複合式拋物面收光器(Compound Parabolic Concentrator)

2.1 不變量(Etendue)

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圖 2-1 真空中光線傳播之示意圖[6]

同樣地，當光線繼續傳播至球面A 時，如圖₂ 2-1(b) [6]所示，我們也可以利 用上述的關係式，將球形光源的表面積表示成A_s  A₁sin²₁ A₂sin²₂，因此可 發現到當光線傳播距離越遠時，雖然光線所利用到的角度空間越小，但利用的面 積空間卻越來越大，故A_ksin²_k對於光線在真空中的傳播來說為一不變量，若考 慮在不同介質中傳播時，如圖 2-2[6]所示，則可寫成A_s  A n_{2 1}²sin²₂ A n_{2 2}²sin²₂^*，

圖 2-2 光線於介質間(折射係數 n)的傳播[6]

此時不變量為A n_{k k}²sin²_k，所以我們定義三維的不變量為:

2

3 _D cos

dU_ n dA d (2.1)

(a) (b)

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圖 2-3 三維不變量之示意圖[6]

如圖 2-3 [6]所示，其中dAcos為光線傳播的有效面積，d則為光線傳播的單 位立體角，而二維的不變量也可寫成式子(2.2):

2 _D cos

dU _ nda  d (2.2)

如圖 2-4 [6]所示， 其中dacos為單位有效長度， d則為光線傳播的單位張角。

圖 2-4 二維不變量之示意圖[6]

假使我們考慮一個無損耗的光學系統，也就是光線在傳播的過程中所有的能 量皆未損失，每一處傳播的接收面和出射面都符合黑體輻射的定義，此時，光學 系統為了滿足熱力學第二定律，不變量必守恆。其證明如下:

由於輝度的定義如式子(2.3)，

cos L d

dA d

 

 (2.3)

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14

15

2.2 Hermite interpolation [8]

在數值分析的方法中， Hermite interpolation 是一個內插資料點的多項式方 Hermite interpolation 多項式。

如式子(2.9)所示，考慮一組資料點( ,x y_{0 0}), ( ,x y_{1 1}),..., ( ,x y ，以及該組資料_{n n})

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2.3 同步多曲面(Simultaneous Multiple Surface)

同步多曲面法或被稱為 Minano-Benitez 設計法，是一種非成像曲面的光學設

轉變為目標波前，此介面的解即為 Cartesian oval。

以點光源為例，如圖 2-7 [6]所示，式子(2.14)表示如下，我們可以將 Cartesian oval 上的每點都用一位置向量 P 來表示，

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圖 2-7 點對點的 Cartesian oval[6]

P E vt (2.14)

其中 E 為光源的位置向量， v 為從點 E 到點 P 的單位向量，如圖 2-7 [6]所示，可 將 v 寫成v(cos ,sin )  ，而 t 則為兩者間的距離，接著寫下從光源 E 出發到目標 面 R 所走的光路以及相對應的光程S，

( ) ( )

dPR  RP  RP (2.15)

( ) ( )

S t n E vt R  E vt R (2.16)

其中d_PR為 Cartesian oval 到目標面 R 的距離，n 為介質中的折射係數，此時光程S 的表示式(2.16)中只剩下一未知數t( ) ，其中為自變數，故解出式子(2.16)中的 t 之後，即可得此問題中 Cartesian oval 的位置向量 P ，此一方法也可應用在球面 波對應到帄面波，如圖 2-8(a) [6]所示，甚至更一般性的光源波前w 到目標波前₁ w₂ 的計算上，如圖 2-8(b) [6]所示。

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圖 2-8 (a)點對波前的 Cartesian oval[6] (b)波前間的 Cartesian oval[6]

但不同的地方在於 Cartesian oval 所算出來的解只有對單一光源來說是完美 的，因為 Cartesian oval 同一時間只考慮一個光源的波前變化，可是在很多實作 上，如 LED 通常會延展成不均勻的線光源甚至是面光源而非完美的單一光源，所 以若用單一光源的解來逼近線光源或面光源真實解的時候，往往會造成光學效率 降低，所以一般在使用 Cartesian oval 時，都會再加上一個疊代設計的動作，才 能優化單一光源對應到延展性光源的解，而與之相左的，同步多曲面法並不需要 利用優化迴圈，這方法本身就是利用光源的延展做為輸入的參數，來建立所需的 光學曲面去滿足光源，所以比較能接近光學效率的極限!

而 Cartesian oval 的計算方式，同樣也被運用在同步多曲面法上，只是同步 多曲面法的設計流程和 Cartesian oval 相比，最大的不同在於同步多曲面法同時 考慮了兩個(含)以上的波前耦合，以一軸對稱的 RR 光學系統來看，若考慮光線 欲從兩光源E 和₁ E 分別傳遞到接收器₂ R 和₁ R 點上，如圖₂ 2-9 [6]所示，

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圖 2-9 點對點的 SMS 示意圖[6]

此時需先假設一初始點P 和該點的單位法向量₀ n ，便可將₀ E 到₂ R 的光程表示成₁ 式子(2.17)，

2 0 0 1 1 1

[ , ] [ , ] [ , ]

S  E P n P P  P R (2.17)

其中的中括號表示兩點位置向量之間的距離，而我們可以發現此式子中要求的未 知數P 和求₁ Cartesian oval 的解一樣，只要把式子中的未知向量P 整理成只剩下₁ 一未知數 t 即可，如式子(2.18)所示，

2 0 0 1 0 1

[ , ] ( ) ( )

S E P  nt P  vt R  P  vt R (2.18)

其中 t 為P 到₀ P 的距離，₁ n 為介質中的折射係數， v 則為P 到₀ P 的單位向量，故₁ 可解出未知數 t 來求得P 的位置向量及該點的單位法向量₁ n ，而且因為考慮到軸₁ 對稱的因素，E 到₁ R 的光程同樣也可寫成式子(2.19)， ₂

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2 1 1 2 2 1

[ , ] [ , ] [ , ]

S  R P n P P  P E (2.19)

如此便解出P ，同樣的流程可陸續求出₂ P 、₃ P 、₄ P 一直到₅ P 點，如圖_n 2-10 [6]

所示，

圖 2-10 點對點的 SMS 計算流程[6]

接著，我們利用軸對稱系統的特性，把P 對光軸作一鏡射點₁ Q ，此時₁ Q 也會滿₁ 足 Cartesian oval 的解，然後利用 Hermite interpolation 在Q 和₁ P 間內插入一多項₁

式，此多項式即表示我們在Q 和₁ P 間所假設的面，同時在此面上取任意₁ K點內 插點，同樣地再對內插的K點做一次次 Cartesian oval 的計算，反覆計算便可陸 續得到P 到₀ P 、₂ P 到₁ P 之間的曲面，如圖₃ 2-11(a) [6]到圖 2-11(b) [6]所示，

圖 2-11 SMS 曲面編織流程[6]

(a) (b)

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最後利用軸對稱特性將計算出來的點都鏡射到光軸的另一側，便可以得到一完整 的 RR 光學系統，此計算流程可應用在各式各樣波前之間的耦合，此外還能配合 Etendue 守恆的設計方法，讓系統效率逼近熱力學的理論值!

在同步多曲面法的計算流程中，我們可以發現到在兩對波前之間耦合的條件 下，不管是對於每個點P 、₁ P 、₂ P₃…P ，或是對於每個_n P 到_n P_n2的曲面來說，

都必頇要同時符合兩次 Cartesian oval 的計算，也就是說利用這樣的計算方法，

使我們可以在編織N個曲面的同時，也滿足了N對波前之間耦合的條件!

2.4 複合式拋物面收光器(Compound Parabolic Concentrator)

複合式拋物面收光器的設計原理是利用邊緣光線的追跡，來保證只有在特定 角度內的光線才會被吸收，假設一二維收光器的長度為[ , ]A B ，如圖2-12(a) [6]

所示，若想要收到角度內的光線，此時需先設一反射斜面[ ,B D 和₁] [ ,A C ，₁] 使得當角度的光線打到D 點或₁  角度的光線C 點後，會分別反射到 A 點及₁

B 點上，

圖 2-12 CPC 反射曲面建置流程[6]

接著可用相同的方式繼續找到下一段[C C_n, _n1]和[D D_n, _n1]，如圖 2-12(b) [6]所 示，直到C_n1碰到角的帄行光線或D_n1碰到角的帄行光線時就停止建置曲

(a) (b)

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面，如圖 2-13 [6]所示，這種曲面的建制方式其實跟拋物線的原理有異曲同工之 妙，也就是說曲面上的任何一點都是以 A、 B 點為焦點的線段，所以才被稱為是 拋物面收光器!

圖 2-13 CPC 曲面建置完成圖[6]

此外，我們可以發現到這樣建置的二維曲面，主要有三大特性，首先是可以有效 收到角度內的光線，當角度超過時則不會影響收光器，如圖 2-14 [6]所示，

圖 2-14 CPC 入光條件示意圖[6]

其次，經由複合式拋物面收光器的收光角度和幾何結構關係式子(2.20)，如圖 2-15 [6]所示，可發現當設計的收光角度越小時，所付出的空間代價h就會越大，

圖 2-15 CPC 幾何結構示意圖[6] 圖 2-16 CPC 波前行進示意圖[6]

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