中 華 大 學

中 華 大 學 碩 士 論 文

微小型旋轉式照相手機多片鏡片鏡頭設計 Rotating type miniature camera phone numerous

lenses system design

系 所 別：機 械 工 程 學 系 碩 士 班 學號姓名：M09708018 葉家豪

指導教授：陳振文 博士

中華民國 九十九 年 七 月

摘要

傳統的變焦方法，都是利用移動透鏡的位置來改變其有效焦距，以達到變焦的目 的，但相對的光學長度亦會增加，因此不適用在薄型手機上，為了改善這點我們開發 其他較好的變焦方法，即本文所研究的旋轉式變焦，旋轉式變焦不需移動透鏡來改變 焦距，而是使用3組透鏡組，令其旋轉出我們要的焦距。此方法應用在目前照相手機 上，符合輕、薄、短、小的需求。

本文以本實驗室先前研究成果為基礎，做更深入的研究及探討，由先前3片透鏡 組，再加入1片透鏡，然後將材料、曲率、透鏡厚度、透鏡間距設為變數，進行優化 成為4片透鏡最基礎的參數。接著往較小的光學長度及較佳的成像品質去做修改及調 整參數，並加入非球面鏡及繞射元件，來減少光學長度及增加成像品質。最後出來的 結果符合產品的要求，總長度約只有6mm，成像品質也達到設定規格。

關鍵字：手機相機模組、旋轉式變焦、變焦鏡頭、像差、非球面、繞射面

Abstract

Traditional zoom lenses system change the its effective focal lengths by the moving of the lens(es) positions. This type of zoom lenses system accordingly have longer length and surely not suitable for used in the modern thin cellular phone. We propose to use the rotating type zoom lenses system. The rotating type zoom lenses system rotate to any one of the three static lenses modular to zoom in and zoom out, instead of changing the lens(es) positions.

We have complete a design of rotating type miniature camera phone numerous lenses system, the maximum length of the lenses modular is only 6mm. Use the numerous 3+1 lenses, optimize the lenses materials, curvatures, thicknesses, lenses spaces as the first order layout. The aspheric and the diffractive surfaces also improve the optical qualities, MTF value, and the over all lenses modular length.

Key words: Cellular phone camera modular, rotating type zoom lenses, optical aberrations, aspheric surfaces, diffractive surfaces

誌謝

兩年的碩士生涯中，承蒙恩師 陳振文博士的悉心指導與教誨，培養學生在學業 上能有更深入的見解及廣闊的視野，更重要的收穫是在生活上如何待人處事的智慧，

讓學生獲益良多，使得本論文研究能夠更加的完備，同時在日常生活上陳教授也時常 的指導我做人處事、生涯規劃以及對於我們各種的關心與輔導，在此向恩師致上最誠 摯的敬意與謝意。

在論文口試審查時，還要特別感謝葉茂勳博士與范志海博士對於論文的指正與意 見，使得本論文的架構與內容更為充實。

另外，感謝在這兩年來研究和生活上的良師益友：感謝祐丞、廷揆、國恕、建志、

等同學在研究和生活上的鼓勵與協助，在研究的過程中一點一滴的歡笑及淚水都已 經深深的烙印在我們的心理了，此外還要感謝學長陳榮釗、林書院在論文上的經驗 指點，及學弟仕銳與逸咸在生活上的互相幫助與鼓勵，並帶給實驗室更多的歡樂與 活力，真的謝謝你們大家，在此致上誠摯之感謝。

最後，感謝默默在背後付出的家人，這兩年因為有你們的支持與鼓勵，才得以順 利完成碩士學業，僅以此論文獻給親愛的父母、家人、以及所有的師長與朋友們。

目錄

摘要...i

Abstract...ii

誌謝...iii

目錄...iv

圖目錄...vii

表目錄...xi

第一章 緒論...1

1.1 研究背景...1

1.1 研究動機...1

1.2 論文架構...3

第二章 基礎理論...4

2.1 幾何光學原理...4

2.2 符號定義...6

2.3 近軸光線追跡...9

2.4 像差理論……...10

2.4.1 球差(spherical aberration) ...16

2.4.2 慧差(coma) ...16

2.4.3 像散(astigmatism) ...17

2.4.4 場曲(field curvature) ...18

2.4.5 畸變(distortion) ...18

2.4.6 色差(chromatic aberration) ...19

2.5 薄透鏡之初階像差...20

2.6 非球面透透鏡理論...24

2.7 繞射/折射複合光學元件...25

2.7.1 斯維特模型...26

2.7.2 相位分佈函數…………...28

第三章 變焦系統...31

3.1 變焦系統...31

3.2 光學變焦...32

3.3 數位變焦...33

3.4 旋轉式變焦...33

3.5 第三群透鏡固定之光學變焦系統...34

3.6 第三群透鏡固定之光學變焦系統...36

第四章旋轉式手機鏡頭光學設計...38

4.1 設計流程... ... ...….…….38

4.2 規格訂定... ... ...….…….39

4.3 透鏡組在EFL=2…... ... ...….…….40

4.3.1 球面透鏡... ... ...…….40

4.3.2 非球面透鏡... ... ...…….43

4.3.3 繞射元件... ... ...…….45

4.4 透鏡組在EFL=4…... ... ...….…….48

4.4.1 球面透鏡... ... ...…….48

4.4.2 非球面透鏡... ... ...…….51

4.4.3 繞射元件... ... ...…….53

4.5 透鏡組在EFL=6…... ... ...….…….56

4.5.1 球面透鏡... ... ...…….56

4.5.2 非球面透鏡... ... ...…….59

4.5.3 繞射元件... ... ...…….61

4.6 分析與比較... ... ...….…….63

第五章 結論與未來展望... ... ... ...65 參考文獻...66

圖目錄

圖1.1 全球手機相機模組出貨量………...………..………..2

圖 2.1 光的反射現象...5

圖 2.2 光的折射現象...5

圖 2.3 鏡面反射參考圖...6

圖 2.4 散射參考圖...6

圖 2.5 符號定義示意圖...7

圖 2.6 光線追跡示意圖...9

圖 2.7 光線路徑示意圖...10

圖 2.8 離軸物體成像關係圖...13

圖 2.9 球差示意圖...16

圖 2.10 慧差示意圖...17

圖 2.11 像散示意圖………...17

圖 2.12 場曲示意圖………...18

圖 2.13 畸變示意圖………...19

圖 2.14 縱向色差示意圖...19

圖 2.15 橫向色差示意圖...20

圖 2.16 非球面透鏡示意圖...25

圖 2.17 各曲線示意圖…...25

圖 2.18 (a)光線經過繞射透鏡等效圖(b)放大示意圖...26

圖 2.19 等效透鏡對應之繞射元件結構...28

圖 2.20 光線平行入射之等效透鏡光路圖...29

圖3.1 旋轉式變焦示意圖...33

圖3.2 兩片透鏡合併為一組合………...34

圖3.3 第三群固定的系統………...36

圖3.4 第三群透鏡固定之變焦軌跡圖………...37

圖4.1 光學變焦設計流程圖...38

圖4.2 EFL=2 球面透鏡光線追跡圖...41

圖4.3 EFL=2 球面透鏡光斑圖...41

圖4.4 EFL=2 球面透鏡光扇圖………...41

圖4.5 EFL=2 球面透鏡場曲畸變圖...42

圖4.6 EFL=2 球面透鏡相對照度圖...42

圖4.7 EFL=2 球面透鏡MTF圖...42

圖4.8 EFL=2 非球面透鏡光線追跡圖...43

圖4.9 EFL=2 非球面透鏡光斑圖...43

圖4.10 EFL=2 非球面透鏡光扇圖...44

圖4.11 EFL=2 非球面透鏡場曲畸變...44

圖4.12 EFL=2 非球面透鏡相對照度圖...44

圖4.13 EFL=2 非球面透鏡MTF圖...45

圖4.14 EFL=2 繞射元件光線追跡圖...46

圖4.15 EFL=2 繞射元件光斑圖...46

圖4.16 EFL=2 繞射元件光扇圖...46

圖4.17 EFL=2 繞射元件場曲畸變圖...47

圖4.18 EFL=2 繞射元件相對照度圖...47

圖4.19 EFL=2 繞射元件MTF圖...47

圖4.20 EFL=4 球面透鏡光線追跡圖...48

圖4.21 EFL=4 球面透鏡光斑圖………...49

圖4.22 EFL=4 球面透鏡光扇圖……….……...49

圖4.23 EFL=4 球面透鏡場曲畸變圖...49

圖4.24 EFL=4 球面透鏡相對照度圖...50

圖4.25 EFL=4 球面透鏡MTF圖...50

圖4.26 EFL=4 非球面透鏡光線追跡圖...51

圖4.27 EFL=4 非球面透鏡光斑圖...51

圖4.28 EFL=4 非球面透鏡光扇圖...52

圖4.29 EFL=4 非球面透鏡場曲畸變圖...52

圖4.30 EFL=4 非球面透鏡相對照度圖...52

圖4.31 EFL=4 非球面透鏡MTF圖...53

圖4.32 EFL=4 繞射元件光線追跡圖...54

圖4.33 EFL=4 繞射元件光斑圖...54

圖4.34 EFL=4 繞射元件光扇圖...54

圖4.35 EFL=4 繞射元件場曲畸變圖...55

圖4.36 EFL=4 繞射元件相對照度圖...55

圖4.37 EFL=4 繞射元件MTF圖...55

圖4.38 EFL=6 球面透鏡光線追跡圖...56

圖4.39 EFL=6 球面透鏡光斑圖...57

圖4.40 EFL=6 球面透鏡光扇圖...57

圖4.41 EFL=6 球面透鏡場曲畸變圖...57

圖4.42 EFL=6 球面透鏡相對照度圖...58

圖4.43 EFL=6 球面透鏡MTF圖...58

圖4.44 EFL=6 非球面透鏡光線追跡圖...59

圖4.45 EFL=6 非球面透鏡光斑圖...59

圖4.46 EFL=6 非球面透鏡光扇圖...60

圖4.47 EFL=6 非球面透鏡場曲畸變圖...60

圖4.48 EFL=6 非球面透鏡MTF圖...60

圖4.49 EFL=6 繞射元件光線追跡圖...61

圖4.50 EFL=6 繞射元件光斑圖...61

圖4.51 EFL=6 繞射元件光扇圖...62

圖4.52 EFL=6 繞射元件場曲畸變圖...62

圖4.53 EFL=6 繞射元件MTF圖...62

表目錄

表1.1 全球手機出貨量預估...2

表2.1 不同圓錐係數之曲線...25

表4.1 鏡頭規格...40

表4.2 EFL=2球面鏡賽德像差...43

表4.3 EFL=2非球面鏡賽德像差...45

表4.4 EFL=2繞射元件賽德像差...48

表4.5 EFL=4球面鏡賽德像差...50

表4.6 EFL=4非球面鏡賽德像差...53

表4.7 EFL=4繞射元件賽德像差...56

表4.8 EFL=6球面鏡賽德像差...58

表4.9 EFL=6非球面鏡賽德像差...61

表4.10 EFL=6繞射元件賽德像差...63

表4.11透鏡狀態與有效焦距關係………..….63

第一章 緒論 1.1 研究背景

隨著時代進步與生活步調愈來愈快，許多生活上使用到的事物都起了極大變 化；唯一不變的，就是以人為主軸的模式，因此所有事物皆以此為出發點，改變、

進化成更便利使用是最大重點。撇除流行不說，手機應該是最普及、最持續、也 最廣為接受的現象之一；根據研究報告指出，在手機普及率最高的日本，照相手 機就佔了95%、也就是4.5億支的總量！照相機畫素的提升，也從2006至2008年的 低於1百萬畫素，到2009年的2、3百萬畫素為主流，可以想見的是到了2010年將 會提升到更高的境界。至今照相功能已成為手機不可或缺的能力，隨著手機一直 朝向輕、薄、短、小發展，手機相機模組(compact camera module , CCM)在追求 光學變焦功能與更高畫素時，亦必須考慮其體積的大小。變焦鏡頭主要分成兩大 類光學補償(optically compensated)與機械補償(mechanically compensated)，此兩大 類都是以移動鏡群前後位置來達到變焦的目的，因此在大倍率的光學變焦需求 下，勢必會使整體鏡頭光學長度增加，也就無法達到手機體積薄型化的目的。

1.2 研究動機

全球照相手機模組的出貨量逐年增加中，如圖 1.1 所示，從2004年2億個到 2010年將近12億個，預估未來需求量還會成長中，因此世界各國皆投入研究與生 產，如表1.1所示，台灣手機相機模組研究為了保持技術上的競爭力，應對於高 畫素、超薄、自動對焦、光學變焦等方面，做相關的研發與應用。[1]

圖 1.1 全球手機相機模組出貨量 表 1.1 全球手機出貨量預估

手機對於體積、重量、外型的要求較高，在機構精密度與設計鏡頭的難度

相對提高。若以傳統球面透鏡系統進行設計，需使用的鏡片數量較多，會造成鏡 頭的體積太大，重量亦較重，並不符合手機的市場需求。基於輕巧、小型化的市 場需求，減少透鏡的使用數量，變成目前鏡頭設計必須考量的一大重點。近年來 光學塑膠材料不斷進步，塑膠非球面透鏡的技術成熟、繞射光學元件(Diffractive Optical Element，簡稱DOE)再度受到矚目。若將上述兩種技術，運用在照相手機 的鏡頭設計上，可大幅減少透鏡的使用數量，降低生產成本，並達到手機輕薄短

小的市場需求。[2]

未來照相手機將往高倍率及高畫素的變焦鏡頭發展，光學變焦鏡頭已慢慢

成為照相手機的基本配備。目前國內鏡頭廠商在固定焦距鏡頭的技術已日漸成 熟，不過在光學變焦鏡頭部份，由於機構之精密度要求較高，且整合技術仍待加 強，因此變焦鏡頭模組大都多由國外廠商供應。

1.3 論文架構

第一章為緒論，先介紹照相手機的相關背景，了解照相手機的歷史及未來全 球的發展，進而得知照相手機未來還會繼續成長，相關的技術也會不斷的進步，

從中可發現未來的趨勢，然後作為本文研究設計的重點。

第二章先從幾何光學開始介紹，討論基本的光學特性，接著導入光線追跡的 方法，並結合波前像差與賽德像差理論，介紹各種像差的形成。

第三章探討變焦系統理論、變焦的種類及其應用範圍，對三群透鏡之光學系 統做簡單的介紹。

第四章介紹旋轉式手機相機鏡頭設計，一開始由整個設計流程，簡略說明各 步驟的程序，再分別由鏡頭規格訂定、球面、非球面、繞射面，再由圖看出其模 擬結果。

第五章為結論及未來可能的發展。

第二章 基礎理論 2.1 幾何光學原理

幾何光學(Geometrical Optics) 主要在討論，光的反射(Reflection)、折射 (Refraction)與成像的組成，幾何光學的組成基本原理是以光的直線傳播性質來討 論光在透明介質中的傳播。幾何光學不討論波動性、粒子性等光的性質，而是利 用觀察與實驗的方法做為基礎，進而討論光在介質中傳播的情形，在討論幾何光 學前，必須依循下列幾項基本的假設︰[3]

1. 光在均勻介質為直線傳播。

2. 入射角等於反射角。

3. 當兩光交錯時，各自獨立，無干涉現象產生。

4. 入射角與反射角之正弦值與介質折射率(Index of refraction)成比例。

1657年，費馬(Fermat)根據幾何光學的基本原理，提出光的反射與折射現 象。首先從圖2.1說明光的反射現象，當一束光由點S出發，於平面上的B點反射 到達P點，由於光皆在同一介質中行進，故其行進速度皆為v。由S經B到達P點所 花的時間如下：

2 2

2 2 _p ( )

s h l x

h x

SB BP

t v v v v

+ + −

= + = + (2.1)

由式(2.1)指出此路徑應為最短時間，因此可得

r i

p

s h l x

x l x

h x dx

dt

θ θ sin sin

) 0 0 (

2 2 2 2

=

⇒

− = +

− −

⇒ +

= (2.2)

圖 2.1 光的反射現象

接著從圖2.2說明光的折射現象，當一束光由點S出發，通過平面上的B點到 達界面另一端的P點。令光在S端介質中行進速度為v1 ，在P端介質中速度為v2 。 則由S經B到達P點所花的時間如下：

2 2 2

1 2 2

2 1

) ( v

x l h v

x h v

BP v

t SB ^{s p} + −

+ +

= +

= (2.3)

由式(2.3)指出此路徑應為最短時間，因此可得

2 1

2 2 2 2 2

1

sin sin

) 0 0 (

v n c v

n c n

n

x l h v

x l x

h v

x dx

dt

t i

t t i i

p s

≡

≡

=

⇒

− = +

− −

⇒ +

=

　　 θ 　　

θ

(2.4)

圖 2.2 光的折射現象

由式(2.2)可知，光在任一表面反射時需滿足入射角等於反射角的條件θI =

θr，唯此角度乃以垂直法線為參考，此即為反射定律。如圖2.3所示，若反射面

為一光滑面，則此平面上的法線方向皆一樣，故所有的反射光皆平行，我們稱之 為鏡面反射。

圖 2.3 鏡面反射參考圖

如圖2.4所示，若反射面為一粗糙面，則此平面上的法線方向不一樣，致使 反射光四處亂射，我們稱之為散射。

圖 2.4 散射參考圖 由式(2.4)可知，光通過不同介質界面時需滿足

t t i

i n

n sinθ = sinθ 此即為折射定律，或稱Snell’s Law。[4]

2.2 符號定義

本論文相關公式的正負定義(如圖 2.5 所示)：

圖 2.5 符號定義示意圖 (1) 光線傳播方向由左至右。

(2) 光學系統的物方在左、像方在右。

(3) 高度：h是邊緣光線在透鏡上的高度，在透鏡上方為正、下方為負；同理，

對於物高與像高而言，以光軸為基準，在光軸上方為正、下方為負。

(4) 角度：u與u'是邊緣光線分別在物空間、像空間與光軸之間的夾角，以光軸 (或法線)朝光線方向旋轉，順時針為正，逆時針為負。因此u 為負、u'為正。

(5) 距離：l與l'分別為第一主平面至物面與第二主平面至像面的距離，對薄透 鏡而言，兩個主平面與透鏡合而為一；在鏡片左邊，距離為負，在鏡片右邊，

距離為正。因此l為負、l'為正。

(6) 折射率：n 、₁ n 、₂ n 分別為物空間、透鏡本身與像空間的折射率。 ₃ (7) K 與f 分別為透鏡的光焦度與焦距。

(8) 聚焦系統的焦距為正，發散系統之焦距為負。

(9) 曲率中心在曲面之右方為正，在其左方為負。

(10) P₁與P₂分別為透鏡的第一主平面和第二主平面。

假設透鏡的厚度為零，此透鏡稱為薄透鏡，利用薄透鏡可使系統需計算的

複雜性大為降低。[5]

以下為薄透鏡之透鏡方程 (假設n1=n3=1) ：

K f l l

1 1

1− = =

′ (2.5)

或

hK u

u′− = (2.6) 而橫向放大率M定義為

u u l M l

= ′

= ′ (2.7)

由(2.5)式和(2.7)式，可得 f

M

l′=(1− ) ， f l M ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

= 1 1

(2.8) 透鏡的物像距離為

M f M l

l

T ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

=

′−

= 1

2 (2.9)

2.3 近軸光線追跡

當光線小角度入射光學系統，該光線非常靠近光軸，故可以將角度u 近似

u u

u tan

sin ≈ ≈ ，以簡化光線追跡的複雜性，yun 追跡法即在近軸近似的條件下，

找出光學系統中的高斯性質。光線進入第一面的高度為y ，_k u 為光線進入第一_k 面的角度，光線進入第二面的高度為y_k+1，u 為光線進入第二面的角度，第一面_k^' 與第二面之距離為t ，如圖 2.6 所示，光線由第一面轉移至第二面之追跡方程為_k (2.10)與(2.11)式[6]

u_k^' =u_k+1 (2.10)

y_k+1 = y_k +t_ku_k^' (2.11) 系統有效焦距(Effective focal length,EFL)可表示為(2.12)式

1 1 +

= uk

EFL y (2.12)

系統後焦距(Back focal length)可表示為(2.13)式

_'

1 1 +

= + k k

u

BFL y (2.13)

系統光焦度(Power,P)可表示為(2.14)式 φ

y y y

u n EFL

P= n^k = ^{k k} = ∑

1 1

' '

' 1

(2.14)

圖 2.6 光線追跡示意圖

2.4 像差理論

對一個透鏡而言，凡是造成光線偏離理想的成像路徑者皆為像差的表現。高 斯光學為滿足近軸條件(paraxial condition)時，成像時將不會有像差的出現，而近 軸條件是指sinθ ≅θ 的成像條件，但事實上，sinθ 可以藉由泰勒展開(Tavlor expansion)為[7]

⋅⋅

⋅

− +

−

= 3! 5! sin

5

3 θ

θ θ

θ (2.15) 當只考慮三次項，而忽略更高次項時，我們發現存在有五種像差，並稱之為 初級像差或三階像差，若考慮更高次項時，為高階像差，其分析將會相當複雜。

圖 2.7 光線路徑示意圖

假設介面外、內之折射率分別為n₁、n₂，其曲率半徑為R，則路徑 PSQ 與 POQ 之光程差為：

) (

) (

)

(s n₁t₁ n₂t₂ n₁s₁ n₂s₂

O = + − + (2.16) 利用三角幾何關係可得：

] cos ) ( 2 ) (

[ ² ₁ ² ₁

1 R s R R s R β

t = + + − + (2.17) ]

cos ) (

2 ) (

[ ² ₂ ² ₂

2 R s R R s R β

t = + − + − (2.18) 我們對cos 作展開並假設β

R

≅ h

β ，可得：

4 4 2 2 4

2

24 1 2

! 4

! 1 2

cos R

h R h +

−

= +

−

≅ β β

β (2.19)

把(2.19)式代入(2.17)式，可得：

24 ) 1 2

)(

( 2 )

( ₄

4 2 2 1

2 1 2

1 R

h R R h

s R R

s R

t = + + − + − +

)

24 1 2

)(

2 2

(

2 ₄

4 2 2 2

1 2

1 2

1 2

R h R R h

Rs R

Rs s

R + + + − + − +

=

)

2 12 2 12

(

2 ₂

4 2 2 3 4 1 2 1 1 2

1 2

1 2

R h h

R R h s R

h Rs s R

Rs s

R + + + − − + + − +

=

₂

4 2 2 3 4 1 2 1 1 2

1 2

1 2

2 12 2 12

2 R

h h R R

h s R

h Rs s R

Rs s

R + + + − + − − + −

=

₂

4 2 3 4 1 2 2 1

1 12 12R

h h R h s R

h

s +s − + −

=

)

12 1 12

)(

( _{2 2}

1 4 2

1 2 3 1

4 1

2 2

1 s R

h s

h R s h R s

s + h − + −

=

_{2 2}

1 4 2

1 2 3 1

4 1

2

1 1 12 12

R s h s

h R s h R s

s + h − + −

=

_{2 3}

1 1 4 2

1 2 2 1

1 12

) ) (

(

1 s R

R s h R

s R h h

s s +

+ − +

=

]

12 ) ( ) [ (

1 _{2 3}

1 1 4 2

1 1 2

1 s R

R s h R

s R s

s h +

+ − +

= (2.20)

β cos ) (

2 )

( ₂ ² ₂

2

2 R s R R s R

t = + − + −

)

24 1 2

)(

( 2 )

( ₄

4 2 2 2

2 2 2

R h R R h

s R R

s

R + − + − − +

=

)

24 1 2

)(

2 2

( )

( ₄

4 2 2 2

2 2

2 2

R h R R h

Rs R

s

R + − + − − +

=

₂

4 2 2 3 4 2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 12 2 12

2 R

h h R R

h s R

h Rs s R

Rs s

R + − + + − + − + −

=

₂

4 2 3 4 2 2 2 2

2 12 12R

h h R h s R

h

s −s + + −

=

= ) 12 1 12

)(

( _{2 2}

2 4 2

2 2 3 2

4 2

2 2

2 s R

h s

h R s h R s

s − h + + −

_{2 2}

2 4 2

2 2 3 2

4 2

2

2 1 12 12

R s h s

h R s h R s

s − h + + −

=

_{2 3}

2 2 4

2 2

2 2

2 12

) (

) 1 (

R s

s R h R

s s R

s +h − − −

=

]

12 ) ( ) [ (

1 _{2 3}

2 2 4 2

2 2 2

2 s R

s R h R

s s R

s + h − − −

=

由 1+x的馬克勞林級數(Maclaurin series)：

8 1 2

1

x2

x ≅ + x−

+ (2.7) 由(2.6)、(2.7)得：

8 }

144 ) ( 12

) ( ) 2 (

) ( 24 [

) ( 2

) 1 (

{

6 4 1

2 1 8 3 2 1 1 4 2

1 1 2 2

4 1

2 1 4

3 2 1 1 4 2

1 1 2 1 1

R s

R s h R s

R s h R s

R s h R

s R s h

R s

R s h R s

R s s h

t

+ + +

− + + + −

+ − +

=

}

8 ) ( 24

) ( 2

) 1 (

{ _{4 2}

1 2 1 4 3 2 1 1 4 2

1 1 2

1 s R

R s h R s

R s h R s

R s

s h +

+ − + −

+

= (2.8) 同理

8 }

144 ) (

12 ) (

) 2 (

) (

24 [ ) (

2 ) 1 (

{

6 4 2

2 2 8

3 2 2

2 4

2 2

2 2

2 4 2

2 2 4

3 2 2

2 4

2 2

2 2

2 2

R s

s R h R s

s R h R s

s R h R

s s R h

R s

s R h R s

s R s h

t

+ −

−

− −

−

− −

− − +

=

}

8 ) (

24 ) (

2 ) 1 (

{ _{4 2}

2 2 2 4

3 2 2

2 4

2 2

2 2

2 s R

s R h R s

s R h R s

s R

s +h − − − − −

= (2.9) 再將(2.8)、(2.9)式代入(2.2)可得

) (

) (

)

(s n₁t₁ n₂t₂ n₁s₁ n₂s₂

O = + − +

) (

8 ] ) (

24 ) (

2 ) 1 (

[

8 ] ) ( 24

) ( 2

) 1 (

[

2 2 1 4 1

2 2

2 2 4

2 2 3

2 4

2 2

2 2

2 2

4 1 2

2 1 4 2 1 3

1 4 2

1 1 2 1 1

s n s s n

R s R h s R

s R h Rs

s R s h

n

s R

s R h s R

s R h Rs

s R s h

n

+

− −

− −

− − +

+

− +

− + + +

=

8 ] ) (

24 ) (

2 ) [ (

8 ] ) ( 24

) ( 2

) [ (

4 2 2

2 2 4

2 2 3

2 4

2 2

2 2

2 2

4 1 2

2 1 4

2 1 3

1 4

2 1

1 2 1 1

s R

s R h s R

s R h Rs

s R s h n

s R

s R h s R

s R h Rs

s R s h n

− −

− − + −

− +

− +

= +

) ] (

3 ) (

) ( 3

) [(

] 8 ) (

) [(

2

3 2 2

2 2 2 2

3 2 2

3 1 2

1 2 1 1

3 1 1 4

2 2 2 1

1 1 2

s R

n s R s

R n s R

s R

n s R s

R n s h R

Rs n s R Rs

n s h R

+ − + −

+ +

− + + −

= +

( ) ]}

[ 3 ) ]

( [ 3

8 { ]

2 [ ² ₂²

2 2 3

2 2

2 2

1 2

2 1 3

1 1

1 4 2 2 2 1 1 1 2

s R

s R R

s R s n s

R s R R

s R s h n R n s n R n s

h n + + − − + + + + − + −

=

2 )]

( 3

2 ) ( 3

8 [ ] )

2 [(

2 2 2

2 2 2 2

3 2 2

2

2 1 2

2 1 1 2

3 1 1

1 4 1 2 2 2 1 1 2

s R

s Rs R

R s R s n

s R

s Rs R

R s R s h n R

n n s n s h n

+ + −

+ −

+ + +

− +

− − +

=

1 1] }

[ 1]

[1 8 { } ]

2 {[

2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 2 2 2 1 1 2

R s s n R s s h n R

n n s n s

h n + − − − + + −

=

上式中，第一項即為成像公式，而第二項則代表了三階像差的產生，我們可令 ) 4

(s ch

O = (2.10) 上式中，c 為一比例常數。由上式可知，三階像差跟界面口徑的四次方成正比。

我們考慮一斜射的情形，如圖2.2 所示。

圖 2.8 離軸物體成像關係圖

PCQ 為通過曲率中心 C 點的光線不受偏折，其與 POQ 之光程差由(2.10)式知：

) 4

0 ( ca

O = (2.11)

因此PSQ 光路對 POQ 之光程差可以表示為：

4

) 4

(s ct ca

O = − (2.12) 根據三角餘弦公式

θ θ

π ) 2 cos

cos(

2 ^{2 2}

2

2 r ar a r ar

a

t = + − − = + + (2.13) 代入(2.12)式可得

4

) 4

(S ct ca

O = −

=c(t⁴ −a⁴)

=c{[(a² +r²)+2arcosθ]² −a⁴}

=c[(a² +r²)² +2(a² +r²)2arcosθ +4a²r²cos²θ −a⁴] =c(a⁴2a²r² +r⁴4a³rcosθ +4ar³cosθ +4a²r²cos²θ −a⁴)

=c(r⁴ +4a²r²cos²θ +2a²r² +4ar³cosθ +4a³rcosθ) (2.14) 因a 與像高 h 呈正比，所以可表為

gh

a= (2.15) 其中g 為比例常數，則(2.14)可改寫為

θ θ

θ cos cos

cos )

(S ₀C₄₀r⁴ ₁C₃₁hr³ ₂C₂₂h²r^{2 2} ₂C₂₀h²r² ₃C₁₁h³r

O = + + + + (2.16)

= 球差 + 彗差 + 像散 + 場曲 + 畸變

就像差而言，由於以上五種像差最為重要，因此賽德對此一像差現象做了很有系 統的分析與討論，將波前像差係數分別對應S₁、S₂、S 、₃ S₄和S ，其關係式如₅ 式所示：

S₁：賽德球面像差 _{0 40 1} 8 1S C = S₂：賽德彗星像差 _{1 31 2}

2 1S C = S ：賽德像散 _{3 2 22 3}

2 1S C =

S₄：賽德場曲 _{2 20 2 22 4} 4 1 2

1 C S

C − =

S ：賽德畸變 _{5 3 11 5} 2 1S C ==

初階像差的計算首先需要追跡薄透鏡系統的主光線與邊緣光線，經由追跡光線所 得到的高度、角度等待入初階像差公式中，最後相加之總和，即為系統之總初階 像差值，其公式如下所示︰

)

2 (

1 n

h u A S = Δ

)

2 (

n h u A A S = Δ

)

2 (

3 n

h u A S = Δ

P H S₄ = ²

) ( _{3 4}

5 S S

A S = A +

CL：縱向色差 C C_L 2 1

20

0 =

∂

CT：橫向色差 ∂₁C₁₁=C_T )

( n Ah n

C_L ∂

Δ

=

) ( n h n A

C_T ∂

Δ

=

) ' ( ' )

(hc u n hc u n

A= + = +

) ' (

' )

(hc u n hc u n

A = + = +

其中 )

' ( ' )

( n

u n u n

u = − Δ

( ) ( ) n

n n

n n

n ∂

∂ −

∂ = Δ

1) (n c P=− Δ c：透鏡曲率

n：介質折射率(Refraction Index)

∂n：相關波長中短波長和長波長折射率之差值

A：邊緣光線的折射不變量(Refraction Invariant) A ：主光線之折射不變量

H：光學不變量(optical Invariant) P：帕茲柏係數(Petzval coefficient)

(h,u)、( h , u )分別代表物空間邊緣和主光線的高度和角度，反之，(h',u')、(h ,' u') 則代表像空間之值。[7]

2.4.1 球差(spherical aberration)

在光學中，球面像差是發生在經過透鏡折射或面鏡反射的光線，接近中心與

靠近邊緣的光線不能將影像聚集在一個點上的現象，如圖2.9 示。這在望遠鏡和

其他的光學儀器上都是一個缺點，這是因為透鏡和面鏡是球面的形狀，不能聚焦 在一個點上造成的。這是一個重要的特性，但是因為球面鏡比非球面鏡容易製 造，所以絕大部分的鏡子都是球面鏡。

圖 2.9 球差示意圖

2.4.2 彗差(coma)

這是一個off-axis(離軸)的像差，純粹彗形像差是因透鏡不同徑區對物點的放 大倍率不相等所致。將透鏡分成許多圓環帶，半徑越大的帶，所形成的彗星圓半

徑也越大，如圖2.10 所示。

圖 2.10 彗差示意圖

2.4.3 像散(astigmatism)

此像差是因透鏡在tangential plane(或 meridional plane 子午平面或稱切平面) 和在sagittal plane(弧矢平面)有不同的成像結果，如圖 2.11 所示。

圖 2.11 像散示意圖

2.4.4 場曲(field curvature)

對平面物體成像時，成像面成現一個凹曲面或凸曲面，如圖2.12 所示，也

就是說當成像中心清晰時邊緣卻成模糊，使邊緣成像清晰時中央卻成模糊，此即 稱為場曲。

圖 2.12 場曲示意圖

2.4.5 畸變(distortion)

Distortion 是光學系統中的光闌和光束作用，致始橫向放大率逐漸改變而造 成的。當光闌在物體和透鏡間時，會造成桶形扭曲；當光闌在透鏡和像平面間時，

會造成枕形扭曲，如圖2.13 所示。

圖 2.13 畸變示意圖

2.4.6 色差(chromatic aberration)

上述的賽德像差只限於單色光，並且不考慮光的波長對系統成像的影響。

若入射光為多色光時，由於透鏡材料的折射率會隨波長而變化，此稱為色散 (dispersion)，而因色散使得物點發出不同波長之光線，在通過光學系統後不會聚 在一點，進而形成有色的彌散斑，此即稱為色差，圖2.14 和圖 2.15 代表兩種典 型的色差。

圖 2.14 縱向色差示意圖

圖 2.15 橫向色差示意圖

2.5 薄透鏡之初階像差

選擇一個合適的高斯結構做為起始點，為光學系統設計的基礎。一開始可

從薄透鏡之初階像差的計算著手，進而試著平衡系統像差，以得到良好的高斯結 構。其目的在於簡化後續的設計步驟中需要考慮的部份，即使透隨意更換透鏡材 料、曲率及厚度等，只要基本的高斯結構不變，就不會影響之後的優化過程，使 整個設計過程更容易，以便求得所需之結果。

在薄透鏡設計過程中，最重要的兩個參數為形狀因子與共軛因子，利用這

兩個參數不僅可以決定透鏡的形狀和光線折射角之變量，更能減少初階像差的計 算時間[8]。

(1) 形狀因子(shape factor)：

1 2

1 2

c c X c c

= +

− (2.17)

其中 X 為形狀因子，c 、₁ c 為透鏡兩面之曲率 ₂ 再依據造鏡者公式(lens maker’s equation)：

(

1

)(

1 2

)

K = n− c −c (2.18)

其中n為透鏡之折射率， K 為透鏡之屈光度 則薄透鏡兩面之曲率可表示為式(2.19)

1

2

1 1 2

1 1 2 K X c n

K X c n

⎧ = +

⎪⎪ −

⎨ −

⎪ =⎪ −

⎩

(2.19)

(2) 共軛因子(conjugate factor)：

2 1

2 1

' ' u u Y u u

= +

− (2.20)

其中Y 為共軛因子，u 及₁ u 分別為通過透鏡之入射光與出射光的邊緣光線角度 ₂' 為了節省初階像差的計算時間，可利用形狀因子與共軛因子來簡化賽德像 差，將其轉換成此二因子的函數形式。首先根據光學近軸追跡公式u₂'= −u₁ hK及

2 1

2 1

' ' u u Y u u

= +

− ，可得

1

2

1 2 ' 1

2 u hK Y

u hK Y

⎧ = − ⎛⎜ − ⎞⎟

⎪⎪ ⎝ ⎠

⎨ ⎛ + ⎞

⎪ = − ⎜ ⎟

⎪ ⎝ ⎠

⎩

(2.21)

將式(2.21)之結果，代入薄透鏡第一面之A 、₁

1

u n

Δ ⎜ ⎟⎛ ⎞⎝ ⎠ 與第二面之A 、₂

2

u n

Δ ⎜ ⎟⎛ ⎞⎝ ⎠ ，可

得下列式(2.22)

( )

( )

( )

( )

1 1 1

2 2 2

1 1

2 1

2 1

2 2

1 1

1 2 2

1 1

2 1

' 1 1

2 1

' 1

1 2 ' '

1 2 1

hK X Y

A hc u hK

n hK X

n Y hK X

A hc u Y

n u u

u hK X Y

n n n Y

u u

u hK X Y

n n Y n

⎧ = + = ⎛ + ⎞− ⎛ − ⎞

⎪ − ⎝⎜ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠

⎪⎪ = ⎡ + − − ⎤

⎪ ⎢⎣ − ⎥⎦

⎪⎪ −

⎪ = + = ⎡ − + ⎤

⎨ ⎢⎣ − ⎥⎦

⎪⎪Δ⎛ ⎞ = − = ⎡ + − + ⎤

⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎥⎦

⎪

⎛ ⎞ ⎡ + ⎤

Δ⎜ ⎟⎝ ⎠ = − = ⎢⎣ + − ⎥⎦

⎩

⎪⎪

⎪

(2.22)

再將式(2.22)代入賽德像差，即可簡化賽德像差，得到光闌位於薄透鏡上時，其 中心球面像差S 之公式如下： _1c

( )

( )

( )

( )

4 3 2

2 2

1 2

2

4 1

2 3 2

4 1 1 1

c

h K n n n n

S X XY Y

n n n n

n n a X b c

⎡ + + + ⎛ ⎞ ⎤

= ⎢⎢⎣ − − − + +⎜⎝ − ⎟⎠ ⎥⎥⎦

= − +

(2.23)

其中

( )

( )

( )

4 3

2 2

4 3 2

2

2

4 1

2 1

2

4 1 2

h K n a

n n

b n Y

n

h K n n

c Y

n n

= +

−

= − +

⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤

= ⎢⎢⎣⎜⎝ − ⎟⎠ −⎜⎝ + ⎟⎠ ⎥⎥⎦

(2.24)

光闌位於薄透鏡上時，其中心慧星像差S 之公式如下： _2c

( )

2 2

2

1 2 1

2 1

c

Hh K n n

S X Y

n n n

dX e

⎧⎡ + ⎤ + ⎫

⎪ ⎛ ⎞ ⎪

= ⎨⎪⎩⎢⎢⎣ − ⎥⎥⎦ −⎜⎝ ⎟⎠ ⎬⎪⎭

= +

(2.25)

其中

( )

( )

( )

2 2

2 2

1

2 1

2 1

2 Hh K n

d n n

Hh K n Y

e n

= +

−

− +

=

(2.26)

光闌位於薄透鏡上時，其中心像散S 、中心場曲_3c S 及中心畸變_4c S 之公式如下： _5c

2 3

2 4

5 0

c

c

c

S H K S H K

n S

⎧ =

⎪⎪ =

⎨⎪

⎪⎩ =

(2.27)

上述S 、_1c S 、_2c S 、_3c S 及_4c S 是代表光闌位於薄透鏡上時的像差，然而在_5c 薄透鏡加厚之後，光闌的位置往往需要再做調整，光闌位於透鏡表面的情況較少 見，因此接著介紹當光闌不在薄透鏡上時，各種賽德像差之計算方式。

首先定義離心因子(eccentricity factor) E : E h

= h (2.28)

當光闌不在透鏡上時（光闌位移），其薄透鏡之賽德像差分別定義為S 、₁^* S 、₂^*

*

S 、3 S 及₄^* S ，再利用離心因子做公式之間的轉換，則₅^* S 、₂^* S 、₃^* S 可表示為₅^* S 、_1c S 、2c S 、_3c S 與_4c E 的函數，如式(2.29)所示：

( )

*

1 1

*

2 2 1

* 2

3 3 2 1

*

4 4

* 2 3

5 3 4 2 1

2

3 3

c

c c

c c c

c

c c c c

S S S S ES

S S ES E S S S

S E S S E S E S

⎧ =⎪

= +

⎪⎪ = + +

⎨⎪ =

⎪⎪ = + + +

⎩

(2.29)

而色差如下所示

( ) ( )

1 2

1 2

1 2 2 1

0 0

'

L L L

C C C

n n

A h A h

n n

n h c c u u n

= +

∂ ∂

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜⎝ − ⎟⎠+ ⎜⎝ − ⎟⎠

∂ ⎡ ⎤

= ⎣ − + − ⎦

因為 K =

(

n−1

)(

c1−c2

)

所以 ²

1

L

C h K n n

⎛ ∂ ⎞

= ⎜⎝ − ⎟⎠ (2.30)

由於系統色差之大小與透鏡之阿貝數有關，為了設計時的需求，先定義阿貝 數如式(2.31)所示：

1 V n

n

= −

∂ (2.31)

則橫向色差與縱向色差可表示為阿貝數之函數形式，其關係式如下

( )

1 2

1 2

1 2

0 0

T T T

L L

L

C C C

n n

A h A h

n n

E C C hhK

V EC

= +

∂ ∂

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜⎝ − ⎟⎠+ ⎜⎝ − ⎟⎠

= +

=

=

(2.32)

綜合上述，大致歸納出各種初階像差在平衡與校消時，所需考量之參數，其 關係整理如下：

(1) 慧星像差、像散、畸變、橫向色差和光闌的位置有關，其餘像差則與光闌 位置無關。

(2) 球面像差和透鏡之屈光度、折射率、形狀因子、共軛因子、物空間邊緣光

線高度有關。

(3) 慧星像差主要和球面像差有關，另外和透鏡之屈光度、折射率、形狀因子、

共軛因子、離心因子、光學不變量也有關。

(4) 像散主要和球差、彗差有關，另外和透鏡之屈光度、離心因子、光學不變 量也有關。

(5) 場曲和透鏡之屈光度、折射率、光學不變量有關。

(6) 畸變和球差、慧差、像散、場曲、離心因子有關。

(7) 色差和透鏡之阿貝數、屈光度、物空間邊緣光線高度有關。

2.6 非球面透鏡理論

傳統光學透鏡受限於加工技術，透鏡形狀僅能以平面、球面與拋物面這三種 為主，因此當要有更好的成像品質時，只能使用多個透鏡的組合來消除像差，但 相對的體積與重量也會增加，為了解決這個問題而改良出非球面透鏡，不但讓光 線經過透鏡後能更聚焦在同一點上，還可減少透鏡上的厚度，也符合現代的要求 輕、薄、短、小，且一片非球面透鏡能取代兩片或兩片以上的傳統透鏡，讓我們 有效的在品質與體積上，得到良好的平衡點。[9]

傳統的球面方程式僅一個參數便可以描述，但非球面是在固定的曲率下，加 上任意的高次曲線所組合而成的，所以可以定義曲率隨著高度面變化，常見的形 式為旋轉對稱的曲面形式，其數學表示式如(2.33)所示，示意圖如圖2.16所示。

(2.33) X：鏡片的彎曲量。

Y：鏡片的截高。

a：透鏡曲率。

b：圓錐係數(conic coefficient)。

c、d、e、f：第四、六、八階的高階非球面係數。

圖 2.16 非球面透鏡示意圖

不同之圓錐常數值分別代表了不同之面形，整理表2.1，各曲線如圖3.17所示。

表 2.1 不同圓錐係數之曲線

圖 2.17 各曲線示意圖

2.7 繞射/折射複合光學元件

DOE是全像光學元件(Holographic Optical Element，HOE)作成多階相位型 式，因此繞射效率高。1977年，斯維特(Sweatt)模型將HOE視為薄透鏡來進行模

擬。採用此種透鏡模型，即可利用幾何光學的光線追跡方法，對繞射元件做追跡，

以求得此元件的光學特性，因此我們可以使用光學透鏡的設計軟體(如Zemax、

Code-V、OSLO等)對包含繞射及折射的元件來進行設計模擬。[10]

2.7.1 斯維特模型

將一繞射元件考慮為薄透鏡，此透鏡之折射率趨近於無窮大，其曲率和厚度 趨近於零，使元件的光焦度保持為一有限值，此即為斯維特模型(Sweatt Model)。

圖2.18為一繞射光柵的等校透鏡，即斯維特模型，其中央光線的傾斜角度θ、ε和 θ’都是相對於基面局部法線的夾角，透鏡表面相對於基面切線的傾斜角為δ和δ’，

由折射方程可得(2.34)式。[11]

nsin(ε −δ)=sin(θ −δ) (2.34) nsin(ε −δ')=sin(θ'−δ')

圖 2.18 (a)光線經過繞射透鏡等效圖(b)放大示意圖 在(2.34)式右邊最大值為1，且折射率n>>1，故ε-δ和ε-δ’將十分小。

n

< 1

−δ

ε (2.35)

n ' < 1

−δ ε 其中1 →0

n

從(2.35)式可以了解，由於透鏡的表面很靠近基面且n很大時，δ與δ’變的很 小，使得ε也變的很小，所以我們可以用小角度近似成(2.36)式

n(ε −δ)≅sinθ −δcosθ (2.36) n(ε−δ')≅sinθ −δ'cosθ'

(2.36)式消去ε，可得

(n−cosθ')δ'−(n−cosθ)δ =sinθ −sinθ' (2.37)

當 2

θ <π 且n非常大時，可得

n−cosθ ≅n−cosθ'≅n−1 (2.38) 將(2.38)式代入(2.37)式可得

(n−1)(δ −δ')=sinθ −sinθ' (2.39) 由於δ與δ’非常小，則(2.39)式可以寫為表座標s和厚度t之關係式，如(2.40)式 所示。

( −1) =sinθ −sinθ' ds

n dt (2.40) (2.41)式為繞射方程式

mλξ(s)=sinθ −sinθ' (2.41) 其中m是繞射級數，ξ是光柵空間頻率(LP/mm)，光柵週期(S)為空間頻率的 倒數，等效於波長在透鏡內產生光程差所需的透鏡厚度，其方程式如(2.42)式

) )(

1 ) (

( n dtdr

m dr

OPD d S m

= −

= λ λ

(2.42)

由方程式(2.42)可以推得(2.43)式

ds S n dt

S

m ( )

) 1 ( ) ( = −

λξ (2.43)

在斯維特模型中，透鏡的兩個曲率如(2.34)式

) 1 (

2 2

1 = + −

n c K

c ^diff (2.44)

) 1 (

2 = −2 −

n c K

c _s ^diff

c ：基面曲率 s

Kdiff：繞射面光焦度