衛星測高資料與波高時空分布特性

第三章衛星測高資料與波高時空分布特性

3-1 波高機率分布函數

往昔研究認為要描述海面上的波浪現象，Rayleigh 分布是最能描述此情形之分布，但是實際情況上，海面上的波浪是非常複雜的，因此本文就前人研究台灣各地區情況之結果，採用 Weibull、Gamma、

Log-Normal 與 Normal 四種分布做為本文選定之機率密度分布函數。

3-1-1 機率分布密度函數

10 函數 (incomplete Gamma function)，二者分別定義如下。



^ ^ ^

其中 σ 為標準偏差(standard deviation)，μ 為帄均值(mean value)

11 常態分布主要有兩個參數，σ 為標準偏差(standard deviation)，μ 為帄均值(mean value)。且由式(3-10)及式(3-11)推算標準偏差及帄均值：

3-1-2 Ksdensity 法

Kernel Smoothing Method 是一種不需要推求參數可將資料本身推估出一連續性密度函數的方法，即為一種無因數推定法。其理論可參考 Bowman (1997)，以下對其做一簡單介紹：

本文將資料代入 Matlab 軟體中之 Ksdensity 指令推估出實測值之機率密度，而在 Matlab 軟體中 Kernel function 是採用 Normal 型式，

公式如下：

圖 3-2 不同資料區間寬度 h 之機率函數圖

3-1-3 評估指標

本文將衛星測高資料經過所選四種機率密度函數套配後，由所推估出來的參數計算出一代表之示性波高，再將此波高值與原始資料之前三分之一大之所有波高值帄均後做比較，故其結果只有一個值，因此選用絕對誤差 AE(absolute error)做為評估指標，另外，Ksdensity 法套配之機率密度函數對其餘四種機率密度函數之吻合程度，則可以相關係數 R 表示之。兩種指標之差異在於，若是從工程角度上則較為關心較大波高值，這時便可採用絕對誤差 AE(absolute error)做為推定最適波高分布之依據。若是想要關心整體所有波高值的分布情形，就需要以殘餘確定係數R²來做為依據。

1.絕對誤差 AE(absolute error)：

絕對誤差為常用之統計學上的技巧，其定義如下：

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

default h wide h narrow h

2.殘餘確定係數R² (residual of coefficient of determination)：

當兩個變數之關係強度可以用相關係數 R 來表示，其定義如下:

此值若取帄方，在統計上代表另外之確定係數(Coefficient of Determination, ^R²)或稱相關係數帄方，其表示式為 (goodness-of-fit)越好。Lockhart and Spinelli (1990)及 McLaren and Lockhart (1987)也探討此指標檢定其它分布之適配度。

本文以各種機率函數配套 Ksdensity 計算樣本機率密度適合度時，因為所用之樣本個數相同，所以用R² 1 R ²，殘餘確定係數 (residual of coefficient of determination)，即可代表 n(1-R²)大小順序，而此值會界於 0 與 1 之間，並且與上述相對絕對誤差一樣以小值代表配套適合度較佳。

3-2 空間最適波高分布之推定

由衛星測高計所能取得的資料範圍非常廣泛，然而在不同地理位置之波高分布亦有所不同，在不考慮時間的影響下，本文依據前章所述之原則，將全台灣依照海底地形及近遠岸條件做分區，探討各地區關於空間上之波高分布。

本文蒐集 2002 年至 2008 年台灣周圍外海之衛星測高資料，依照各分區範圍分類，將類屬該地區之所有衛星測高資料投入上一節所述之四種機率密度函數做套配，並與原始資料之前三分之一大的資料帄均做絕對誤差之評估，選擇絕對誤差最低之分布為最適該地區之機率密度分布。各地區波高分布圖如圖 3-3 至圖 3-16 所示，圖中圓點為衛星測高資料之分布情形，實線則為 Weibull 分布，虛線為 Gamma 分布，短虛線為 Log-Normal 分布，長虛線則是 Normal 分布。而評估最示分布結果如表 3-1，分區中佔台灣東部多數資料之宜蘭地區(S1) 及花蓮台東地區(S2)為同樣情況，近岸為 Gamma 分布，而遠岸則為 Weibull 分布。在台東屏東地區(S3)則是不管近遠岸皆為 Normal 分布，高雄屏東地區(S4)皆為 Gamma 分布。台南地區(S5)在近岸為 Weibull 分布，遠岸為 Gamma 分布，臺中苗栗地區(S6)則又是不管近遠岸皆為 Weibull 分布。臺北地區(S7)近岸為 Gamma 分布，遠岸為 Normal 分布。

而因為本節在資料的選取上是不考慮時間，只考慮空間上的差異，因此若是僅採用前三分之一大的資料可能會有選取到颱風發生較多之月份資料，因此若是想要了解所有波高之符合情況，即使是用殘餘確定係數做為判斷，採各分布計算之殘餘確定係數最小值推定該分布為最能描述該地區所有波高。如圖 3-4 與圖 3-6 可明顯看出，S1 地區與 S2 地區之遠岸整體波高在 Log-Normal 分布上與實際資料最為貼近，因此該分布之R²最小，但是只看前三分之一大的資料時，其計算帄均後的絕對誤差卻是 Weibull 分布為最好。因此，在不同情況之下所推定出的分布結果可能有所不同。上述結果與絕對誤差為依據之結果亦可以由表 3-1 發現，S1 地區近岸與 S2 地區近岸皆為 Gamma 分布，而此兩者之遠岸卻是 Log-Normal 分布最好，而非 Weibull 分布。

S3 地區近岸為 Gamma 分布，此結果雖然與使用絕對誤差判斷之 Normal 分布有所不同，但在使用絕對誤差做判斷依據時 Gamma 分布是僅次於 Normal 分布而已，而遠岸是 Log-Normal 分布，其可能原因為 S3 地區之涵蓋範圍較大，且該地區常為颱風經過之路徑等原因。

S4 地區則不管近遠岸都是 Gamma 分布，與使用絕對誤差判定之結果相同。S5 地區近岸和遠岸都同為 Gamma 分布，但是近岸是與另一種推定結果不同。S6 地區則是不管近岸或遠岸都與上一種推定結果不同，但在近岸方面雖是 Log-Normal 分布，但是是以 Weibull 分布次之，

遠岸則亦為 Log-Normal 分布最好。S7 地區近岸結果一致，皆為 Gamma 分布，遠岸地區則有所不同，整體波高以 Log-Normal 分布描述為最好。

由分析結果顯示，臺北地區(S7)在近岸方面與賴(2007)在臺北港之研究結果為 Gamma 分布相同，不管是利用絕對誤差或是殘餘確定係數判定皆為如此。花蓮港在內之近岸區域則與江(2006)結果一致，

亦為 Gamma 分布。綜合所有結果發現，台灣周圍外海之波浪是無法使用同一種分布描述之，惟有配合空間上的不同使用較恰當的分布，

才能在工程應用上推估合理的波高值。

表 3-1 不同空間波高四種機率密度函數套配之結果

分區 Weibull Gamma Log-Normal Normal

AE ΔR² AE ΔR² AE ΔR² AE ΔR²

S1 近岸 0.038 0.039 0.003 0.026 1.410 0.052 0.082 0.142

遠岸 0.013 0.112 0.088 0.050 1.984 0.016 0.051 0.246

S2 近岸 0.007 0.029 0.000 0.028 2.311 0.055 0.058 0.115

遠岸 0.021 0.065 0.028 0.014 1.562 0.007 0.030 0.140

S3 近岸 0.042 0.048 0.010 0.010 2.470 0.026 0.001 0.147

遠岸 0.030 0.076 0.034 0.022 1.833 0.011 0.013 0.178

S4 近岸 0.090 0.075 0.007 0.025 1.469 0.054 0.081 0.168

遠岸 0.013 0.016 0.011 0.003 1.599 0.034 0.061 0.096

S5 近岸 0.004 0.042 0.035 0.011 1.045 0.024 0.027 0.185

遠岸 0.032 0.034 0.007 0.018 1.165 0.035 0.077 0.133

S6 近岸 0.033 0.032 0.053 0.020 5.175 0.039 0.068 0.236

遠岸 0.025 0.073 0.080 0.035 4.400 0.015 0.044 0.285

f( H )

data Weibull Gamma Log-Normal Normal

表 3-2 利用最適波高分布的推定參數分類各地區夏冬季節的月份

地區距岸遠近機率密度函數冬季月份夏季月份

近岸 Normal 10~3 4~9

遠岸 Weibull 9~3 4~8

近岸 Normal 10~3 4~9

遠岸 Gamma 10~4 5~9

近岸 Gamma 10~4 5~9

遠岸 Gamma 10~4 5~9

近岸 Gamma 12~2 3~11

遠岸 Weibull 10~2 3~9

近岸 Gamma 11~3,6,8 3~5,7,9~10

遠岸 Weibull 10~2 3~9

近岸 Normal 10~3 4~9

遠岸 Weibull 9~3 4~8

近岸 Gamma 10~2 3~9

遠岸 Normal 9~3 4~8

在文檔中以衛星測高資料探討台灣海域之外海與近岸波高之統計特性 (頁 19-37)

第三章 衛星測高資料與波高時空分布特性



3-1-2 Ksdensity 法

H(m)

f( H )

H(m)

f( H )

H(m)

f( H )

H(m)

f( H )

H(m)

f( H )

H(m)

f( H )

H(m)

f( H )

H(m)

f( H )

H(m)

f( H )

H(m)

f( H )

H(m)

f( H )

H(m)

f( H )

H(m)

f( H )

H(m)

f( H )

第三章衛星測高資料與波高時空分布特性