第二章 文獻探討
第二節 蒙地卡羅馬可夫鍊
d d
i λ θ ε
θ( ) = ( ) + (2.2) 其中，λ 為迴歸參數，(d) ε 為誤差項，id ε 假設服從平均數為 0 且變異數為id 1−λ(d)2 的常態分布，其中|λ(d) |≤1。根據這些假設可得知θ 的分配與i(d) θ 相同屬於標準i 常態分布N(0,1)。此外，假設在已知總體量尺分數下，領域量尺間會互相獨立；
其中λ 更可表示總體量尺分數與領域量尺分數間的相關，而領域量尺(d) d與d'間 的相關則為λ(d) ×λ(d')。雖然λ 可為負數，但在教育測驗的應用上總體量尺及領(d) 域量尺間的相關皆為正的 (de la Torre & Song, 2009) 。
此外，本研究有實作 MH-within-Gibbs sampling 參數估計方法，所以在此省 略 MH-within-Gibbs sampling 於 HO-IRT 模式參數估計推論的相關文獻，其推導 過程如本研究之第三章的第一節。簡言之，HIRT 模式的參數估計過程比單一層 模式來得複雜，所需估計之參數增加及結構複雜程度的提升，使得傳統估計方 法，例如：最大邊際概似最大估計法、聯合最大概似估計法與條件邊際概似估計 法…等參數估計法不能直接套用。故 Sheng 與 Wikle (2008) 和、de la Torre 與 Song (2009) 皆採用 MCMC 中之 Gibbs sampling 進行參數估計。更甚者，de la Torre 與 Hong (2010) 實作比 Gibbs sampling 更為直觀的 MH-within-Gibbs sampling 於 HIRT 模式的參數估計，以達到同時估計試題參數的目的。
第二節 蒙地卡羅馬可夫鍊
一般複雜的 IRT 模式參數估計如 MMLE/EM (Bock & Aitkin, 1981) ，當模式 愈來愈複雜時，EM 演算法將難以直接應用。MCMC 是在多變量模式中模擬隨機 抽樣之方法，不同於 EM 演算法難以推導的複雜特性，MCMC 可簡單地被應用
10 方式為計算觀察值平均數當作參數的估計量，也是 EAP(expected a posterior)的估 計方式。馬可夫鏈M1,,Mn會收斂至一個較為平穩的分配π(θ1,,θm) (Tierney, 1994) ，要進行觀察值的抽取必須捨棄尚未達到平穩分配的觀察值(burn-in)，再 進行觀察值的收集並計算參數估計值。 見 的 有 Gibbs sampling (Geman & Geman, 1984) 、 Metropolis-Hasting(MH) sampling (Hastings, 1970) 與 MH-within-Gibbs(MH-within-Gibbs) sampling (Tierney, 1994) 。
二、Gibbs sampling
Gibbs sampling 為 Geman 與 Geman (1984) 所提出，其基本概念為將轉置核 定義為各參數的條件機率分布，再透過條件機率分布來進行觀察值的抽取，進一 步達到參數估計的目的。該方法有條件機率分布難以進行數值積分的問題，且當
估計的參數越多時，積分的困難度會越高。因此，一般實作的過程會搭配 important sampling、rejection/acceptance sampling、data augment method 或 quadratic point method 加以實作 (Patz & Junker, 1997; 1999) 。
四、MH-within-Gibbs sampling
MH-within-Gibbs sampling 為 Tierney (1994) 所提出，為同時採用 Gibbs sampling 與 MH sampling 的優勢所提出的。本論文基於 Patz 與 Junker (1997, 1999) 於 UIRT 模式上的 MH-within-Gibbs sampling 法，擴展成為適用於於 HIRT 模式 之參數估計，其演算法簡述如下：
12 導更為精簡且容易 (Bock & Aitkin, 1981; Bock & Lieberman, 1970) ：
（1）受試者間是相互獨立。
American Psychiatric Association, 1994) 在大多數的群體中，多重心理障礙是一種 極為罕見的現象，也因此，用以量尺分數來呈現多重心理障礙程度則該變數所呈 現出來的分布就可能形成正偏(positive skew) (Woods & Thissen, 2006) ，簡言 之，較少多重心理障礙的占絕大部分的人；其次佔部份的人；而只有極少數的人