第二章 文獻探討
第一節 試題反應理論
第二章 文獻探討
為比較 HIRT、UIRT 與 MIRT 模式的參數估計效果，須先針對 HIRT、UIRT 與 MIRT 模式深入探究；本研究擴充 de la Torre 與 Hong (2010) 所提出的參數估 計方法於多因子 HIRT 模式下的參數估計 (Hsieh, T. Y., Kuo, B. C., & Shih, S. C., 2009) ，於此，須先了解蒙地卡羅馬可夫鏈(Markov Chain Monte Carlo, MCMC) 等相關文獻，並針對 MH-within-Gibbs sampling 進行深入探討；本研究有針對 HIRT 模式提出無參數型估計方法，因此，須先針對 UIRT 無參數型估計方法進 行探討(目前尚無 MIRT 模式的無參數估計方法)；最後，針對 HIRT 模式等化同 時估計方法的提出，則須針對等化估計方法進行探究。簡言之，以下將探討四大 類文獻：一、試題反應理論；二、蒙地卡羅馬可夫鏈；三、UIRT 無參數型估計 方法；四、等化估計方法。
第一節 試題反應理論
本論文所比較之試題反應理論(item response theory, IRT)模式，包括單一層次 模式與階層式模式，因此在此節中將論述何謂單一層次模式與階層式模式：
一、單一層次模式
單一層次試題反應理論模式定義量尺分數為單一層次，模式中僅包含量尺 分數與試題兩類的參數，單一層次試題反應理論模式依據其量尺分數變數的多 寡，可分為單向度試題反應理論(unidimensional item response theory, UIRT)模式與 多向度試題反應理論(multidimensional item response theory, MIRT)模式。一般常見 的 UIRT 模 式 ， 包 括 單 參 數 對 數 模 式 (one-parameter logistic model) (Rasch, 1960) 、雙參數對數模式(two-parameter logistic model) (Birnbaum, 1968) 、三參 數對數模式(three-parameter logistic model) (Birnbaum, 1968) 。
多 向 度 測 驗 依 據 測 驗 架 構 又 可 以 分 為 題 間 多 向 度 測 驗 (between-item multidimensional test)與題內多向度測驗(within-item multidimensional test)兩種 (Adams, Wilson & Wang, 1997) ；前者如圖 2-1 的(a)；後者如圖 2-1 的(b)。
圖 2-1 題間與題內多向度測驗
一般常見的 MIRT 模式，包括多向度二參數模式(multidimensional two parameters model, M2PL) (Mckinley & Reckase, 1983) 、多向度三參數模式 (multidimensional three parameters model, M3PL) (M-3PL; Reckase, 1997) 與多向 度隨機係數多項洛基模式(multidimensional random coefficients multinomial logit model, MRCMLM) (Adams, Wilson, & Wang, 1997) 。
由於，本研究所探究之 HIRT 模式中所用的 MIRT 模式即為 MRCMLM，於 此，將 MRCMLM 定義如方程式(2.1)，該模式主要是延伸至 Rasch 模式而成的多 向度模式而來 (Hoskens & De Boeck，1997；Wang, Wilson, & Cheng，2000；Wilson
& Adams，1995) ：
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參 數 估 計 方 法 主 要 有 ： 最 大 邊 際 概 似 最 大 估 計 法 (maximum marginal likelihood estimation, MMLE)、聯合最大概似估計法(joint maximum likelihood estimation, JMLE) 與 條 件 邊 際 概 似 估 計 法 (conditional marginal likelihood estimation, CMLE)等方法 (Baker, 2004) 及 MCMC。目前已有相當多的文獻 (Albert, 1992; Baker, 1998; Kim & Cohen, 1999; Patz & Junker, 1997; 1999) 指出 MCMC 應用於單一層次模式中進行參數估計，可獲得正確的估計結果。
二、HIRT 模式
本研究將能同時估計高層次與領域量尺分數的模式定為 HIRT 模式，包括階 層式潛在特質分析模式(hierarchical latent analysis model) (De la Torre & Douglas, 2004) 與二參數常態肩形階層分析模型(2-PL normal ogive analysis mode) (Sheng, 2005) ，然階層式潛在特質分析模式假設總體量尺分數需為離散量，此與一般 IRT 模式在於建立連續量尺分數之目的相違背；二參數常態肩形階層分析模型則假設 所用的 IRT 模式需為二參數常態肩形模式，此外，總體量尺與領域量尺間亦無遵 守等量尺的假設 (de la Torre & Song, 2009) 。於此，de la Torre 與 Song (2009) 提 出 HO-IRT 模式，並論證 HO-IRT 模式是目前較具一般化的 HIRT 模式，且 de la Torre 與 Hong (2010) 提出基於 MH-wthin-Gibbs sampling 的參數估計方法，由 於本研究的 HIRT 模式是以 HO-IRT 模式為基礎，因此加以詳述：
圖 2-2 單因子 HIRT 模式(修改自 de la Torre 與 Song (2009) )
) ( I
βj )
I
λ( λ(II) λ( D) θi
) ( I
θ i θ i( II) θ i( D)
) ( I
Xij Xij( II) Xij( D)
) ( II
βj β( Dj ) 觀察變項以圓圈表示；
其他變項表示待為估計。
de la Torre 與 Song (2009) 和 de la Torre 與 Hong (2010) 所提之 HO-IRT 模式，如 圖 2-2 所示。其中，第一層表示第 i 位受試者在領域量尺d中的第 j 題試題之反 應情形Xij(d)，第二層表示受試者的反應透過 IRT 模式中的試題參數β(dj )連結到領 域量尺分數θ ，第三層表示受試者的領域量尺分數透過迴歸參數i( D) λ 連結到相(d) 對應之總體量尺分數θ 。領域量尺分數i θ ，i(d) θ 表示第i(d) i位受試者在領域量尺d 的表現，其中，d =1,2,3,,D；θ 為第i i位受試者在總體量尺分數，並假設領域 量尺分數為高層次能力量尺分數的一線性函數 (de la Torre & Song, 2009) 。
id i d d
i λ θ ε
θ( ) = ( ) + (2.2) 其中，λ 為迴歸參數，(d) ε 為誤差項，id ε 假設服從平均數為 0 且變異數為id 1−λ(d)2 的常態分布，其中|λ(d) |≤1。根據這些假設可得知θ 的分配與i(d) θ 相同屬於標準i 常態分布N(0,1)。此外，假設在已知總體量尺分數下，領域量尺間會互相獨立；
其中λ 更可表示總體量尺分數與領域量尺分數間的相關，而領域量尺(d) d與d'間 的相關則為λ(d) ×λ(d')。雖然λ 可為負數，但在教育測驗的應用上總體量尺及領(d) 域量尺間的相關皆為正的 (de la Torre & Song, 2009) 。
此外，本研究有實作 MH-within-Gibbs sampling 參數估計方法，所以在此省 略 MH-within-Gibbs sampling 於 HO-IRT 模式參數估計推論的相關文獻，其推導 過程如本研究之第三章的第一節。簡言之，HIRT 模式的參數估計過程比單一層 模式來得複雜，所需估計之參數增加及結構複雜程度的提升，使得傳統估計方 法，例如：最大邊際概似最大估計法、聯合最大概似估計法與條件邊際概似估計 法…等參數估計法不能直接套用。故 Sheng 與 Wikle (2008) 和、de la Torre 與 Song (2009) 皆採用 MCMC 中之 Gibbs sampling 進行參數估計。更甚者，de la Torre 與 Hong (2010) 實作比 Gibbs sampling 更為直觀的 MH-within-Gibbs sampling 於 HIRT 模式的參數估計，以達到同時估計試題參數的目的。