X
x=0
P {X = x} =
+∞
X
x=0
e−λλx
x! = e−λ· eλ = 1.
故知 X 為離散型, 其密度函數顯然為
f : R → [0, 1] : f (x) =
e−λλx
x!, 若 x ∈ Z+,
0, 否則.
註: 利用 《微積分》 中 ex =
+∞
X
n=1
xn
n!, ∀x ∈ R, 我們可證得
+∞
X
x=0
f (x) =
+∞
X
x=0
e−λλx x! = 1.
例3. 設 X ∼ P (8), 試求 fX(x), x ∈ {0, 1, · · · , 18}, 之值. 並繪出fX 之圖形.
解 利用計算器或電腦數學(或統計) 軟體等可求得2.4 常用離散型隨機變數 58
x fX(x) x fX(x) 0 0.0003 10 0.0993 1 0.0027 11 0.0722 2 0.0107 12 0.0481 3 0.0286 13 0.0296 4 0.0573 14 0.0169 5 0.0916 15 0.0090 6 0.1221 16 0.0045 7 0.1396 17 0.0021 8 0.1396 18 0.0009 9 0.1241
其圖形如下:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718 0.00
0.05 0.10 0.15 0.20
. ......... ......................... ..
.. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . ..... .. .. . .. .. .
x f (x)
圖2–10 Poisson 分配 P (8) 之密度函數
例4. 二次大戰期間, 英國人在德機一輪轟炸後, 統計倫敦市各區被炸之彈數, 在計算中彈 x 個 之區間數時,得到與 Poisson 分配極其相近之結果.我們利用電腦之亂數模擬當年之轟炸, 在一 塊20 × 20 之正方形土地上, 投入 N = 3000個炸彈, 為總區數為 M = 400.
2.4 常用離散型隨機變數 59
1 1 0.0025 0.00415
2 7 0.0175 0.01556
3 17 0.0425 0.03889
4 30 0.075 0.07292
5 43 0.1075 0.1094
6 52 0.13 0.1367
7 54 0.135 0.1465
8 64 0.16 0.1373
9 42 0.105 0.1144
10 34 0.085 0.08583
11 22 0.055 0.05852
12 16 0.04 0.03658
13 9 0.0225 0.0211
14 7 0.0175 0.0113
15 2 0.005 0.00565
16 0 0 0.00265
(三) 超幾何分配(hypergeometric distribution)
有一袋子, 內置白球 m 個, 黑球 n 個, 以“不放回”方式隨機抽取 r 個, (r ≤ m + n), 取得
2.4 常用離散型隨機變數 60 (1) X 為一隨機變數, (此因 F = P(Ω));
(2) X 為離散型, 因若令
A = X(Ω) = {j ∈ Z+| max{0, r − n} ≤ j ≤ min{m, r}}, 則P {X ∈ A} = P (Ω) = 1.
(3) X 之密度函數為
f : R → [0, 1] : f (x) = P {X = x} =
m x
n r − x
m + n r
, 若x ∈ A,
0, 若x ∈ R \ A,
此種分配稱為 超幾何分配 或H(m, n, r) 分配.
註: 由附錄一 A.4 定理, 我們知道
∀m, n ∈ Z+, ∀r ∈ {0, 1, · · · , m + n}, m + n r
=
r
X
j=0
m j
n r − j
.
是以
X
x∈A
f (x) =
r
X
x=0
f (x) = 1
m+n r
r
X
x=0
m x
n r − x
= 1.,[⋆]
[⋆] 若 k > α 或 k < 0, 則α k
= 0 .
例5. 設 X ∼ H(18, 10, 15),試求 fX(x), x ∈ {5, 6, · · · , 15}, 之值. 並繪出fX 之圖形.
解 計算超幾何分配之密度函數之值相當麻煩, 我們利用數學 (或統計) 軟體可求得 fX 之諸 值如下:x fX(x) x fX(x) 5 0.0000 11 0.1785 6 0.0050 12 0.0595 7 0.0382 13 0.0103 8 0.1402 14 0.0008 9 0.2727 15 0.0000 10 0.2945
其圖形如下:
2.4 常用離散型隨機變數 61
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415 0.00
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
- x
6
f (x)
圖2–12 超幾何分配 H(18, 10, 15)之密度函數
(四) 負二項分配(negative binomial distribution)
有一袋子, 內置白球黑球各若干 (未必相等), 以“放回”方式隨機抽取袋中之球, 取得白球曰 成功 (S), 取得黑球曰失敗(F ), 而每次白球被抽到之機率為 p,黑球之機率為q = 1 − p. 此一 試驗在抽得白球數為 r 個時停止. 則
• 樣本空間為Ω = {s | s 為取自 {S, F } 之一有限序列,內有 r 個S, 最後為S};
• σ 域為F = P(Ω), (因為 Ω 為可數);
• 機率測度為P : F → [0, 1] : P {s} = prqx, (內 x 為試驗結束時, 失敗之次數.) 令 X : Ω → R : X(s) = (試驗結束時) s中失敗之次數.則
(1) X 為一隨機變數, (此因 F = P(Ω));
(2) X 為離散型, 因X 之值域為 X(Ω) = Z+= {0, 1, 2, · · · }, 乃可數集合.
(3) X 之密度函數為
f : R → [0, 1] : f (x) = P {X = x} =
(∗, 若x ∈ Z+, 0, 若x ∈ R \ Z+, 內
∗ =r + x − 1 x
pr−1qxp = prr + x − 1 x
qx.
(理由: 最後為S,固定,其餘r + x − 1個位子中(r − 1) 個S 以及 x個F ,共有 r+x−1x 種排列法.)
此種分配稱為負二項分配或NB(r, p) 分配.
2.4 常用離散型隨機變數 62 註: 利用微積分之冪級數之理論,我們可證明: ∀α ∈ R,
(1 + x)α =
+∞
X
k=0
α k
xk, ∀x ∈ (−1, 1), (2.1)
以−q 代x, 以−r 代 α, 則因
−r k
= (−r)(−r − 1) · · · (−r − k + 1) k!
= (−1)k(r + k − 1)(r + k − 2) · · · (r + 1)r k!
= (−1)kr + k − 1 k
, 故(1) 式可寫
p−r = (1 − q)−r =
+∞
X
k=0
r + k − 1 k
qk, 移項之, 得
1 =
+∞
X
k=0
prr + k − 1 k
qk,
此級數之各項恰為負二項分配之密度函數之值, 此乃負二項分配之由來.
例6. 設 X ∼ NB(3, 0.32),試求 fX(x), x ∈ {0, 1, · · · , 17},之值.並繪出 fX 之圖形.
解 計算負二項分配之密度函數之值相當麻煩,我們利用數學 (或統計)軟體可 求得 fX 之諸 值如下:x fX(x) x fX(x) 0 0.0328 9 0.1241 1 0.0668 10 0.0993 2 0.0909 11 0.0722 3 0.1030 12 0.0481 4 0.1051 13 0.0296 5 0.1000 14 0.0169 6 0.0907 15 0.0090 7 0.0793 16 0.0045 8 0.0674 17 0.0021 其圖形如下:
2.5 常用連續型隨機變數 63
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617 0.00
0.05 0.10
- x
6
f (x)
圖 2–13 負二項分配 NB(3, 0.32) 之密度函數
(五) 幾何分配(geometric distribution)
r = 1 之負二項分配又稱為幾何分配或 Pascal 分配,即 X 之密度函數為
f : R → [0, 1] : f (x) = P {X = x} =
(pqx, 若x ∈ Z+, 0, 若x ∈ R \ Z+,
§ 2.5 常用連續型隨機變數
(一) 常態分配(normal distribution or Laplace-Gauss distribution) 在上一章曾提及, 常態分配是 de Moivre 所創, 其目的乃為解決二項分配中 n
xpxqn−x 之
近似值, 在機率論及統計學中, 此一分配乃“所有”分配中最為重要者. 若函數 f : R → R+ : f (x) = 1
σ√
2πexp
− 1
2σ2(x − µ)2
, (∗)
(其中 µ ∈ R, σ > 0), 為隨機變數 X 之一密度函數, 則稱 X 具常態分配, 簡寫為 X ∼ N(µ, σ2),而µ, σ2 稱為其參數或母數(parameters). 若µ = 0, σ = 1, 則稱X 具標準常態分 配(standard normal distribution).
做為一離散型密度函數必須滿足以下二條件 (1) f ≥ 0, (2) P
x∈Af (x) = 1其中集合 A = {x ∈ R | f (x) > 0}; 做為一連續型密度函數則須滿足 (1) f ≥ 0, (2) R
Rf = 1. 上面 (∗) 式所界定之函數顯然滿足 (1); 至於 (2), 先利用 t = x−µσ 變數代換, 使成為
I = Z +∞
−∞
f (x)dx
= 1
σ√ 2π
Z +∞
−∞
exp
− 1
2σ2(x − µ)2 dx
= 1
√2π Z +∞
−∞
exp
−t2 2
dt = 2
√2π Z +∞
0
exp
−t2 2
dt.
2.5 常用連續型隨機變數 64 是以
I2 = 2 π
Z +∞
0
exp
−x2 2
dxZ +∞
0
exp
−y2 2
dy
= 2 π
Z +∞
0
Z +∞
0
exp
−x2 + y2 2
dx
dy.
利用二重積分之極坐標變換, 即令 x = r cos θ, y = r sin θ, 則 I2 = 2
π Z π/2
0
Z +∞
0
exp
−r2 2
r dr dθ = 2 π
Z π/2 0
dθ = 1.
是以 I = 1.
f 之圖形對稱於 x = µ, 於點 µ有最大值 (σ√2π)−1, 而於點µ + σ 及點 µ − σ 有反曲點, σ 越大, f 越扁平, 表示資料越分散, 參閱圖2–14.
−2 −1 0 1 2 3 4 5 6
-x 0.2
0.4 0.6 0.8
6
f (x)
N(2, 0.52)
N(2, 12)
圖2–14 常態分配之密度函數
.................................................................................
...........................
................................................................................................................................................
..................
......
............
..................
.....................
(二) Gamma 分配 若函數
f : R → R+ : f (x) =
( 1
Γ(α)βαxα−1e−x/β, 若x > 0,
0, 若x ≤ 0,
(其中 α > 0, β > 0), 為隨機變數 X 之一密度函數, 則稱 X具 Gamma 分配 或 X ∼ G(α, β),而 α, β 稱為此分配之參數或母數.
註:
(1) 在理論分析中, 我們已知 Gamma函數為 Γ(α) =
Z +∞
0
yα−1e−ydy, ∀α > 0, 以及
2.5 常用連續型隨機變數 65 1◦ ∀α > 1, Γ(α) = (α − 1)Γ(α − 1) ;
2◦ ∀α ∈ N, Γ(α) = (α − 1)! ; 3◦ Γ(1
2) =√
π, Γ(3 2) =
√π 2 .
(2) 做為一連續型密度函數須滿足 (i) f ≥ 0 (顯然成立), (ii) Z
R
f = 1. 為此 , 令 y = x β 變數代換之, 則 dy = dx
β , Z +∞
−∞
f (x) dx = 1 Γ(α)βα
Z +∞
0
xα−1e−x/βdx
= 1
Γ(α) Z +∞
0
yα−1e−ydy = 1
Γ(α)Γ(α) = 1.
Gamma分配之密度函數圖形如下:
0 1 2 3 4 5 6 7 8
- x 0.1
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 6
f (x)
G(2, 0.5)
G(2, 1)
G(2, 2)
圖 2–15 Gamma 分配之密度函數
...
...
..............................................................................................................................
...........................
........................
....................................................................................................................................
(三) χ2 分配
在 G(α, β)分配中,若 α = r
2, β = 2,其中 r ∈ N, 即其密度函數為 f : R → R+: f (x) =
1
Γ(r/2)2r/2xr2−1e−x/2, 若x > 0,
0, 若x ≤ 0.
若X 具有這種密度函數, 則稱 X 具χ2 分配(chi-square distribution) 或 X ∼ χ2r, 而r 則稱 為此分配之自由度 (the degrees of freedom). 在統計推論中, χ2 分配用途甚廣. 其圖形如下:
2.5 常用連續型隨機變數 66
0 10 20 30 40
- x 0.05
0.10 0.15 0.20 6
f (x)
χ24
χ212
χ220
......
..
..
...
...
...
.....
...
..
...................................................
...
...
...
...
...............................................................................................................
......
............
......................................................
............
圖2–16 χ2 分配之密度函數 (四) 負指數分配(negative exponential distribution)
在G(α, β) 分配中, 若α = 1, β = 1/λ, 其中 λ > 0,則稱 X 具負指數分配, (有些學者稱 X 具指數分配) 或 X ∼ G(1, 1/λ),即其密度函數為
f : R → R+: f (x) =
(λe−λx, 若 x > 0, 0, 若 x ≤ 0.
其圖形如下:
0 1 2 3
- x 1
2 6 f (x)
λ = 2
λ = 1
圖 2–17 負指數分配之密度函數
...........................
......
............
............
...........................
..
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
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..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
例1. 設 X 表某一燈泡工廠所生產之日光燈之壽命 (單位: 小時), 已知 X 具負指數分配 G(1, 700). (這表示日光燈之平均壽命為700 小時, 詳第四章.)
(1) 試求 P {X > 400};
(2) 試求 P {X > 500 | X ≥ 100}.