薄透鏡之初階像差

選擇一個合適的高斯結構做為起始點，為光學系統設計的基礎。一開始可

從薄透鏡之初階像差的計算著手，進而試著平衡系統像差，以得到良好的高斯結 構。其目的在於簡化後續的設計步驟中需要考慮的部份，即使透隨意更換透鏡材 料、曲率及厚度等，只要基本的高斯結構不變，就不會影響之後的優化過程，使 整個設計過程更容易，以便求得所需之結果。

在薄透鏡設計過程中，最重要的兩個參數為形狀因子與共軛因子，利用這

兩個參數不僅可以決定透鏡的形狀和光線折射角之變量，更能減少初階像差的計 算時間[8]。

(1) 形狀因子(shape factor)：

1 2

1 2

c c X c c

= +

− (2.17)

其中 X 為形狀因子，c 、₁ c 為透鏡兩面之曲率 ₂ 再依據造鏡者公式(lens maker’s equation)：

(

1

)(

1 2

)

K = n− c −c (2.18)

其中n為透鏡之折射率， K 為透鏡之屈光度 則薄透鏡兩面之曲率可表示為式(2.19)

1

2

1 1 2

1 1 2 K X c n

K X c n

⎧ = +

⎪⎪ −

⎨ −

⎪ =⎪ −

⎩

(2.19)

(2) 共軛因子(conjugate factor)：

2 1

2 1

' ' u u Y u u

= +

− (2.20)

其中Y 為共軛因子，u 及₁ u 分別為通過透鏡之入射光與出射光的邊緣光線角度 ₂' 為了節省初階像差的計算時間，可利用形狀因子與共軛因子來簡化賽德像 差，將其轉換成此二因子的函數形式。首先根據光學近軸追跡公式u₂'= −u₁ hK及

2 1

2 1

' ' u u Y u u

= +

− ，可得

1

2

1 2 ' 1

2 u hK Y

u hK Y

⎧ = − ⎛⎜ − ⎞⎟

⎪⎪ ⎝ ⎠

⎨ ⎛ + ⎞

⎪ = − ⎜ ⎟

⎪ ⎝ ⎠

⎩

(2.21)

將式(2.21)之結果，代入薄透鏡第一面之A 、₁

1

u n

Δ ⎜ ⎟⎛ ⎞⎝ ⎠ 與第二面之A 、₂

2

u n

Δ ⎜ ⎟⎛ ⎞⎝ ⎠ ，可

得下列式(2.22)

( )

( )

( )

( )

1 1 1

2 2 2

1 1

2 1

2 1

2 2

1 1

1 2 2

1 1

2 1

' 1 1

2 1

' 1

1 2 ' '

1 2 1

hK X Y

A hc u hK

n hK X

n Y hK X

A hc u Y

n u u

u hK X Y

n n n Y

u u

u hK X Y

n n Y n

⎧ = + = ⎛ + ⎞− ⎛ − ⎞

⎪ − ⎝⎜ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠

⎪⎪ = ⎡ + − − ⎤

⎪ ⎢⎣ − ⎥⎦

⎪⎪ −

⎪ = + = ⎡ − + ⎤

⎨ ⎢⎣ − ⎥⎦

⎪⎪Δ⎛ ⎞ = − = ⎡ + − + ⎤

⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎥⎦

⎪

⎛ ⎞ ⎡ + ⎤

Δ⎜ ⎟⎝ ⎠ = − = ⎢⎣ + − ⎥⎦

⎩

⎪⎪

⎪

(2.22)

再將式(2.22)代入賽德像差，即可簡化賽德像差，得到光闌位於薄透鏡上時，其 中心球面像差S 之公式如下： _1c

( )

( )

( )

( )

4 3 2

2 2

1 2

2

4 1

2 3 2

4 1 1 1

c

h K n n n n

S X XY Y

n n n n

n n a X b c

⎡ + + + ⎛ ⎞ ⎤

= ⎢⎢⎣ − − − + +⎜⎝ − ⎟⎠ ⎥⎥⎦

= − +

(2.23)

其中

( )

( )

( )

4 3

2 2

4 3 2

2

2

4 1

2 1

2

4 1 2

h K n a

n n

b n Y

n

h K n n

c Y

n n

= +

−

= − +

⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤

= ⎢⎢⎣⎜⎝ − ⎟⎠ −⎜⎝ + ⎟⎠ ⎥⎥⎦

(2.24)

光闌位於薄透鏡上時，其中心慧星像差S 之公式如下： _2c

( )

2 2

2

1 2 1

2 1

c

Hh K n n

S X Y

n n n

dX e

⎧⎡ + ⎤ + ⎫

⎪ ⎛ ⎞ ⎪

= ⎨⎪⎩⎢⎢⎣ − ⎥⎥⎦ −⎜⎝ ⎟⎠ ⎬⎪⎭

= +

(2.25)

其中

( )

( )

( )

2 2

2 2

1

2 1

2 1

2 Hh K n

d n n

Hh K n Y

e n

= +

−

− +

=

(2.26)

光闌位於薄透鏡上時，其中心像散S 、中心場曲_3c S 及中心畸變_4c S 之公式如下： _5c

2 3

2 4

5 0

c

c

c

S H K S H K

n S

⎧ =

⎪⎪ =

⎨⎪

⎪⎩ =

(2.27)

上述S 、_1c S 、_2c S 、_3c S 及_4c S 是代表光闌位於薄透鏡上時的像差，然而在_5c 薄透鏡加厚之後，光闌的位置往往需要再做調整，光闌位於透鏡表面的情況較少 見，因此接著介紹當光闌不在薄透鏡上時，各種賽德像差之計算方式。

首先定義離心因子(eccentricity factor) E : E h

= h (2.28)

當光闌不在透鏡上時（光闌位移），其薄透鏡之賽德像差分別定義為S 、₁^* S 、₂^*

*

S 、3 S 及₄^* S ，再利用離心因子做公式之間的轉換，則₅^* S 、₂^* S 、₃^* S 可表示為₅^* S 、_1c S 、2c S 、_3c S 與_4c E 的函數，如式(2.29)所示：

( )

*

1 1

*

2 2 1

* 2

3 3 2 1

*

4 4

* 2 3

5 3 4 2 1

2

3 3

c

c c

c c c

c

c c c c

S S S S ES

S S ES E S S S

S E S S E S E S

⎧ =⎪

= +

⎪⎪ = + +

⎨⎪ =

⎪⎪ = + + +

⎩

(2.29)

而色差如下所示

( ) ( )

1 2

1 2

1 2 2 1

0 0

'

L L L

C C C

n n

A h A h

n n

n h c c u u n

= +

∂ ∂

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜⎝ − ⎟⎠+ ⎜⎝ − ⎟⎠

∂ ⎡ ⎤

= ⎣ − + − ⎦

因為 K =

(

n−1

)(

c1−c2

)

所以 ²

1

L

C h K n n

⎛ ∂ ⎞

= ⎜⎝ − ⎟⎠ (2.30)

由於系統色差之大小與透鏡之阿貝數有關，為了設計時的需求，先定義阿貝 數如式(2.31)所示：

1 V n

n

= −

∂ (2.31)

則橫向色差與縱向色差可表示為阿貝數之函數形式，其關係式如下

( )

1 2

1 2

1 2

0 0

T T T

L L

L

C C C

n n

A h A h

n n

E C C hhK

V EC

= +

∂ ∂

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜⎝ − ⎟⎠+ ⎜⎝ − ⎟⎠

= +

=

=

(2.32)

綜合上述，大致歸納出各種初階像差在平衡與校消時，所需考量之參數，其 關係整理如下：

(1) 慧星像差、像散、畸變、橫向色差和光闌的位置有關，其餘像差則與光闌 位置無關。

(2) 球面像差和透鏡之屈光度、折射率、形狀因子、共軛因子、物空間邊緣光

線高度有關。

(3) 慧星像差主要和球面像差有關，另外和透鏡之屈光度、折射率、形狀因子、

共軛因子、離心因子、光學不變量也有關。

(4) 像散主要和球差、彗差有關，另外和透鏡之屈光度、離心因子、光學不變 量也有關。

(5) 場曲和透鏡之屈光度、折射率、光學不變量有關。

(6) 畸變和球差、慧差、像散、場曲、離心因子有關。

(7) 色差和透鏡之阿貝數、屈光度、物空間邊緣光線高度有關。

2.6 非球面透鏡理論

傳統光學透鏡受限於加工技術，透鏡形狀僅能以平面、球面與拋物面這三種 為主，因此當要有更好的成像品質時，只能使用多個透鏡的組合來消除像差，但 相對的體積與重量也會增加，為了解決這個問題而改良出非球面透鏡，不但讓光 線經過透鏡後能更聚焦在同一點上，還可減少透鏡上的厚度，也符合現代的要求 輕、薄、短、小，且一片非球面透鏡能取代兩片或兩片以上的傳統透鏡，讓我們 有效的在品質與體積上，得到良好的平衡點。[9]

傳統的球面方程式僅一個參數便可以描述，但非球面是在固定的曲率下，加 上任意的高次曲線所組合而成的，所以可以定義曲率隨著高度面變化，常見的形 式為旋轉對稱的曲面形式，其數學表示式如(2.33)所示，示意圖如圖2.16所示。

(2.33) X：鏡片的彎曲量。

Y：鏡片的截高。

a：透鏡曲率。

b：圓錐係數(conic coefficient)。

c、d、e、f：第四、六、八階的高階非球面係數。

圖 2.16 非球面透鏡示意圖

不同之圓錐常數值分別代表了不同之面形，整理表2.1，各曲線如圖3.17所示。

表 2.1 不同圓錐係數之曲線

圖 2.17 各曲線示意圖

2.7 繞射/折射複合光學元件

DOE是全像光學元件(Holographic Optical Element，HOE)作成多階相位型 式，因此繞射效率高。1977年，斯維特(Sweatt)模型將HOE視為薄透鏡來進行模

擬。採用此種透鏡模型，即可利用幾何光學的光線追跡方法，對繞射元件做追跡，

以求得此元件的光學特性，因此我們可以使用光學透鏡的設計軟體(如Zemax、

Code-V、OSLO等)對包含繞射及折射的元件來進行設計模擬。[10]

2.7.1 斯維特模型

將一繞射元件考慮為薄透鏡，此透鏡之折射率趨近於無窮大，其曲率和厚度 趨近於零，使元件的光焦度保持為一有限值，此即為斯維特模型(Sweatt Model)。

圖2.18為一繞射光柵的等校透鏡，即斯維特模型，其中央光線的傾斜角度θ、ε和 θ’都是相對於基面局部法線的夾角，透鏡表面相對於基面切線的傾斜角為δ和δ’，

由折射方程可得(2.34)式。[11]

nsin(ε −δ)=sin(θ −δ) (2.34) nsin(ε −δ')=sin(θ'−δ')

圖 2.18 (a)光線經過繞射透鏡等效圖(b)放大示意圖 在(2.34)式右邊最大值為1，且折射率n>>1，故ε-δ和ε-δ’將十分小。

n

< 1

−δ

ε (2.35)

n ' < 1

−δ ε 其中1 →0

n

從(2.35)式可以了解，由於透鏡的表面很靠近基面且n很大時，δ與δ’變的很 小，使得ε也變的很小，所以我們可以用小角度近似成(2.36)式

n(ε −δ)≅sinθ −δcosθ (2.36) n(ε−δ')≅sinθ −δ'cosθ'

(2.36)式消去ε，可得

(n−cosθ')δ'−(n−cosθ)δ =sinθ −sinθ' (2.37)

當 2

θ <π 且n非常大時，可得

n−cosθ ≅n−cosθ'≅n−1 (2.38) 將(2.38)式代入(2.37)式可得

(n−1)(δ −δ')=sinθ −sinθ' (2.39) 由於δ與δ’非常小，則(2.39)式可以寫為表座標s和厚度t之關係式，如(2.40)式 所示。

( −1) =sinθ −sinθ' ds

n dt (2.40) (2.41)式為繞射方程式

mλξ(s)=sinθ −sinθ' (2.41) 其中m是繞射級數，ξ是光柵空間頻率(LP/mm)，光柵週期(S)為空間頻率的 倒數，等效於波長在透鏡內產生光程差所需的透鏡厚度，其方程式如(2.42)式

) )(

1 ) (

( n dtdr

m dr

OPD d S m

= −

= λ λ

(2.42)

由方程式(2.42)可以推得(2.43)式

ds S n dt

S

m ( )

) 1 ( ) ( = −

λξ (2.43)

在斯維特模型中，透鏡的兩個曲率如(2.34)式

) 1 (

2 2

1 = + −

n c K

c ^diff (2.44)

) 1 (

2 = −2 −

n c K

c _s ^diff

c ：基面曲率 s

Kdiff：繞射面光焦度

由上述可見，在相同入射角入射至元件時，分別以光線追跡及光柵方程式所 算出的出射角是相同的，即當一光線入射在HOE或是繞射元件時，可以把元件看 成一透鏡，此透鏡滿足n→∞及t→0。因此HOE和DOE等光學元件，均可視為折射 率無限大的薄透鏡。對於這樣的等效透鏡，可以用傳統的光學追跡法，進行設計 和優化。當求得最佳化的非球面等效透鏡後，必須將此等效透鏡還原成具有表面 浮雕結構的繞射元件，即所謂波帶結構(kinoform)，如圖2.19所示。

圖 2.19 等效透鏡對應之繞射元件結構

2.7.2 相位分佈函數

為了進行透鏡厚度的波帶化，必須先求得等效透鏡的相位分佈函數。首先，

計算光線在透鏡上任一點之入射，經透鏡後生的光程差(OPD)，以得到光通過透 鏡上各點相位的變化。這裡的光程差是指光線在一般折射透鏡與等效透鏡光程的 差值。對於一軸向對稱的光學系統，其光程可表示成光入射至有效透鏡高度的函 數，這裡高度的指入射點相對於光軸的距離。[11]

一光線從折射率為n 的介質中，以入射角₀ θ₀入射至折射率為無窮大的薄透 鏡，其折射角θ 可由折射率求得(2.45)式。 ₁

n₁sinθ₁ =n₀sinθ₀ (2.45) 圖2.20為光線平行入射至繞射等效透鏡的光路圖，當n₁趨近於無窮大時，θ₁

會趨近於0。這代表不論θ₀為何值，光線在薄透鏡中仍然沿著入射點處面之法線

方向傳播。

由圖2.20可知入射點A的高度為h，繞射元件所造成的光程差為(n_d −1)AD，

假設入射介質為空氣，則n₀ =1。等效透鏡折射率n₁ =n_d，光程差為(n_d −1)AD。

AD 為A點沿法至薄透鏡第二面的長度，如(2.46)式所示。

AD≅ ABcosθ₁ (2.46)

圖 2.20 光線平行入射之等效透鏡光路圖

其中 AB 為高度h處等效透鏡的厚度。由於在薄透鏡近似下，A和B點處的法 線接近平行，故可得(2.47)式。

θ₁ =θ₂ (2.47) AB 與B點法線的夾角θ₂可由(2.48)式求得

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

= ⁻ dh

h dZ ( ) tan ^{1 2}

θ2 (2.48) 光程差作為h的函數可表示為(2.49)式

^{=( −1)}

[

₂^{( )−} ₁^{( )}

]

^cos_⎢⎣^{⎡tan−1( 2( ))}_⎥⎦^⎤

dh h h dZ

Z h Z n

OPD _d (2.49)

相位光程差之間有(2.50)式知關係

OPD

λ

φ = ²π (2.50)

由(2.49)與(2.50)式，用數值方法相位函數可以用多項式表示為(2.51)式 φ(h)= A₂h² + A₄h⁴ +A₆h⁶ + A₈h⁸... (2.51) 若對波長為λ，繞射級次為m(不特別指明，一般m=1)設計繞射元件，其光焦

度由繞射級次和(2.51)式表示的相位函數中的二次項係數A₂決定，如(2.52)式 所示。

K =−2mA₂ (2.52)

在文檔中 中 華 大 學 (頁 32-43)