光束法空三平差是航空攝影測量時透過已知 的地面控制點及其在影像之對應像點與影像間連 結點(tie point)之量測，依據共線式的原理以最小二 乘法同時解算航拍時影像於物空間的成像位置與 姿態(即外方位參數)以及連結點之地面坐標。若將 像機參數視為未知數，並於空三平差過程中一併解 出，則稱為自率光束法空三平差。以下介紹自率光 束法空三平差之基本數學函式。
2.1 自率光束法之數學函式
攝影測量的基本假設為共線條件式，即：像空 間(image space)中的像點 a、物空間(object space) 中的透鏡投影中心L 與地物點 A，三者位於同一直 線上，以表示攝影過程中光線沿直線行進，如圖1 所示，並可表示為式(1)。
圖1 共線條件式圖示
11 12 13
0
31 32 33
21 22 23
0
31 32 33
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
A L A L A L
a
A L A L A L
A L A L A L
a
A L A L A L
m X X m Y Y m Z Z
x x f
m X X m Y Y m Z Z
m X X m Y Y m Z Z
y y f
m X X m Y Y m Z Z
(1)
式(1)中的 x、y 表示像坐標系坐標軸，其原點為指 定像主點(indicated principal point, IPP)，因使用數 值影像，故以影像長、寬之半的交會處為指定像主 點。雖與以多鏡照準管(multicollimator)率定所得自
微傾像片
X Y
Z 透鏡投影中心L
ZL
XA
XL
像主距f
YL
YA
ZA
地物點A x y
xa ya
a 像點 x0
y0
謝幸宜、邱式鴻：以自率光束法提升四旋翼 UAV 航拍影像之空三平差精度 247 準直軸像主點(principal point of autocollimation,
PPA)的位置而有差異，但因 IPP 與 PPA 非常接近 而 可 視 為 相 同(Wolf & Dewitt, 2000; McGlone, 2004)。式(1)中的 xa、ya則為像點a 的像坐標；x0、 y0為像主點(principal point)的像坐標（本文中所稱 的 像 主 點 ， 指 對 稱 像 主 點(principal point of symmetric, PPS) ， 可 使 影 像 上 不 對 稱 的 畸 變 差 (asymmetry of the distortion)為最小的點位）；f 表示 像主距(principal distance)，即由透鏡投影中心 L 到 成像面的垂直距離，當物距為無窮遠時，f 等於焦 兩大類，又以後者的使用較普遍(McGlone, 2004)。
應用附加參數時需參考實際狀況，於平差過程中略
則由式(3)所求的法方程式(normal equation)將為對 角矩陣，而成為一組嚴格正交的附加參數組，可使 法方程式具有良好的狀態，且方便對附加參數進行 統計檢定，然正交多項式模式中的附加參數仍可能 與其他未知數高相關(李德仁及袁修孝，2002)。
而模擬物理因素的系統誤差模式，可依照誤差 來源的不同，分為四個部分(McGlone, 2004)：
r d u f CCD 不平整(out-of-plane unflatness)所造成的誤差；
下標 f 則代表底片或 CCD 的拉伸變形(in-plane image distortion)。各種物理因素造成的系統誤差模 式中，最為人熟知者即為輻射畸變差及離心畸變差，
常 見 的 模 式 如(5a) 、 (5b) 式 (McGlone, 2004;
Remondino & Fraser, 2006)：
輻射畸變差：
數；Pi則為離心畸變差函數的係數。
而因成像面不平整所造成的誤差，通常是限制 攝影測量精度提升的主要因素之一。底片式的量測 型像機可直接量測此誤差，但實務上很少應用於數 位像機上。此誤差可採用如式(6)的高階多項式表 示(McGlone, 2004)，
成像面不平整：
(6)
因拉伸變形而使成像面雙軸尺度不同、且雙軸 非正交造成的誤差，可僅以 Δx 的函數描述如(7) 式(Fraser, 1997; McGlone, 2004; Photometrix Pty Ltd., 2004)，
成像面拉伸：
(7) 式中的 bi為描述成像面拉伸變形的係數：b1
描述x、y 兩軸間的尺度差異；b2則改正x、y 軸非 正交(non-orthogonality )的情況。
前述各種物理因素造成的誤差模式，可將影響 明顯的項次合併為像機率定常用的八參數物理模 式(eight-parameter model)，如(8a)式。或加上成像
面 的 拉 伸 變 形 ， 如 (8b) 式 (McGlone, 2004;
Remondino & Fraser, 2006)，式中的 Δf 表示像主距 的修正量。
不過，李德仁及袁修孝(2002)於「誤差處理與 可靠性理論」書中指出：使用多少項次才能獲得較 佳的誤差模式，不同學者有不同的看法，如Bauer 等人認為，實際計算時不用加入太多的參數；但 Jacobsen 與 Konecny 則認為，當測區範圍愈大時，
應增加附加參數的數量，以提高精度。Brown(1968) 亦曾於1968 年提出項次較少的附加參數模式，如
此外，Brown(1968)與 Brown(1976)兩種模式，
於近景攝影測量的像機率定、航空攝影測量的自率
謝幸宜、邱式鴻：以自率光束法提升四旋翼 UAV 航拍影像之空三平差精度 249
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