雖然明安圖首度在割圓術上取得傑出的成就，但是，在計算方面卻極為繁 複。後來的算學家董祐誠，在明安圖割圓術上的基礎上，也有了新的突破。董祐 誠(字方立，陽湖人，1791~1823)，嘉慶二十三年(1818 年)順天鄉試舉人。董祐 誠少年時正值家道中落，常為衣食奔走，而有足跡半天下的謀生之旅。他於嘉慶 二十四年(1819 年)撰《割圜連比例術圖解》三卷，裏頭載有杜氏九術，並立有｢
以弦求弦｣、｢以矢求矢｣四則，亦稱為董氏四術。董祐誠認為杜氏九術為｢蓋即容 圓十八觚之術引申類長，求其累積，實兼差分之列衰，商功之垛積，而會通以求 句股之變｣。137可貴的是，他將堆垛術應用在探求冪級數的係數問題上，大大化 簡了計算量，實質上是建立了割圓術和堆垛術之間的聯繫。他創立了董氏四術，
可以推導出杜氏九術，所以，他認為是杜式九術的立法之原，九術由此推演而歸 於簡易。項名達就曾讚揚他的工作：｢泰西杜德美之割圜九術，理精法妙，其原 本於三角堆，董方立定四術已明之，洵為卓見。｣138其著作《割圜連比例術圖解》， 主要內容是運用割圓連比例法和垛積術(高階等差級數求和公式等)，得到董氏四
135董祐誠，〈《割圜連比例術圖解》後序〉，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》
數學卷第五冊，頁 5-460。
136見本文，頁 131~132。
137董祐誠，〈《割圜連比例術圖解》自序〉，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》
數學卷第五冊，頁 5-435。
138清．趙爾巽等編篡，〈項名達〉，《清史稿》〈列傳二百九十四．疇人傳二〉，頁 13989。
術。
由《數理精蘊》卷十六解得的算式，近似得到 1 2 1 3
3 3
3 1 ( )
c c c
r ，與董祐誠 的解法相同。接下來，董祐誠參照上述圖形，由此入手，製造出另一個割圓連比 例圖形。
火 土 辛
水 金
氐 坤 兌
斗心
亢
木 庚
己
戊
丁
甲 乙
丙
圖 2-6-2
圖 2-6-2 中，乙丙 丙丁 丁丙 ...稱為一分弧，乙丁稱為二分弧，…類推之。
...
乙丙 丙丁 稱為一分弦，用c1來表示，乙丁為二分弦(對應二分弧)，用c2來表 示，同理，n 分弦(對應 n 分弧)用cn來表示。土丙為二分弧之矢，141用d2來表示，
丁心為四分弧之矢，用d4來表示，同理，n 分弧之矢，用dn來表示。圖中作 丙木 // 丁金，丁亢 // 戊 坤 ，……，則甲乙丙 ~ 乙丙火 ~ 火丙木 ~ 乙水斗
~ 丁斗亢...，其中圜心點為甲，以上這些相似三角形分別稱為第一形、第二 形、第三形、第四形、第五形，……. 。為了方便起見，我們把第 n 形腰用Mn表 示，第 n 形底用Ln表示，若我們令M1 r 1，M2 c1 2，其中 2
1
n n
L M
，就可
141矢是對通弧而言的一段線段，與正矢意義不同，見本文頁 37~38。
將董祐誠推演的的步驟依序書寫如下：
然後董祐誠把 r、M 、n Ln、 f ,依照下面表格排列，再分離出係數填入得一遞加n 圖。董祐誠的遞加圖如下：143
圖 2-6-3
上面的遞加圖，以五分弧之弦中一分坤斗為例，可從第一列第三行看出坤斗 的二率係數為 1，從第三列第四行看出坤斗的四率係數為 3，從第五列第五行看
143此圖見董祐誠的《割圜連比例術圖解》。參考董祐誠《割圜連比例術圖解》，收入郭書 春主編《中國科學技術典籍通彙》數學卷第五冊，頁 5-445。
出坤斗的六率係數為 1。為了讓讀者能更加的了解，再把遞加圖以現在符號表示 如圖 2-6-4，其關係更能顯現。
圖 2-6-4 此遞加圖顯示兩個關係：
(1) cn 2Mn1 fn，也就是cn 2Mn1 (2 Ln)，n 3，且 n 為奇數。
(2) 2dn 2Mn1 Ln，n 4，且 n 為偶數。
以第二行為例，代表 f5 2M4 c5，L4 2M3 2d4，所以這一行可求c 的二5 率係數和2d 的三率係數。為了求得弦矢率，董祐誠參考汪萊《衡齋算學》三角4
堆求積通法(三乘三角堆以下一般式的通則)：144
凡平三角堆，以根數加一與根數相乘，折半得積數。立三角堆，以根數加一 與根數相乘，又以根數加二乘之，得數六歸之，得積數。此定法也，至三乘 以上，則未有其術，故立為通法。法取根數，用一、二、三、四、五、六、
七、八、九、十以至百、千、萬、億相挨諸數分別加之，至如其乘數而止，
為累乘法。乃置根數，以累乘法累乘之，得數為實，又置一為法，首用二、
三、四、五、六、七、八、九、十以至百、千、萬、億相挨諸數，累乘之，
為諸乘三角堆之除法，以所求乘數相當之除法除前實，得積數。145
所謂的｢三角堆｣，即是｢賈憲(巴斯卡)三角形｣。我們以圖 2-6-5 為例來說明。146
圖 2-6-5
斜左第二行數又稱為｢根｣，即是平三角堆一層數。而斜左第三行數又稱為平 三角堆積，即是平三角堆之數字和，(如平三角堆積數字 6，即是平三角堆 1+2+3 得來)，平三角堆積一層數也就是立三角堆。斜左第四行數又稱為立三角堆積，
即是立三角堆之數字和，(如立堆積數字 10，即是立三角堆 1+3+6 得來)，立三角 堆積一層數也就是三乘三角堆。三乘三角堆積以下類推。147而上面所述｢三角堆 求積通法｣，若以斜右第三行為例，像此行｢根｣為 3，平三角堆積為 6，立三角 堆積為 10，而上述公式意味著1 2 3 3 (3 1) 6
2
， 3 (3 1)(3 2)
1 3 6 10
3!
。
144董祐誠道：｢舊法至求立三角堆而止，三乘方以下，見汪萊《衡齋算學》。｣參考董祐 誠，《割圜連比例術圖解》，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》數學卷第五冊，
頁 5-448。
145汪萊，《衡齋算學》卷四，收入《續修四庫全書》子部天文算法類，頁 509。
146此圖參照梅文鼎《少廣拾遺》開方求廉率作法本原圖，原圖參閱本文附錄 19，頁 326。
147《數理精蘊》有平三角堆積與立三角堆積算法，參閱《數理精蘊》卷三十，頁 29b~42b。
｢三角堆｣斜左行各層數皆 有其名稱。平三角堆指的是三 角堆斜左第二行數，如右圖所 示。立三角堆指的是三角堆斜 左第三行數，三乘三角堆指的 是三角堆斜左第四行數，以此 類推。除此之外，斜左行各層 數尚有另外名稱。
所以｢三角堆求積通法｣，即是可以由｢根｣來求斜右第 r 行的 n 乘三角堆積。如斜
其中，董祐誠看出2dn三率係數皆是兩平三角堆積依次相加即得，故2dn三率係
立法之原 《割圜連比例術圖解》的九術名稱