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2.2.2 叢集更新法則
上小節敘述的局域組態更新法則並沒有涉及到橫場項在 S2n 算符序列中的更 改，這部分的更新將藉由非局域性的所謂叢集更新法來進行。所謂叢集（cluster）
是指在 D + 1 維度的模擬空間中一群自旋自由度及一群算符的集合。我們以下列 方式建構出一叢集：從一算符出發，延晶格空間方向及算符傳遞方向納入其它自 旋及算符至叢集內，過程中三重要法則決定叢集的成長與終止：
• 叢集終止於單位置算符，即橫場算符 HΓ,i或常數算符 HC,i。
• 叢集終止於算符傳遞方向兩端邊界的自旋狀態，|αℓ⟩ 及 |αr⟩。
• 鍵結算符 HJ,(i,j)四端連結的自旋將被納入同一叢集內。
圖 2.2示範 (1 + 1) 維度模擬空間上叢集建構。當叢集建構完成後，我們以 1/2 機 率翻轉其內部所有自旋的狀態及算符的種類；此翻轉步驟包含：
• 上自旋態變下自旋態，下自旋態變上自旋態。
• 橫場算符 HΓ,i變常數算符 HC,i，而常數算符 HC,i 變橫場算符 HΓ,i。 如 此 橫 場 算 符 HΓ,i 也 在 算 符 序 列 中 更 新， 這 非 對 角 算 符 的 更 新 並 不 在 上 節
（2.2.1 節）的局域更新步驟被考慮。這裡我們提醒：因為非對角橫場算符 HΓ,i與 對角常數算符 HC,i 具同值的非零矩陣元（見式 (2.19) 及式 (2.20)），這個設計方便 我們這裡不受限制地更新它們（並連同連接算符的自旋狀態）。
2.3 零溫標度分析
利用零溫投射法我們計算橫場下二維（2D）三角反鐵磁一些磁化量相關的物 理量，這裡所指的磁化量定義於式 (1.2)，我們求其平方值 m2；在橫場強度不大 於臨界值 Γc時，系統基態呈長程磁序，故 m2 > 0；當橫場強度漸增強，磁化量 平方值將漸變小，並消失於臨界點 Γc與 Γ > Γc的無序順磁態。這個在絕對零溫 由橫場引發的相態變化即為一量子相變。不同於磁化量，有些物理量在臨界點呈 現無窮發散的情形，例如磁化率（magnetic susceptibility）χ：
Γ→Γlimc
χ→ ∞ . (2.23)
觀察量於臨界點消失或發散的情形與至臨界點的距離呈現冪次方關係，冪次法則 的指數稱為臨界指數（critical exponents）。定義至量子臨界點的距離 δ 為
δ = Γ− Γc. (2.24)
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我們可將上述冪次法則表示為
O ∼ |δ|±κ, (2.25)
定義了對應的臨界指數 κ，而 + 或− 號描述消失或發散於臨界點的狀況。又關聯 長度 ξ 發散於臨界點，
ξ ∼ |δ|−ν, (2.26)
結合式 (2.25)，我們可寫
O ∼ ξ±κ/ν. (2.27)
事實上，多體系統相變的發生及觀察量於臨界點發生奇異性（singularity）的行 為均局限在熱力學極限下，也就是當系統的粒子數無窮大時 N =∞。在計算模擬 上，我們只能考慮有限尺寸的系統，此時關聯長度 ξ 最大值將受制於系統長度 L。
以在 ξ → ∞ 極限下呈無窮發散的物理量 O → ∞ 為例，在有限尺寸下，當 ξ → L 時，O 達其有限的最大值 Omax，且 Omax與系統長度 L（N = L2）呈以下關係：
Omax(L)∼ Lκ/ν. (2.28) 最大 Omax對應的橫場值 Γ∗L，稱為贗臨界點（pseudocritical point），其位置偏離熱 力學極限下的真實臨界點位置，且與系統尺寸 L 呈類似 (2.26) 的關係：
|δL| ∼ L−1/ν. (2.29) 根據標度化理論 [13]，我們可將式 (2.28) 與式 (2.29) 更廣義地寫成以下標度形式：
O(δ, L) = L±κ/νO(δLe 1/ν) , (2.30) 這裡我們亦納入於真實臨界點消失的物理量（對應指數 +κ/ν）；上式O 稱為標度e 函數（scaling function）。以磁化量平方為例，其標度形式可寫為
m2(δ, L) = L−2βm/νfm(δL1/ν) , (2.31) βm 為磁化量的臨界指數。
這裡我們亦考慮磁化率 χ，將其視為磁化量漲落的量度，定義為
χ = N
(⟨m2⟩ − ⟨|m|⟩2) . (2.32)
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量（κ = 0）所謂的 Binder 比值（Binder ratio）或 Binder 累積量（Binder cumulant）[24]，其為磁化量（序參數）的二階矩（second-order moment）與四階矩（fourth-order moment）之組合；對具 d 個分量的序參數而言，廣義的 Binder 累積量可定 義為 [25]：
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102 104 218
n
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
g
L = 15 L = 18 L = 21 L = 24
圖 2.4: 不同系統尺度的 Binder 比值與投射長度 n 的關係。可觀察到，當 n≥ 217，最 大系統 L = 24 的 Binder 比值漸收斂至一定值。
有限尺度標度圖，而圖 2.5b 為磁化率。使用的投射長度均為 n = 218利用 3DXY 普適類的臨界指數 ν = 0.67155 與 βm = 0.3485 [14]，我們可以得到 m2 不錯的擬 合結果，χ 的擬合狀況則較差，可能是所考慮的系統尺度不夠大。