量子絕熱演化

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N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

10² 10⁴ 2¹⁸

n

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

g

L = 15 L = 18 L = 21 L = 24

圖 2.4: 不同系統尺度的 Binder 比值與投射長度 n 的關係。可觀察到，當 n≥ 2¹⁷，最 大系統 L = 24 的 Binder 比值漸收斂至一定值。

有限尺度標度圖，而圖 2.5b 為磁化率。使用的投射長度均為 n = 2¹⁸利用 3DXY 普適類的臨界指數 ν = 0.67155 與 β_m = 0.3485 [14]，我們可以得到 m² 不錯的擬 合結果，χ 的擬合狀況則較差，可能是所考慮的系統尺度不夠大。

2.4 量子絕熱演化

上兩節所描述的零溫投射法並沒有運用任何近似（approximation）處理方法，

可視為一無偏差（unbiased）、無系統誤差（systematic errors）的量子蒙地卡羅演 算法，也就是說，利用足夠大的哈密頓算符次方 n 及足夠多的蒙地卡羅步驟 Nmc， 我們能獲得可靠且精確的平衡態期望值。有趣的是，零溫投射法亦可應用於所謂 的量子絕熱計算 [26–28]，此類演算法的原始設計在於利用量子力學原理尋求最佳 解，也是當今商用量子計算機 D-Wave 系統試圖模擬的演算法 [29]。

量子絕熱計算的概念乃基於絕熱定理（adiabatic theorem ） [30]，指的是在足 夠緩慢的微擾影響下，該物理系統可隨時間演化持續保持在一能量本徵態，若該 狀態的能量值與其它能階間有一能隙（energy gap）。根據文獻 [26]，我們可將量 子絕熱計算原理於最佳化計算的應用如下表達：欲求一複雜的哈密頓算符 H_p 的 基態（問題的最佳解），我們可以從一已知（或可簡單取得）基態解的哈密頓算符 H(t = 0) = H0 為起點，藉緩慢調控哈密頓算符的參數，使哈密頓算符經過一長

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（quantum annealing）演算法）來探討複雜系統的基態相關問題 [31–33]，近年更因 為量子計算器之可行性及其原理的討論，以及建構量子電腦的計畫等風潮，而帶

（scaling behavior） [28,36]。

以式 (2.38) 的型式表達，我們所探討的橫場易辛模型（在考慮演算法中所需的 蒙地卡羅演算法被稱為「準絕熱量子蒙地卡羅法」（quasi-adiabatic quantum Monte Carlo algorithm ） [27]。一般來說，演化時間點 sk 可以從起點 s1 到終點 sn 以不

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0.2 0.3 0.4 0.5

s

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

g

L = 9 L = 12 L = 15 L = 18

s_c = 0.3788

圖 2.6: Binder 比值在準絕熱量子蒙地卡羅法計算中隨虛數時間 s 演化的結果。不同 系統尺度 L 的數據曲線交會於 sc ≈ 2.64⁻¹（虛線標出），此對應平衡態量子臨界點 Γc = 1.64 (J = 1)。計算上我們在 s∈ [0, 1] 區間以算符數目 n = 2, 560, 000 作虛數時 間演化，並重複 2,000,000 個蒙地卡羅步驟，以求平均。本圖儘截取模擬的部份 s 區 間。

同函數形式變化 [27]，這裡我們只考慮最簡單的線性形式，也就是，單位時間為

∆_s = s_n/n，則時間點 s_k= k∆_s。

在物理量期望值的計算上，雷同上節討論的平衡量子蒙地卡羅方法，某觀察量 O 在時間點 s_n時之期望值可表示為

⟨O⟩n= ⟨Ψ(s0)|P1,nOP_n,1|Ψ(s0)⟩

⟨Ψ(s0)|P1,nP_n,1|Ψ(s0)⟩ . (2.44) 或我們考慮一廣義的形式，包含「不對稱期望值」，其左右兩態向量為不對稱的，

⟨O⟩t= ⟨Ψ(s0)|P1,nPn,t+1OPt,1|Ψ(s0)⟩

⟨Ψ(s0)|P1,nP_n,1|Ψ(s0)⟩ , (2.45) 當 t = n 時，即相當於式 (2.44) 的對稱期望值。這裡討論的準絕熱量子蒙地卡羅 法具許多計算上的優勢；例如我們可在單一的模擬演化中計算過程中每一時間點 s_k的（不對稱）期望值⟨O⟩，若此觀察量 O 在所選擇的基底上為對角的；針對我 們的模型，我們可如此計算磁化量 m 相關的物理量。

圖 2.6 呈現準絕熱量子蒙地卡羅計算所得的 Binder 量；我們可看到對不同系

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-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(s-s

_c

)L

^1/ν

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

g

L = 9 L = 12 L = 15 L = 18 ν = 0.671

s_c = 0.3788

圖 2.7: 圖 2.6 的有限尺度標度化結果。

統尺寸 L 的數值曲線交會於某 s_c ≈ 0.3788 值，此處恰為 (1 − sc)/s_c ≈ 1.64，對 照式 (2.41) 與比值 Γ/J，可看出 s_c正對應我們前面章節所得到的平衡量子臨界點 Γ_c/J = 1.64。我們也可以對圖 2.6 的數據作有限尺度標度分析。如圖 2.7 所展示，

配合 g 的標度形式 (2.37) 與臨界關聯長度指數 ν = 0.671，我們得以使對應不同 L 的數值坐落於一曲線上。

在絕熱量子計算過程中，調降控制參數（統稱「退火」）的速率及基態－激發態 間的能隙決定系統是否能保持於瞬間基態 [30,37]。在量子臨界點能隙消失，此處 必造成絕熱量子計算過程的瓶頸。這個情形與 Thomas Kibble 與 Wojciech Zurek 提 出的 Kibble-Zurek（KZ）機制雷同，其討論早期宇宙與凝態系統淬煉通過一臨界 點時缺陷形成與退火速度之關係 [38–41]。KZ 機制亦被擴展至量子系統 [42–44]。

以量子易辛系統為例，隨著量子臨界點 λ_c ≡ (Γ/J)c的逼近，能隙 ∆ 呈冪次型的 消失：

∆∼ |λ − λc|^zν (2.46) 定義臨界動力學指數（dynamic exponent）z。因為在量子系統特徵時間與特徵能 量尺度互為倒數的關係，時間上的關聯長度或弛豫時間（relaxation time）隨至量 子臨界點的關係則為

τrel ∼ |λ − λc|^−zν. (2.47)

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在退火過程，當參數 λ 以速率 u 以線性方式隨時間 s 變化時

λ(s) = λ(0)− us , (2.48) 根據 KZ 理論，至臨界點之尚剩餘時間 τ =|λ − λc|/u 須至少與弛豫時間 τrel相當，

系統才得以保持於基態。由此我們定義一臨界速率 uc，稱為 Kibble-Zurek(KZ) 速 率，來界定退火的快（u < u_c）慢（u > u_c）。由

|λ − λc|

u_c ∼ τrel ∼ |λ − λc|^−zν (2.49) 我們得出

u_c∼ |λ − λc|^1+zν. (2.50) 或與關聯長度 ξ 的關係

u_c∼ ξ^−(z+1/ν). (2.51)

上述討論基於熱力學極限下 L → ∞。對於有限系統，由式 (2.51) 可得 KZ 速 率與系統長度 L 的關係：

u_c∼ L^−(z+1/ν). (2.52)

我們也可擴充式 (2.30) 的物理量有限尺度標度形式至非平橫情形 [27]

O(δ, L, u) = L^κ/νO((s^e − sc)L^1/ν, uL^z+1/ν) . (2.53) 其中 κ 為與 O 相關的臨界指數。若退火速率慢於臨界速率，或 u ∼ L^−α, α ≥ z + 1/ν，式 (2.53) 標度函數O 的第二個變數將消失或趨近一常數，此時標度形式^e 將如同平橫態情形 (2.30)；這正是圖 2.7的情況。

為檢驗退火速率標度分析，模擬上我們以不同速率將 s 從 0 緩調至臨界值 s_c， 觀察量的測量待至退火終點時進行。這裡速率取決於演化的算符數目 n 及系統的 晶格點數 N = L²，因為系統哈密頓所包含的算符項數目隨 N 成長，故

u = s_cN

n . (2.54)

在圖 2.8，圖 2.9及圖 2.10 我們分別呈現 Binder 比值、磁化量平方、及磁化量對 不同退火速率的情形，及其根據式 (2.53) 的標度作圖，因為在臨界點測量，故 式 (2.53) 中標度函數的第一個變數不考慮。

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10^-5 10^-4 10^-3 10^-2

u

2 3 4 5 6

χ

L = 9 L = 12 L = 15 L = 18

(a)

10^-2 10⁰ 10²

uL^z+1/ν

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

χL-2+2βm/ν

L = 12 L = 15 L = 18

z = 1 β_m= 0.3485 ν = 0.67155

(b)

圖 2.10: (a)：不同退火速率下的磁化量平方。(b)：標度圖。用來擬合的臨界指數為 ν = 0.67155 及 β_m= 0.3485。

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3 隨機級數展開量子蒙地卡羅方法

繼考慮零溫演算法，本章將討論處理有限溫度系統的量子蒙地卡羅方法，並 以逼近零溫的方式探討量子臨界點。一個被廣泛應用的有限溫度量子蒙地卡羅演 算法為隨機級數展開量子蒙地卡羅法（Stochastic Series Expansion quantum Monte Carlo method） [45,46]，簡稱 SSE。這個方法的基礎在於 1960 年代針對海森堡鐵 磁模型的 Handscomb 方法 [47,48]。主要由 Anders Sandvik 將之改良及發展至目前 通用的形式 [25,45,46,49]，包含本論文使用的適用易幸模型的方法 [20]。

以下我們首先先簡介 SSE 的方法及其在易幸模型的版本。接著展示模擬平衡 態及非平衡態的結果。

3.1 量子易辛模型的隨機級數展開法

從有限溫度 β = T⁻¹下量子力學期望值出發：

⟨O⟩ = 1

ZTr^{O e^−βH} , (3.1) 這裡歸一化常數

Z = Tr⁽e^−βH) , (3.2) 稱為配分函數（partition function）。在一基底|α⟩ 表象，配分函數可被展開表示為

Z =^∑

α

⟨α|^∑∞

n=0

βⁿ

n!(−H)ⁿ|α⟩ . (3.3) 再利用基底{|α⟩} 的完備性，上式可被插入 n − 1 個單位算符

I =^∑

α

|α⟩⟨α| , (3.4)

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局域更新

檢驗 S_M 內每個算符。如零溫投射法，局域更新步驟裡只改變 S_M 內的對角算 符，但非對角算符作用後的自旋態將翻轉。具體步驟如下：逐一檢驗 S_M 內每個 算符，

(1) 若出現一橫場項算符（非對角算符）H_Γ,i，則翻轉作用後的自旋態。

(2) 若出現一對角算符 H_J,(i,j)或 H_C,i，則以下列機率移除它：

P = min

( M− n + 1 β [ΓN + (2J )N_b], 1

)

, (3.11)

這裡我們一樣以 N 代表自旋數目，以 N_b 代表鍵結數目。無論是否接受了這 個移除動作，我們繼續檢驗 SM 表中的下一個算符。

(3) 若出現一單位算符 I，嘗試插入一對角算符。

(i) 以以下機率置入一常數算符 H_C,i：

P (C) = ΓN

ΓN + (2J )N_b . (3.12) 或以以下機率置入一鍵結算符 H_J,(i,j)：

P (J ) = 1− P (C) . (3.13)

(ii) 選擇欲加入的算符種類後，以機率

P = min

(β [ΓN + (2J )Nb] M− n , 1

)

, (3.14)

考慮接受加入這個算符，並隨機選擇置入的晶格位置；若是鍵結算符

H_J,(i,j) 被選擇，則 (i, j) 兩相鄰自旋必須呈反平行狀態，否則拒絕加

入。

上述步驟必須重複進行至有一對角算符被置入為止。

叢集更新

與零溫投射法的叢集更新法則雷同，唯一的差別在於模擬空間算符傳遞方向兩 端的邊界條件：零溫投射法的算符傳遞方向兩端為「開放邊界」條件，因為一端

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性響應函數（linear response function）

χ = ∂⟨M⟩

∂h

 h=0

. (3.15)

在文檔中 三角晶格易辛反鐵磁之量子相變 - 政大學術集成 (頁 23-34)