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其中 Xτ 為馬可夫鍊中時間 τ 的狀態，O(Xτ) 為對應該狀態的觀察量。針對我們 的問題，蒙地卡羅演算法中選取狀態的機率取決於式 (2.1) 或 (2.7) 的歸一化常數
Z ≡ ⟨Φ0|Φ0⟩ =∑
X
WX (2.9)
其中 WX 為狀態 X 的機率分佈。
下一節我們將描述處理量子易辛模型的零溫投射蒙地卡羅演算法。
2.2 處理量子易辛模型的零溫投射法
如前節所提示，期望值的歸一化常數 Z = ⟨Φ0|Φ0⟩ 決定蒙地卡羅計算過程選取 狀態的機率。在自旋標準基底{|α⟩} 表象，我們可用上節定義的符號將式 (2.7) 中 的 Z（該式分母）進一步改寫為
Z =∑
{α}
∑
S2n
∏2n j=1
⟨α′|Htj|α⟩ , (2.10)
比較式 (2.9) 可看出
W (X) =
∏2n j=1
⟨α′|Htj|α⟩ (2.11) 為算符序列－自旋狀態 X = {S2n, |α⟩} 的比重。又 Htj 為系統哈密頓各項算符，
故各類型 Htj 的「取樣機率」取決於它們在系統哈密頓所佔據的比重。若以圖像 表示，我們可將一 D 維度的量子自旋模型視為 (D + 1)-維度的等效模擬模型，多 出的維度為算符積∏2nj=1Htj 傳遞的方向，此維度雷同第 1 章談及的虛數時間維 度。期望值矩陣元⟨α′|O|α⟩ 的測量則在傳遞方向的中線進行（見圖 2.1）。
觀察本文所探討的量子易辛模型之哈密頓算符 (1.1)，不難看出拆解後各項在 自旋標準基底表象中的矩陣元分別為單位置項的
⟨↑|Γσix|↓⟩ = ⟨↓|Γσix|↑⟩ = Γ (2.12)
⟨↑|Γσix|↑⟩ = ⟨↓|Γσix|↓⟩ = 0 ,
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及鍵結項的
⟨↑↑|Jσizσjz|↑↑⟩ = ⟨↓↓|Jσizσjz|↓↓⟩ = J (2.13)
⟨↑↓|Jσizσjz|↑↓⟩ = ⟨↓↑|Jσizσjz|↓↑⟩ = −J
⟨↑↑|Jσizσjz|↓↓⟩ = ⟨↓↓|Jσizσjz|↑↑⟩ = 0
⟨↑↓|Jσizσjz|↓↑⟩ = ⟨↓↑|Jσizσjz|↑↓⟩ = 0 .
因為這些矩陣元將關係到蒙地卡羅計算過程狀態的機率分佈，如此將出現負機率 問題。為了避免這個符號問題，我們可以於原哈密頓算符加入常數項，此修改只 會使整體能量本徵值移動一常數，而不會影響相關物理的結果。
我們可將加入常數項後的 N 自旋哈密頓算符可如下表示 [20]：
H =−∑
⟨i,j⟩
HJ,(i,j)−∑
i
HΓ,i−∑
i
HC,i (2.14)
其中各項算符分別定義為
HJ,(i,j)= J − Jσizσjz, (2.15)
HΓ,i= Γσix, (2.16)
HC,i = Γ . (2.17)
圖 2.1: 一自旋數目 N = 4 及算符數 n = 10 的零溫投射法模擬空間示意圖。左右兩端 標出箭頭的自旋態，|αℓ⟩ 及 |αr⟩，為初始狀態。本圖橫向為算符序列及自旋狀態傳遞 方向。線段表示自旋狀態，其中實線為自旋朝上狀態，而虛線為自旋朝下狀態。方塊 表示算符，其中實心正方形表示橫場算符 HΓ,i，空心正方形表示常數算符 HC,i，而 橫跨兩自旋的實心長方形為反鐵磁性鍵結算符 HJ,(i,j)。期望值矩陣元⟨α′|O|α⟩ 的計 算將於中線（虛線標示）進行。
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如此我們得到以下非零的相關矩陣元：
⟨↑↓|HJ,(i,j)|↑↓⟩ = ⟨↓↑|HJ,(i,j)|↓↑⟩ = 2J , (2.18)
及
⟨↑|HΓ,i|↓⟩ = ⟨↓|HΓ,i|↑⟩ = Γ , (2.19)
⟨↑|HC,i|↑⟩ = ⟨↓|HC,i|↓⟩ = Γ . (2.20) 可看出，鍵結算符如式 (2.15) 加了常數項後，其矩陣元不再為負數值；又常數算 符 HC,i 的引入使單位置算符的對角矩陣元亦為非零的 Γ 值，方便建構蒙地卡羅演 算法的狀態更新（update）程序。
以下我們參考文獻 [19,21] 描述針對量子易辛反鐵磁模型的零溫蒙地卡羅演 算程序。主要分兩大類型的更新組態方法，一為類似 Metropolis 的局域組態更 新（local update） [22]，另一為類似 Swendsen-Wang 方法 [23] 的叢集更新（cluster update）。一個蒙地卡羅步驟（Monte Carlo step）（或一蒙地卡羅單位時間）包含這 兩大類的狀態更新程序。
2.2.1 局域組態更新法則
考慮一 N 自旋易辛反鐵磁，其具 Nb 個鍵結。首先隨機產生一組 S2n 標示初 始 2n 算符的乘積，及一組初始自旋狀態|α0⟩。我們從頭檢視 S2n所對應的算符序 列，並作以下自旋狀態或算符序列的更新：
(1) 若出現一橫場項算符（非對角算符，off-diagonal operator）HΓ,i，則更新作 用後的自旋狀態：HΓ,i|α⟩ → |α′⟩，這裡 |α⟩ 與 |α′⟩ 只差晶格點 i 上自旋的翻 轉。
(2) 若出現一對角算符（diagonal operator）HJ,(i,j) 或 HC,i，我們將根據滿足細 緻平衡（detailed balance）的轉移機率將其改變成另一種對角算符。先拿掉 原有的對角算符，然後
(i) 以以下機率置入一常數算符 HC,i，
P (C) = ΓN ΓN + (2J )Nb
. (2.21)
若接受此算符的置入，則隨機選擇一晶格點 i 作為 HC,i放置處。機率 P (C) 呈現的正是 HC,i在系統哈密頓算符 (2.14) 中所有對角算符（包含
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(a) 叢集的建構
(b) 叢集狀態的更新
圖 2.2: 零溫投射法叢集更新程序示意圖。紅色顯示且互相連結的自旋線段及算符同 屬一叢集，範例圖 (a) 中共有兩個叢集。圖 (b)：兩個叢集更新後，自旋狀態改變（虛 線變實線，實線變虛線），且叢集邊界的算符也跟著轉換（HΓ,i ↔ HC,i），如此也更 新非對角算符 ( HΓ,i) 。
HC,i 與 HJ,(i,j)）出現的比例及矩陣元素大小的比重（見式 (2.19)）。
(ii) 或以機率
P (J ) = 1− P (C)
= (2J )Nb ΓN + (2J )Nb
(2.22)
選擇置入鍵結算符 HJ,(i,j)，此時先隨機挑出一鍵結處 (i, j)，若此兩相 鄰自旋態為反平行，則接受 HJ,(i,j)置入該處；若兩自旋態為平行，則 因對應的矩陣元為零，而須拒絕加入此鍵結算符。
上述步驟 (i)、(ii) 將重複進行至有一對角算符被置入為止。
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2.2.2 叢集更新法則
上小節敘述的局域組態更新法則並沒有涉及到橫場項在 S2n 算符序列中的更 改，這部分的更新將藉由非局域性的所謂叢集更新法來進行。所謂叢集（cluster）
是指在 D + 1 維度的模擬空間中一群自旋自由度及一群算符的集合。我們以下列 方式建構出一叢集：從一算符出發，延晶格空間方向及算符傳遞方向納入其它自 旋及算符至叢集內，過程中三重要法則決定叢集的成長與終止：
• 叢集終止於單位置算符，即橫場算符 HΓ,i或常數算符 HC,i。
• 叢集終止於算符傳遞方向兩端邊界的自旋狀態，|αℓ⟩ 及 |αr⟩。
• 鍵結算符 HJ,(i,j)四端連結的自旋將被納入同一叢集內。
圖 2.2示範 (1 + 1) 維度模擬空間上叢集建構。當叢集建構完成後，我們以 1/2 機 率翻轉其內部所有自旋的狀態及算符的種類；此翻轉步驟包含：
• 上自旋態變下自旋態，下自旋態變上自旋態。
• 橫場算符 HΓ,i變常數算符 HC,i，而常數算符 HC,i 變橫場算符 HΓ,i。 如 此 橫 場 算 符 HΓ,i 也 在 算 符 序 列 中 更 新， 這 非 對 角 算 符 的 更 新 並 不 在 上 節
（2.2.1 節）的局域更新步驟被考慮。這裡我們提醒：因為非對角橫場算符 HΓ,i與 對角常數算符 HC,i 具同值的非零矩陣元（見式 (2.19) 及式 (2.20)），這個設計方便 我們這裡不受限制地更新它們（並連同連接算符的自旋狀態）。