)式後，對於系統的能譜我們便能得到一些簡單的輪廓： 1、 若(2.23)式中，根號項為零時，能譜將會出現以 k 軸為對稱的上下二條對稱 線，又由於正弦函數與餘弦函數均為平方項，因此，+k 與-k 都會有相同的 結果。這代表著：簡併的存在！ 2、 若(2.23)式中，根號項不為零時，能譜仍會出現以 k 軸為對稱的上下二條對 - 20 -.
(26) 稱線，但是會出現裂隙（level splitting）。而 level splitting 的出現意謂著： 簡併被破壞！ 3、 當 level splitting 出現時，就是具有 SOC 的作用。由第 2 點，我們可以得到 系統的簡併可被 SOC 破壞，但是，第 1 點所描述的情形仍然存在。也就是 說：系統仍存在著+k 與-k 的簡併。由上述的結果可知：系統原本為四重簡 併，在 SOC 的作用下，其中的兩重簡併將被破壞，但仍將保有另外兩重的 簡併態。 4、 在不加弱磁場（ h0 0 ）的條件下，(2.23)式可改寫為： 2. 2. ka ka ka (k ) h 2t0 cos( ) 2tst sin( ) 2so sin( ) 2 2 2 2. 2. 2 st. 2. ka 2 4h 2so sin( ) 4 2t0 so sin(ka) . 2 2 st. (2-24). 如果在這情形下，要使能譜出現 level splitting，也就是：若要破壞系統的 簡併，則必須滿足「(2.23)式中，根號項不為零」的條件。更進一步來說： 在沒有 SOC 的作用下（ so 0 ）， hst 是無法單獨破壞系統的簡併態。然 而，在 SOC 的作用下（ so 0 ），即使 hst 0 ，系統的簡併態仍然能被 破壞。 以上的分析，讓我們對此模型有個基礎的認知，接下來，我們將針對各項 參數值對於系統能譜所造成的影響，來進行更細部的分析。. - 21 -.
(27) 2.3.1. hst 0 ， tst 0 ， so 0 （即不考慮 SOC）. 將系統的參數取為常數（ hst 0.8 ， tst 0 ，均不隨 t 值而變動），並且 令(2.23)式中的 h0 0 ，晶格常數 a=1，在不考慮自旋–軌道耦合的效應下（即. so 0 ），(2.23)式可改寫為下式，並可畫出 FIG.2.5： 2. ka (k ) h 2t0 cos( ) , 2 2. 2 st. (2-25). 由(2.26)式可知：系統仍具有四重簡併，且上下之間的能隙大小將隨著 hst 和 k 值而變動： 2. ka (k ) 2 h 2t0 cos( ) . 2 2 st. (2-26). 在 k=–π 與 k=＋π，以及 k=0 時這三個點上下之間的能隙（energy gap）分別為：. ( ) 2 hst .. (2-27). (0) 2 hst2 2t0 . 2. FIG. 2. 5 僅加入 hst 的作用，不加入 t st 與 so （即不考慮 SOC）. - 22 -. (2-28).
(28) FIG. 2. 6 在不同強度的交錯磁場下能譜的變動情形. 接著，再來看看當 tst 0 時，不同大小的交錯磁場（ hst ）對於系統能譜所 造成的影響。由 FIG.2.6 及(2.28)式可知，不加入交錯磁場且未加交錯電場時， 在 k=–π 與 k=＋π 處的能隙將為零。然而，由(2.27)式可知：隨著 hst 值的變動， 上下兩能帶之間的能隙將逐漸拉大。. - 23 -.
(29) 2.3.2. hst 0 ， tst 0 ， so 0 （即不考慮 SOC）. 由(2.24)式，並將上述的條件代入，其餘條件同 2.3.1 節，我們可以得到下 式： . 2 (k ) 2t0 cos(. 2. 2. ka ka ) 2tst sin( ) , 2 2 . (2-29). 由(2.30)式可知：系統仍具有四重簡併，調整其中任何參數值都無破壞此簡併態。 由此式亦可求得系統在不同 k 值下的能隙變動情形： 2. 2. ka ka (k ) 2 2t0 cos( ) 2tst sin( ) , 2 2 . (2-30). 在 k=–π、k=＋π 及 k=0，這三個點之間的能隙（energy gap）為：. ( ) 4tst .. (2-31). (0) 4t0 .. (2-32). FIG. 2. 7 僅加入 t st 的作用，不加入 hst. - 24 -. 與 so （即不考慮 SOC）.
(30) FIG. 2. 8 在不同強度的交錯電場下能譜的變動情形. 接著，再來看看當 hst 0 時，不同大小的電場（ t st ）對於系統能譜所造成 的影響。由 FIG.2.8 及(2.31)式可知而：隨著 t st 值的變動，上下兩能帶之間的能 隙將逐漸拉大。. 2.3.3. hst 0 ， tst 0 ， so 0 （即不考慮 SOC）. 將系統的參數取為常數（ hst 0.8 ， tst 0.4 ，均不隨 t 值而變動），並且 令(2.24)式中的 h0 0 ，晶格常數 a=1，在不考慮自旋–軌道耦合的效應下（即. so 0 ），(2.24)式可改寫為：. . 2. 2 (k ) hst2 2t0 cos(. 2. ka ka ) 2tst sin( ) . 2 2 . - 25 -. (2-33).
(31) 我們將系統的各項參數代入後，我們便可畫出此系統的 Brillouin zone，結 果如 FIG 2.9。由(2.33)式，我們亦可求得系統在不同的 k 值下，上下能帶之間 的能隙大小為： 2. 2. ka ka (k ) 2 hst2 2t0 cos( ) 2tst sin( ) , 2 2 . (2-34). 在 FIG 2.9 中，由於「空間反轉對稱」與「時間反轉對稱」的關係，因而具 有四重簡併。由(2.35)式和(2.36)式，亦可知在 k=–π、k=＋π 與 k=0，這三個點 之間的能隙為： ( ) 2 hst2 4tst2 ,. (2-35). (0) 2 hst2 (2t0 ) 2 .. (2-36). 接著，再來看看當磁場（ hst ）與電場（ t st ）同時穩定作用（兩者均為固定 常數）於系統上時，對於系統能譜所造成的影響。由 FIG.2.10 及(2.34)式可知： 隨著 t st 值的變動，上下兩能帶之間的能隙將逐漸拉大。. FIG. 2. 9 加入 hst. 與 t st 的作用，但 so 0 （不考慮 SOC）. - 26 -.
(32) FIG. 2. 10 在不同強度的交錯磁場與交錯電場作用下的能譜比較. 2.3.4. hst 0 ， tst 0 ， so 0 （加入 SOC）. 在前幾節中，我們並未將 SOC 的作用考量進來，因而並未出現簡併被破壞 的情形，以下我們以加入 SOC 作用為前提，來探討各項參數對於系統所造成的 影響。 由(2.24)式，並將上述的條件代入後，我們可以得到下式： 2. ka ka (k ) h 2t0 cos( ) 2so sin( ) 2 2 2. 2. 2 st. 2. ka 2 4h 2so sin( ) 4 2t0 so sin(ka) . 2 2 st. (2-37). 由(2.37)式可以很明顯地看出，根號項的出現，將會造成系統的簡併被破壞。此 時，原本的能帶將會出現 level splitting。Energy gap 的大小如下(2.38)式： 2 2 2 ka ka (k ) 2 hst 2t0 cos( ) 2so sin( ) 2 2 . ka 2 4hst2 2so sin( ) 4 2t0 so sin( ka) 2 2. - 27 -. 1. 2. (2-38).
(33) 而 level splitting 的大小則為（以下〝＋〞表示 0 的部分。 0 的部分情況亦 同）： 2. 2. 2. ka ka ka 2 (k ) hst2 2t0 cos( ) 2so sin( ) 4hst2 2so sin( ) 4 2t0so sin(ka) 2 2 2 2. 2. 2. ka ka ka 2 h 2t0 cos( ) 2so sin( ) 4hst2 2so sin( ) 4 2t0so sin(ka) . 2 2 2 2 st. (2-39) 當 k=–π 與 k=＋π 時，由(2.39)式可以判斷各能帶之間的能隙大小。而就. 0 的部分，由 SOC 效應在當 k=–π 與 k=＋π 處，所造成的 level splitting 大小 則為：. ( ) hst2 4so2 4hst so hst2 4so2 4hst so .. (2-40). FIG. 2. 11 交錯磁場與 SOC 作用下的情形. 由 FIG.2.11 及(2.38)式，我們可以看出，當 tst 0 時，無論 hst 如何變動， 均無法破壞系統在 k=0 處的簡併，但是，中間的能隙（energy gap）會隨 hst 的 增加，而有加大的情形。另外，在 k≠0 的部分，能帶將會產生分裂為二（level splitting）。. - 28 -.
(34) FIG. 2. 12 在不同強度的交錯磁場與 SOC 作用下能譜的變動情形. 2.3.5. hst 0 ， tst 0 ， so 0 （加入 SOC）. 由(2.24)式，並將上述的條件代入後，我們可以得到下式： 2. 2. 2. ka ka ka 2 (k ) 2t0 cos( ) 2tst sin( ) 2so sin( ) 4 2t0so sin(ka) . 2 2 2 2. (2.41) 由(2.42)式，我們可以看出 SOC 作用的存在仍能造成系統簡併的破壞。因此， 即使沒有外加磁場，在電場與 SOC 作用下，系統仍具有 energy gap（ (k ) ） 和 level splitting（ (k ) ）。其表示如下：. 2. 2. 2. ka ka ka 2 (k ) 2 2t0 cos( ) 2tst sin( ) 2so sin( ) 4 2t0so sin(ka) . 2 2 2 (2.42). - 29 -.
(35) 2. 2. 2. ka ka ka 2 (k ) 2t0 cos( ) 2tst sin( ) 2so sin( ) 4 2t0 so sin( ka) 2 2 2 2. 2. 2. ka ka ka 2 2t0 cos( ) 2tst sin( ) 2so sin( ) 4 2t0 so sin(ka) . 2 2 2 (2.43) 系統在 k=–π 與 k=＋π 時的能量為：. 2 ( ) (2tst )2 (2so )2 4t0so .. (2-44). 因此由(2.44)式可知， 0 的部分由 SOC 在 k=–π 與 k=＋π 處，所造成的 energy gap 和 level splitting 的大小分別為： ( ) 2 (2tst ) 2 (2so ) 2 4t0so . 2. (2-45) 2. ka ka ka ( ) 2t0 cos( ) 2tst sin( ) 2so sin( ) 2 2 2 2. 2. 2. ka ka ka 2t0 cos( ) 2tst sin( ) 2so sin( ) 2 2 2 0.. 2. (2-46). 由 FIG.2.14 及(2.43)式，我們可以看出，當 hst 0 時，無論 t st 如何變動， 均無法破壞系統在 k=0 處的簡併，但是，中間的 energy gap 會隨 t st 的增加，而 有加大的情形。另外，在 k≠0 的部分，能帶將會產生分裂為二（level splitting）， 如要求得 level splitting 分裂的最大值，則可以令(2.43)式對 k 的一次導數為零， 此時即可求出。然而，在 k=–π 與 k=＋π 處，兩分裂能帶又重合為一。以下則 呈現出：在不同 t st 值下，系統能譜的變動情形。. - 30 -.
(36) FIG. 2. 13 交錯電場與 SOC 作用下的情形. FIG. 2. 14 在不同強度的交錯電場與 SOC 作用下能譜的變動情形. 2.3.6. hst 0 ， tst 0 ， so 0 （加入 SOC）. 最後，我們考慮當外加磁場與電場同時穩定存在時的情形。系統參數如標 題所列，在不考量外加弱磁場的情形下，系統的能量可表示如下： 2. 2. ka ka ka (k ) h 2t0 cos( ) 2tst sin( ) 2so sin( ) 2 2 2 2. 2. 2 st. 2. ka 2 4h 2so sin( ) 4 2t0 so sin(ka) . 2 2 st. - 31 -. (2-47).
(37) FIG. 2. 15 交錯磁場、交錯電場與 SOC 作用下的情形. 由(2.48)式，我們可以看出產生 level splitting 最主要是「根號項」的存在，因 此，我們可以得到以下結論： 1、系統在沒有 SOC 的作用下，是無法產生 level splitting 的。 2、 hst 必須在 SOC 作用下才能破壞系統的簡併。 3、在 k=0 這個點上，無論參數值如何，均維持四重簡併。 此系統的 energy gap 和 level splitting 分別為： 2 2 2 2 ka ka ka (k ) 2 hst 2t0 cos( ) 2tst sin( ) 2so sin( ) 2 2 2 2 ka 2 4hst2 2so sin( ) 4 2t0 so sin(ka) 2 . 2. 2. 1. 2. .. (2-48). 2. 2. ka ka ka ka 2 (k ) hst2 2t0 cos( ) 2tst sin( ) 2so sin( ) 4hst2 2so sin( ) 4 2t0 so sin( ka) 2 2 2 2 2. 2. 2. 2. ka ka ka ka 2 hst2 2t0 cos( ) 2tst sin( ) 2so sin( ) 4hst2 2so sin( ) 4 2t0 so sin(ka) . 2 2 2 2 . (2.49). - 32 -.
(38) 由(2.49)式及(2.50)式，我們可以得到系統在 0 的部分由 SOC 在 k=–π 與 k= ＋π 處，所造成的 level splitting 大小為：. ( ) hst2 (2tst )2 (2so )2 4hst so hst2 (2tst ) 2 (2so ) 2 4hst so .. (2-50). 2.3.7 自旋－軌道耦合的方向 在前幾節中，我們是利用將系統的 tight-binding model 轉換至 k 空間後得到 系統的 4×4 階 Hamiltonian， H 44 (k ) ，並解出系統的本徵值， (k ) 。不過，為 了能算出 H 44 (k ) ，我們是將 SOC 在系統中的方向取在「y 軸」上。然而，如果 要更廣泛地去了解這個系統，我們必須試著將 SOC 的方向取在其他「任意方向」 上，但是，這將會使 H 44 (k ) 的形式更加複雜，因而造成計算上的難度。因此， 在此我們將直接利用轉換後所得到的 Hamiltonian， H 44 (k ) ，並透過能譜來分 析 SOC 的方向會對系統造成什麼樣的影響？ 在本章 2.1 節中的(2.10)式，即是 SOC 方向取在「任意方向」的 Hamiltonian，經由(2.6)式（ eso (sin cos ,sin sin ,cos ), 角度的取值後，我們可以得到以下的能譜：. FIG. 2. 16 自旋－軌道耦合的方向（一） - 33 -. eso 1, ），不同.
(39) FIG. 2. 17 自旋－軌道耦合的方向（二）. 觀察 FIG.2.16 和 FIG.2.17，我們可以知道：當自旋－軌道耦合在 y 方向上具有 分量時，系統在 k=–π 與 k=＋π 處會出現 level splitting。相反地，如果在 y 方向 不具分量時，則會出現「簡併」的情形。也因此，我們可以確認：在此系統中， 自旋－軌道耦合的方向對於系統亦會產生影響。 以上各節的分析均是將系統轉換至 k 空間後，對於各項可能影響系統的參 數進行分析。然而，以上的電場與磁場都是控制在「靜態」，也就是：定值！ 不產生變動的情形。至於在 Fu and Kane model 中，則是利用「電場與磁場交錯 變動」的方式來作用在系統上。這部分的分析，將會在第三章中進行。 以下將本節中所探討的各項參數對 Fu and Kane model 的能譜所造成的影響， 整理成下表1：. 1. e so 在 y 軸上有分量時，能帶會在 k 處具有裂隙。若 e so 沒有 y 分量，則分裂的能帶會 在 k 處重合。 - 34 -.
(40) hst. t st. so. 能隙. 分裂. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Table 2. 1 各項參數對 Fu and Kane model 的能譜所造成的影響. ：表示該參數不等於零或現象有產生。. ：表示該參數等於零或現象沒產生。 能隙（energy gap）：指上下兩能帶間的最小能量差。 分裂（level splitting）：指能帶的分裂。. - 35 -.
(41) 第三章 數 值 分 析. [ 21 ]~[ 23 ]. 本章將對於 Fu and Kane model 在不同邊界條件（boundary condition）下的 情形進行分析，並且觀察在不同邊界條件下自旋的堆積與移動的情形。第二章 中(2.1)式至(2.5)式為 Fu and Kane model 的緊束縛模型，在此模型中，我們將建 立起一個一維的直鏈（one dimensional chain），在這 chain 上排入 N 個 site，並 在這 N 個 site 上，利用「電場與磁場規律性交錯變動」的方式，來驅動系統的 電荷（charge）與自旋（spin），如第二章(2.7)式與 FIG.2.3 所示。以上模型， 我們將在不同的邊界條件下進行分析和討論： 1、週期性邊界條件（periodic boundary condition, PBC）。 2、開放邊界條件（open boundary condition, OBC）。 3、開放邊界條件並於直鏈兩側外加 site。 在探討各種不同的邊界條件之前，我們必須先介紹要如何呈現自旋與電荷 的分布情形？在此我們將利用計算系統「機率密度分布」的方式來分析自旋與 電荷的變動情形。 首先，將「Fu and Kane model 的緊束縛模型」，利用對角化的方式得到 Hamiltonian 的矩陣式，並求出系統的本徵能量（eigenenergy）與其所對應的本 徵態（eigenstate）。其本徵方程式如下所示：. H nn n n n , n 1, 2,3...... c1 c 2 c3 n c1 c 2 c3 . c : 第 個site , () :自旋向上（向下）. - 36 -.
(42) 第 α 個 site 的電荷密度（charge density, ）與自旋密度（spin density, s ）分 別可表示為： 2. c c 2. s c c . 2. (3-1) 2. (3-2). 由(3.1)式與(3.2)式，我們可以得到系統第 α 個 site 的電荷密度 (t ) 與自旋密度. s (t ) 隨 t 值的變動情形2,3。. 2 3. 本章所說的第 α 個本徵值，指的是：本徵值由小至大排序，最小的本徵值訂為第 1 個本徵值。 當本徵值隨 t 值而變動時，部分本徵值之大小順序可能產生變動。因此，為確保系統是在「同 一」本徵值變動下所進行的分析，我們將經由能譜中的譜線變化情形來選擇適當的本徵值進 行分析。 - 37 -.
(43) 3.1 週期性邊界條件（periodic boundary condition, PBC） 若把系統的 tight-binding model 在週期性邊界條件下直接對角化，我們可以 得到系統在實空間中的 Hamiltonian，如(3.3)式所示。. H 88. hst * a 0 b 0 * e 0 f. a hst b* 0 f 0 e* 0. 0 b hst a* 0 f 0 e*. b* 0 a hst e* 0 f 0. 0 f* 0 e hst c* 0 d. e 0 f* 0 c hst d* 0. 0 e 0 f* 0 d hst c*. f* 0 e 0 d* 0 c hst . 其中， a t0 tst iso cos , b t0 tst iso cos , c t0 tst iso cos , d t0 t st iso cos , e iso sin ei , f iso sin e i ,. (3-3). 此式表示的是一個具有 4 個 site 的 chain，若包含自旋的維度，則其 Hamiltonian 為 8×8 矩陣。在此我們將考慮的是一個具有 24 個 site 的 chain，因 此，Hamiltonian 為 48×48 矩陣。 若以 8×8 階矩陣為例，如(3.3)式。由於目前系統所考慮的是 PBC，因此， Hamiltonian 的矩陣式在粗斜體字這幾個矩陣元都必須有值（表示系統「首尾相 連」，為一週期性循環的系統）。 系統變大時的情形亦同。而系統中所運用的交錯電場與交錯磁場，將依(3.4) 式所預設的路徑進行「交錯變動」。. - 38 -.
(44) R(t ) (tst (t ), hst (t )) (tst cos(. 2 t 2 t ), hst sin( )) T T. (3-4). 首先，我們在不考慮 SOC 的作用下，得到 FIG.3.1。由於系統為 48×48 階 的矩陣，因此，在能量小於零的部分（大於零亦同）會有 24 個本徵值，因此 FIG.3.1 中的能帶有簡併的情形。經由程式計算可得：除最大與最小能帶為 2 重 簡併外，其餘皆為 4 重簡併。由「空間反轉對稱性」與「時間反轉對稱性」亦 可知道此項結果可以成立。. FIG. 3. 1 PBC 且不考慮 SOC 作用下的能帶。能量小於零的部分，能量最低與最高能帶各為 4 重簡併，其餘皆為 2 重簡併。依據(2.35)式，圖中能隙的大小為常數，因此，兩能帶 呈現水平線，. 接著，我們把 SOC 的作用列入考量。FIG.3.2 為本徵值隨 tst t 與 hst t 的變 動情形。由於系統的 Hamiltonian 為 48×48 階矩陣，因此會有 48 個本徵值（大 於零與小於零的本徵值各半）。由第二章的分析，我們知道系統的各項參數所 產生的影響。當 t 0 時， hst 0 時，系統的簡併未被破壞，所以，FIG.3.2 中 t=0 的這個點在 E 0 的部分應有 12 個兩兩簡併的點。隨著 t 值的變動，簡併將 被破壞。至 t . T 時，可以很明顯地看出原本簡併的譜線，出現裂隙！如 4. FIG.3.2 和 FIG.3.3。 - 39 -.
(45) FIG. 3. 2. PBC 且考慮 SOC 作用的能帶（一）. 由於簡併的存在會造成我們在分析上的困難。然而，SOC 的作用恰能使得 能帶的簡併被破壞（除 t 0,. T 外），如此我們在分析上便容易許多。接下來， 2. 為了分析系統的電荷與自旋的移動情形，我們得更細部地去看每一個 site 的電 荷密度與自旋密度隨 t 值的變動情況。由 FIG.3.3 可知，除了在 t 0, T 2 二個點 外，其餘都是呈現沒有簡併的狀態，這兩個點稱為 time-reversal invariant moments（TRIMs）。. FIG. 3. 3 PBC 且考慮 SOC 作用的能帶（二）。隨 t 變動時，互為簡併的兩能帶將會出現裂隙， 在0 t. T 2 的部分並沒有出現簡併的情形。 - 40 -.
(46) (3.1)式與(3.2)式分別表示第 α 個 site 的電荷密度與自旋密度。利用(3.1)式 與(3.2)式，我們可以得到 FIG.3.44，此為系統在不同強度的交錯磁場與交錯電場 作用下，每個 site 的電荷密度與自旋密度的變動情形。. FIG. 3. 4. 電荷密度與自旋密度在不同 t 值下的變動情形（一）. 依據 FIG.3.4，我們將分析分為兩部分，分別為：「電荷密度」與「自旋密 度」。 1、電荷密度： 當 t 0 時，交錯磁場（ hst ）為零，此時只有交錯電場（ t st ）的作用，由 FIG.3.4 中可知：每一個 site 的電荷密度均相等。當 t 0 時， hst 0 ，系統呈 現「以兩端為端點的上下擺動的情形」。 2、自旋密度： 當 t 0 時，交錯磁場（ hst ）為零，系統為 2 重簡併。在此我們加入了弱磁 場（ h0 ）用以破壞簡併。而弱磁場的方向在沒有 hst 的作用下，會對自旋方向產 生影響，FIG.3.4， t 0 圖中，其 h0 為正時，自旋密度則均為正，也就是：此時 4. 當 t 0, T 2 時， hst. 0 ，因此，弱磁場（ h0 ）的加入可以避免因簡併所造成分析上的困難。 - 41 -.
(47) 所有 site 的自旋，傾向「向上」。反之亦然。 再由圖中各個 site 機率密度的分布情形來判斷，我們可以利用第 1 個 site 與第 2 個 site 隨 t 的變動情形，來代表其它奇數 site 與偶數 site 隨 t 的變動。因 此，我們進一步畫出 FIG.3.5。 由 FIG.3.5 可知：若 t 值由 0 漸增，則第奇數個 site 的自旋傾向於由「向下 自旋」開始變動；第偶數個 site 則是傾向由「向上自旋」開始變動。然而，當. T 時， hst 回到為零的狀態，而此時交錯電場（ t st ）的方向與 t 0 時的方向 2 T 相反，因而所有 site 的自旋則傾向於「向上自旋」，因此在 FIG.3.5 中 t 時 2 t. 會出現「跳躍點」。. FIG. 3. 5 電荷密度與自旋密度在不同 t 值下的變動情形（二）. 由 FIG.3.5，我們可以看出，在交錯電、磁場的作用下，第奇數個 site 與第 偶數個 site 之電荷密度有著相同的「消漲」方式。然而，就「自旋密度」而言， 則出現「一消一漲」的情形，因此，在這 chain 的「電荷密度」與「自旋密度」 確實有受到交錯電、磁場的作用而產生擾動。. - 42 -.
(48) 3.2 開放邊界條件（open boundary condition, OBC） 本節將週期性的邊界改為「開放性的邊界條件」。若同樣以 8×8 階的 Hamiltonian 為例，在 3.1 節中所討論之週期性邊界條下，Hamiltonian 的對角化 矩陣其元素位於(3.5)式中的粗斜體數字部分均有值。而在開放性邊界條件下， 則這些位置的矩陣元，其值為零，以此來表示該 chain 是首尾不相連接的狀態。 其 8×8 階矩陣元表示如下：. H 88. hst a* 0 0 0 * e 0 0. a hst b* 0 f 0 e* 0. 0 b hst a* 0 f 0 e*. 0 0 a hst 0 0 f 0. 0 f* 0 0 hst c* 0 0. e 0 f* 0 c hst d* 0. 0 e 0 f* 0 d hst c*. 0 0 e 0 0 0 c hst . (3-5). 我們仍然以(3.4)式所預設的路徑進行「交錯變動」。(3.4)式如下：. R(t ) (tst (t ), hst (t )) (tst cos(. 2 t 2 t ), hst sin( )) T T. 以下我們將分為「在沒有 SOC 作用下」與「SOC 作用下」的兩種情形來加以 討論：. 3.2.1 在沒有 SOC 作用下（ so 0 ） 在沒有 SOC 的作用下，系統將維持 2 重簡併，由於系統的 Hamiltonian 為 48×48 階矩陣。因此，在能量小於零的部分應該有 24 個本徵值，然而 FIG.3.6 中的能帶數有 12 條，因此每一條能帶均為 2 重簡併，此結果亦可經由電腦的計 算結果得到驗證。. - 43 -.
(49) FIG. 3. 6. OBC 且不考慮 SOC 作用下的能帶。當系統不具有週期性邊界時，將出現 edge state， 即圖中的交叉處。. 回想前一節 PBC 的情形，除了最大能量與最小能量（能量小於零的部分） 所形成的能帶為 2 重簡併外，其餘能帶皆為 4 重簡併。若將 PBC 改為 OBC 時， 原本 PBC 中 4 重簡併的部分將會被破壞為 2 重簡併，而最大能量與最小能量處， 仍維持 2 重簡併。因此，FIG.3.6 所有能帶均為 2 重簡併。 然而，為了更清楚觀察電荷與自旋的變動情形，我們以下均選擇能譜中的 edge state（第 24 個本徵值）來進行分析。FIG.3.7 即是由 edge state 所畫出在不 同 t 值下各個 site 的電荷密度與自旋密度分布圖。而 FIG.3.8 是為更清楚觀察每 個 site 隨 t 的變動情形所畫。. - 44 -.
(50) FIG. 3. 7 電荷密度與自旋密度在不同 t 值下的變動情形5. 經由 FIG.3.7，我們可以探討「電荷密度」與「自旋密度」的變動情形。 1、電荷密度： 當 t 0 時， hst 0 ，此時電荷分布將集中於 chain 的中間，而兩側的分布 則較少。隨著 t 值的變動，電荷的分布有逐漸往兩側偏移累積的情形。當 t . T 2. 時，chain 的中間部分電荷密度接近於零，並且有堆積於兩側的情形發生。而當. t. T 時，電荷的分布情形是由累積於兩側開始往 chain 的中間移動，最後回復 2. 到初始態。 2、自旋密度： 由圖中可見自旋密度的變動，可分成「第奇數個 site」和「第偶數個 site」 來討論。當 t 0 時， hst 0 ，自旋有累積於 chain 中間部分的情形。在. 0t . 5. T 時，隨著 t 的增加，第奇數個 site，其「自旋向下」的機率密度漸增， 2. 圖中的 t 值如 FIG.2.3 所示。 t 90 t T 4, t 180 t T 2, t 360 t T , 此類推。 - 45 -. 以.
(51) 而第偶數個 site，則是「自旋向上」的機率密度漸增，此現象由 FIG.3.8 可以更 清楚看到。. FIG. 3. 8 電荷密度與自旋密度隨 t 的變動情形（一）。Site-chain 的前端。. 為了可以更清楚知道在 chain 兩端的 site 其機率密度的分布情形，我們將其 隨 t 的變化結果呈現在 FIG.3.8（chain 的前端）與 FIG.3.9（chain 的末端）。. FIG. 3. 9 電荷密度與自旋密度隨 t 的變動情形（二）。Site-chain 的末端。. 在進一步分析之前，我們可由 FIG.3.7「電荷密度」部分清楚看到「前、後 chain」具有相似的變化方式，並且看出其關係為：chain 的前半段與後半段，有 - 46 -.
(52) 著類似「鏡像」的對稱關係。隨著 t 的增加，我們可以由 FIG.3.8 和 FIG.3.9 看 到電荷密度的變化。在 t . T 時，chain 的前半段，第奇數個 site 的電荷密度逐 2. 漸由小變大，而第偶數個 site 則是由大變小；chain 的後半則相反。並且由 FIG.3.7、 FIG.3.8 當可看出，在 t 0 時愈接近 chain 的中間部分，其電荷密度 值較大。當 t 愈接近. T 時，在 chain 前半段第奇數個 site 的部分，由 FIG.3.8 左 2. T 處，可以看出其電荷密度是漸減的；至於第偶數個 site 的部分，由 2 T T FIG.3.8 右側圖 t 處可看出其電荷密度是接近零。綜合而言，當 t 愈接近 2 2 側圖 t . 時，電荷密度是往 chain 的兩端去集中的，由 FIG.3.7、FIG.3.8 和 FIG.3.9 可知 電荷的集中情形。 在「自旋密度」部分，在 t 0 時， hst 0 ，此時，「自旋向上」的機率密 度等於「自旋向下」的機率密度。接著，我們仍將分為「chain 的前半段」與 「chain 的後半段」來分析。在 t . T 時，chain 前半段部分，第奇數個 site 均呈 2. 現「向下自旋」，機率密度愈接近 chain 的中間，其值愈高。而第偶數個 site 則 是呈現「向上自旋」，自旋密度隨 t 值的增加而增加，而由 FIG.3.8 右側圖可看 出，第偶數個 site 的自旋密度在接近. T T 時，開始遞減，並且在大於 後逐漸降 4 4. 低為零。而在 chain 後半段部分，則是在第偶數個 site 的部分呈現 chain 前半段 第奇數個 site 的情形，如 FIG.3.9 所示。因此，如再配合 FIG.3.7，可以看出在. T T 時，電荷已呈現出累積於 chain 兩端的現象。在 t 時，電荷由累積 2 2 T 於 chain 的兩端開始往 chain 的中間移動，由於在 t 部分，系統的 hst 會變號 2 T （與 t 時的作用方向相反），因此，將會影響每一個 site 的自旋方向。至於 2 T t st ，在 t 之後， 作用是由零逐漸增加，這部分與 t 0 之後是相反的。因 2 接近. - 47 -.
(53) 此，系統在 t . T T 時，其「電荷密度」與 t 時有相同的分布情形；而「自旋 2 2. 密度」則有相反的分布情形。6. 3.2.2 在 SOC 作用下（ so 0 ） 在 OBC 的邊界條件下，若再加入 SOC 的作用（ so 0 ），3.2.1 節中的 2 重簡併將會被破壞，如 FIG.3.10。 圖中的結果顯示：在能量愈低的能帶，其簡併隨 t 的變動被破壞的程度愈 小。由於 Hamiltonian 為 48×48 階矩陣，因此，在. E 0 的部分，在某一 t 值會 t0. 24 個本徵值，然而在 t 0 （ hst 0 ）處僅有 12 個本徵值，再由程式計算所得， 我們可以知道 t 0 時，所有能帶均為 2 重簡併。在 t 0 時，由於 hst 0 ，系. T 之後，我們可以清楚看到第 23 和第 24 條能帶， 4 T 其間的裂隙逐漸變小，之後便再次呈現出簡併的型態。當 t 時，第 23 和第 2 統的簡併將被破壞。在 t . 24 個本徵值所成的簡併能帶，其能量值為零（. t. E 0 ）。由其他能帶亦可看出 t0. T 時，所有能帶均回到 2 重簡併的型態。此處 t 0, T 2 在 time-reversal 2. symmetry 的保護下仍維持簡併（TRIMs）。. 6. 在 FIG.3.8 及 FIG.3.9 中，部分圖形的自旋密度在 t T 2 處出現「跳躍點」，出現這種情形的 原因是： t T 2 時，系統為簡併，因此無法去分辨此處自旋的變動情形。如果要處理這種情 形，我們可以將系統加上弱磁場，以破壞此處的簡併。在加上弱磁場後，此跳躍點將會往上 移動或往下移動（視弱磁場的方向而定）。 - 48 -.
(54) FIG. 3. 10. OBC 且考慮 SOC 作用下的能帶（一）。出現 edge state 且簡併被壞。. FIG. 3. 11 OBC 且考慮 SOC 作用下的能帶（二）. 接著，我們將從「電荷密度」與「自旋密度」來進行分析。 1、「電荷密度」部分： 由 FIG.3.12 我們可以看出，其電荷密度的分布與未加入 SOC 效應時的情形「類 似」，都是：在任一 t 值時，電荷密度分布均以 chain 的中心為基準，呈現「左 右對稱」的情形。在 t 0 時，電荷的分布集中於 chain 的中間部分。隨 t 值的. T T ）， hst 漸增、 t st 漸減，當 t 時， tst 0 ， hst 有最大值，此 4 2 T 時，電荷將集中於 chain 的中間部分。而當 t 時， hst 漸減、 t st 則反向（變 4 增加（ t . - 49 -.
(55) T 時，中間部分的 site 幾 2 乎沒有電荷分布，而是累積至 chain 的兩端，如 FIG.3.12 中， t 180 所示。而 號），則電荷的分布逐漸往 chain 的兩端移動，在 t . 在t . T 部分，反向的 hst 作用，使得電荷往 chain 的中間集中，並且在 t T 時， 2. 回到初始狀態。. FIG. 3. 12 電荷密度與自旋密度在不同 t 值下的變動情形. 2、「自旋密度」的部分： 在 t 0 的部分，在考量 SOC 的作用下，系統仍會呈現出「第奇數個 site」 有相同自旋方向與「第偶數個 site」有相同自旋方向的情形，如 FIG.3.13 與 FIG.3.14 所示（此處的「跳躍點」仍可經由上節中附註 4 的方式處理）。. T 時，chain 的前半段第奇數個 site 為隨 t 的增加而有偏向「自旋 2 T 向下」，並且當 t 值接近 時，chain 前端奇數 site 會累積「向下自旋」的電子； 2 T chain 末端偶數 site 會累積「向上自旋」的電子。而 t T 時則與上述情形 2 在0 t . 相反，一次循環後系統回到初始態。. - 50 -.
(56) FIG. 3. 13 電荷密度與自旋密度隨 t 值的變動情形（一）。Site-chain 的前端。. FIG. 3. 14 電荷密度與自旋密度隨 t 值的變動情形（二）。Site-chain 的末端。. 由「電荷密度」與「自旋密度」的分析，我們可以看出：即使考量 SOC 作 用，系統在經由交錯變動的電、磁場作用下，電荷密度與自旋密度仍然可受其 作用而產生擾動。而至於是否有產生 pump 的效應？我們將在下一節中探討。. - 51 -.
(57) 3.3 開放邊界條件並於直鏈兩側外加 site7 由 3.2 節的分析，我們了解到經由「電場與磁場，在(3.4)式所預設的路徑 進行交錯變動的作用」下，可以產生電荷流與自旋流。在本節中，我們將在交 錯電場與磁場的作用範圍外，另外加上「空」的 site，如 FIG.3.158所示。 FIG.3.15 是一條中間具有 24 個 site 且兩端各有外加 12 個 site 的直鏈，而交錯 的電場與磁場作用於中間的 24 個 site 上。我們希望能夠驗證這個系統經由交錯 電、磁場的作用，在一次循環作用下能夠 pump 自旋到 side-chain 上。. FIG. 3. 15 在 chain 的兩端外加 site 的示意圖. 我們以「chain 中間有 4 個 site，而兩側各加入 2 個 site」的系統為例，並 將此系統簡單表示為：「2＋4＋2」系統。「2＋4＋2」系統共有 8 個 site，若 考量自旋的維度，則 Hamiltonian 的矩陣為 16×16 階矩陣。此系統之 Hamiltonian 的對角化矩陣型式如(3.4)式所示。式中用粗斜體字所填寫之矩陣元， 是用以表示其為「外加的 site」，此「外加的 site」並未包含 t st 和 hst 作用項， 此即表示：在這些外加的 site 中，並未加入交錯電、磁場的作用。. 7 8. 本節中的自旋－軌道耦合方向取為： eso 0,1,0 我們將 FIG.3.15 中 1st～12th site 稱為「左端」的 side-chain。而 13th～36th site 則稱為「作 用 chain」。37th～48th site 稱為「右端」的 side-chain。 - 52 -.
(58) H1616. 0 t 0 0 0 0 0 0 0 0 e* 0 0 0 0 0 0 . t0 0 t0 0 0 0 0 0 f 0 e* 0 0 0 0 0. 0 t0 hst a* 0 0 0 0 0 f 0 e* 0 0 0 0. 0 0 a hst b* 0 0 0 0 0 f 0 e* 0 0 0. 0 0 0 b hst a* 0 0 0 0 0 f 0 e* 0 0. 0 0 0 0 a hst t0 0 0 0 0 0 f 0 e* 0. 0 0 0 0 0 t0 0 t0 0 0 0 0 0 f 0 e*. 0 0 0 0 0 0 t0 0 0 0 0 0 0 0 f 0. 0 f* 0 0 0 0 0 0 0 t0 0 0 0 0 0 0. e 0 f* 0 0 0 0 0 t0 0 t0 0 0 0 0 0. 0 e 0 f* 0 0 0 0 0 t0 hst c* 0 0 0 0. 0 0 e 0 f* 0 0 0 0 0 c hst d* 0 0 0. 0 0 0 e 0 f* 0 0 0 0 0 d hst c* 0 0. 0 0 0 0 e 0 f* 0 0 0 0 0 c hst t0 0. 0 0 0 0 0 e 0 f* 0 0 0 0 0 t0 0 t0. 0 0 0 0 0 0 e 0 0 0 0 0 0 0 t0 0 . 其中， a t0 tst iso cos , b t0 tst iso cos , c t0 tst iso cos , d t0 t st iso cos , e iso sin ei , f iso sin e i ,. (3-6). 以下將以 Fu and Kane 的模型為主，採用「12＋24＋12」的系統，此系統之 對角化 Hamiltonian 矩陣式，其表示形式如(3.4)式所示，僅需增列多個矩陣元即 可。. 3.3.1 在沒有 SOC 作用下（ so 0 ） 在沒有 SOC 的作用下，系統的能帶為 2 重簡併。由於此為具有 48 個 site， 96×96 階矩陣的系統，因此，具有 96 個本徵值，而小於零的本徵能量數則有 48. - 53 -.
(59) 個。由 FIG.3.17 可以看出，當 t . T 時，小於零的能量共有 24 個點，由於本應 4. 有 48 個本徵值，再加上由程式所得到之結果比對後，我們可得一個結論：每一 能帶均為 2 重簡併。當我們觀察 t 0 時的情形，我們可以發現，第 1 個與第 23、 第 24 個的本徵值是 4 重簡併的。 然而，當 t 0 時，第 1 個與第 23、第 24 個的本徵值其簡併被壞，由 FIG.3.16 圖中可以看出，它是由 4 重簡併分裂成 2 條 2 重簡併的能帶。因此在 圖中， t 0 的所有能帶均為 2 重簡併。當第 t 0,. T , T 時， hst 0 ，能帶又回 2. 到 4 重簡併。. FIG. 3. 16. OBC 下兩端外加 site 且不考慮 SOC 作用的能譜（一）. FIG. 3. 17. OBC 下兩端外加 site 且不考慮 SOC 作用的能譜（二） - 54 -.
(60) FIG.3.18 為系統在不同 t 值下，每一個 site 的電荷密度與自旋密度的變化圖。 在這個圖中，我們首先注意到：位於 chain 中間的部分 site，其電荷密度與自旋 密度「看起來」始終為零，然而，這些 site 的機率密度真的在每一個 t 值下都是 零嗎？我們得進一步再確認。如果我們觀察中間 site 其電荷密度與自旋密度隨 t 變化的情形，我們確實可以看到愈接近 chain 中間的 site，其電荷與自旋的機率 4. 密度愈小（約10 數量級左右或以下，但不為零）。也就是說：在 t st 與 hst 的交 互作用下，若不考慮自旋—軌道交互作用，電荷與自旋的變動將集中於 chain 的兩側。. t 0 時，電荷集中在 chain 的兩端，而每一個 site 其向上自旋機率密度與向 下機率密度相等。 0 t . T 時，向上自旋的電子集中在 chain 的右端，而向下自 2. 旋的電子則集中在 chain 的左端。當 t 自旋向下的機率密度相等。在. T 時， hst 0 ，每一個 site 自旋向上與 2. T t T 時，自旋又開始往兩端累積，而 chain 2. 的中間部分，無論是電荷密度或是自旋密度始終維持在接近零的位置上。. FIG. 3. 18 電荷密度與自旋密度在不同 t 值下的變動情形. - 55 -.
(61) 接下來，我們由 chain 的不同區段來探討「電荷密度」與「自旋密度」的 變動情形9。 1、左端 side-chain： FIG.3.19 為 chain 的左端，隨 t 值變動的情形。如 FIG.3.18，當 t 0 時，. hst 0 ，此時只有 t st （ tst 0 ）有作用，並使得電荷往兩端「空」的 site 去堆 積。當 0 t . T ，愈接近 chain 左端的第奇數 site，其電荷密度與自旋密度的變 2. 動愈小。至於第偶數 site，則自旋向下的機率則漸減。在 t 布於 chain 的兩端。而在. T 時，電荷再次分 2. T t T 部分，由於 hst 方向改變使得兩端的自旋方向 2. 出現變化。隨 t 的變動，愈接近左端的第偶數個 site，其自旋向上的機率密度漸 增。. FIG. 3. 19 左端 side-chain 的電荷密度與自旋密度隨 t 值的變動情形. 9. FIG.3.19 與 FIG.3.20 為第 47 與第 48 個本徵態之疊加態。其疊加方式是經由 general unitary unimodular matrix 計算所得。 - 56 -. 2×2.
(62) 2、 chain 的作用區： FIG.3.20 與 FIG.3.21 是 chain 中間部分的 site，其機率密度的變動情形。我 們可以看出愈接近 chain 中間的 site 其機率密度的分布愈小（數量級約在 105 左 右）。而電荷密度則在接近交界處，呈現第奇數個 site 與第偶數個 site 明顯的 消漲情形。. FIG. 3. 20 作用區的中間與左端的電荷密度與自旋密度隨 t 值的變動情形. FIG. 3. 21 作用區的中間與右端的電荷密度與自旋密度隨 t 值的變動情形 - 57 -.
(63) 3、 chain 右端 side-chain： FIG.3.22 為 chain 的右端，其機率密度隨 t 值變動的情形。這部分的變動情 形與左端有著類似「鏡像」的對稱關係。. FIG. 3. 22 右端 side-chain 的電荷密度與自旋密度隨 t 值的變動情形. 以上的分析，均為在某一固定能帶下「電荷密度」與「自旋密度」的變動 情形。然而，如果要得到整個系統完整的電荷分布的變動情形與自旋分布的變 動情形，則必須將能譜中能量小於零的所有能帶，其各自的電荷密度與自旋密 度加總，我們稱為「總電荷密度」與「總自旋密度」。Table 3.1 與 Table 3.2 分 別呈現在不同 t 值時，在 chain 不同區段下10，其總電荷密度與總自旋密度的數 值。 Table 3.1 中，我們可以清楚看到隨 t 值的變動，總電荷密度值始終保持定值， 這表示：在此電、磁場循環交錯變動的系統中，由於不同自旋方向的電子朝向 不同方向運動，這使得每一個 site 的自旋密度分布有所不同。但是，每一個 site 的電荷密度卻始終保持不變。因此，我們可以說：此自旋幫浦無法 pump 電荷！. 10. 1～12 sites 與 37～48 sites 表示於 chain 兩端所外加的 site。而 13～36 sites 則是交錯電、磁場 的作用區域。 - 58 -.
(64) t 0 45 90 135 179 180 181 225 270 315 360. Total charge density 1st～12th sites 13th～36th sites 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24. 37th～48th sites 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12. Table 3. 1 所有 site 在不同 t 值下的總電荷密度. Table 3.2 是每一段 chain 在不同 t 值下的總自旋密度。隨著 t 值的變動，向 下自旋的電子傾向於向 chain 的左端移動，而向上自旋的電子則往右端移動。 在作用區與 side-chain 的交界處，我們可以觀察出，隨著 t 值的變動有等量，但 是自旋方向相反的電子進出，因此，在作用區中，總自旋密度是保持不變的！ 至於在兩側的外加 side-chain，位於左端部分（1st～12th site），隨著 t 值的 變動，自旋向上的電子往 chain 的右側移動而自旋向下的電子則往左側移動， 因而造成左端自旋向下的機率密度漸增，右端的部分則是自旋向上的機率密度 漸增，至於位於中間部分的作用區，其總自旋密度則保持不變。由 Table 3.2 我 們可將自旋在 chain 上的移動情形以 FIG.3.23 和 FIG.3.24 來表示。 Total spin density t 0 45 90 135 179 180 181 225 270 315 360. 1st～12th sites 0 -0.129664 -0.236055 -0.416958 -0.818538 0 0.818538 0.416958 0.236055 0.129664 0. 13th～36th sites 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. Table 3. 2 所有 site 在不同 t 值下的總自旋密度 - 59 -. 37th～48th sites 0 0.129664 0.236055 0.416958 0.818538 0 -0.818538 -0.416958 -0.236055 -0.129664 0.
相關文件
「光滑的」邊界 C。現考慮相鄰的 兩個多邊形的線積分，由於共用邊 的方向是相反的，所以相鄰兩個多
中國白話文學由新文學運動肇始，作家即努力求新求變。第二次世
Britain–s £50 Note Will Honor Computing Pioneer Alan Turing.. 盧政良 台大資訊系
for…迴圈自初值開始判斷 <條件判斷> 是否為 true，若為 true 則執行 for 迴圈內的敘述，並依 <增量值>，每次增 加 (或減少) 指定的增量值，直至 <條件判斷>
• 直線化（Straighten）︰在此模式下，如果你畫 出的線條軌跡接近平直，那麼 Flash 會自動把該 線段變成直線; 軌跡若是有弧度的，那就會變成漂 亮的圓弧！...
有一長條型鏈子，其外型由邊長為 1 公分的正六邊形排列而成。如下 圖表示此鏈之任一段花紋，其中每個黑色六邊形與 6 個白色六邊形相
• 本範例是模擬真實的鞦韆擺盪速度， 所以還會加 入鞦韆速度變化的效果， 我們將會設定鞦韆由右
熱，密度較小 水變涼，密度變得
