霍爾效應（Hall effect）是一種為人熟知的現象，透過在導體中導入電流並 將其置於外加磁場中量測其感應霍爾電壓（Hall Voltage）來判斷傳導載子的極 性與其密度。
在 1930 年時 de Haas 和 van Alphen 在測量半金屬 Bi 的磁化強度
（magnetization）時發現，在低溫強磁場的作用下，磁化率在磁場強度增加到 一定程度時，會呈現「振盪」的現象。而同樣的情形，在 Shubnikov 和 de Haas 在進行磁阻的測量時也出現，如 FIG.1.2，這一傳輸上的量子現象就稱為：
Shubnikov-de Haas effect。
FIG. 1. 2 Shubnikov-de Haas effect
( 本圖引自 Ashcroft/Mermin，SOLID STATE PHYSICS，p267 )
對於以上現象，Landau 提出了他的見解：如果將系統侷限在二維電子系統，
並且處於低溫、強磁場的環境中則其能階會呈現量子化的現象。
因此，在探討量子霍爾效應之前，我們先就Landau的觀點，介紹一個基本 概念：Landau quantization。所謂的「Landau quantization」指的是：在外加磁場 中，將電荷的旋迴軌道量子化的過程。而量子化之後所得到的不連續能階，就 稱為「Landau levels」。在量子力學裡，一個不考量電子交互作用的二維電子系 統，在外加垂直於此二維平面的均勻磁場中其能階是量子化的。我們知道自由 電子在磁場中的Hamiltonian可寫成下式（不考慮電子自旋）：
1 2
將其代入 Schrodinger 方程式中或是利用量子力學中所提到的 ladder operator 的 方式，皆可得到電子在垂直磁場方向的能量是量子化的：
這些量子化的能階就是 Landau levels，而平行磁場方向的能量則為連續。此系 統的簡併數可表示為：
N
BeB
hc
（單位面積），也就是每一個 Landau level 所具 有的簡併數（即可填入的電荷數）與外加磁場的強度成正比。這也表示 Landau level 在強磁場下具有高度簡併的特性。然而，如果要正確算出此系統中霍爾導 電率值，還得算出填充因子 N（filling factor）。隨著磁場的增加，FIG.1.4 中的 峰值（peak）也會跟著上移，若 Fermi level 介於兩個 Landau levels 之間，此時 填充因子是整數，就會呈現如 FIG.1.5 中所示的「平台區」，這個現象就稱為：整數量子霍爾效應。在二維電子系統下的這種現象，也成了我們研究量子傳輸 現象的一項好工具。
FIG. 1. 4 Landau levels 的態密度（density of states, DOS）
FIG. 1. 5 磁場大小與霍爾電導關係圖
霍爾導電率的量子化現象，最早是由 Ando、Matsumoto 和 Uemura 在 1975 年時所發現的，不過，當時他們並未提出「量子化」的概念！然而，就在幾年 後的 1980 年，von Klitzing 等人注意到他們的研究，並且在實驗中加以探討，
發現霍爾導電率的確是量子化的！這項發現也讓 von Klitzing 得到諾貝爾獎的殊 榮。現階段大部分整數量子霍爾效應的實驗是在金屬氧化半導體（MOS）或是 在砷化鎵中進行，不過，後來也被發現可以在石墨烯（graphene）中執行。
然而還有另一種霍爾效應，稱為「分數量子霍爾效應」。其中最主要的差 異在霍爾電導的平台位於
e
2N h
，其中 N 為分數。這部分的實驗是由 D. C. Tsui、H. L. Stormer 和 A. C. Gossard 等人所發現[ 11 ]，理論則是由 Laughlin 於 1983 年提出[ 12 ]。由於本文的研究內容並未將電子與電子之間的交互作用納入，因