o,其中 a 6= 0.
(2) FX2(y) = FX(√
y) − FX(−√
y) + PX{−√
y}, 其中 y > 0.
2-15 設X ∼ N(0, 1), k 為介於 0與 1 之間之常數, a, b ∈ R, a < b, 滿足 P {a < X < b} = k.
若L = b − a, 試證: L 為最小之充要條件為 a = −b.
2-16 設X 為一隨機變數, 若 m ∈ R 滿足
P {X ≤ m} ≥ 1/2, P {X ≥ m} ≥ 1/2, 則稱 m 為X 之中位數(median).
(1) 舉一例以說明一隨機變數之中位數未必為唯一; (2) 若X 為連續型, 其中位數是否必為唯一? 理由為何? (3) 若X ∼ N(0, 1), 試求隨機變數 |X|之中位數. 2-17 設X ∼ NB(1, p), (幾何分配), 試證:
P {X > n + m | X ≥ n} = P {X > m}, ∀n, m ∈ Z+.
隨機變數之變換
2-18 設X 具 (平移之) 幾何分配, 其密度函數為
f : R → [0, 1] : f (x) =
((1/2)x, 若x ∈ N,
0, 否則.
試求 Y = sin(πX/2)之分配.
第二章習題 89 2-19 設X ∼ N(2, 3), 函數
h : R → R : h(x) =
√4
x2, 若|x| < 4,
2, 否則,
內[ · ] 為最大整數函數. 試求 Y = h ◦ X 之密度函數.
2-20 設絕對連續型隨機變數 X 之分配函數 F : R → [0, 1] 為一遞增函數. 試證: 隨機變數 Y = F ◦ X 具U(0, 1) 分配.
[ 註: 若F 不為一遞增時, 本題之結論亦真, 唯證明較為困難. ] 2-21 設X ∼ B(n, p), 次設
h : {0, 1, 2, · · · , n} → R : h(x) = (−1)x. 試證: Y = h ◦ X 之密度函數為
fY : R → [0, 1] : fY(y) =
(1 + (2p − 1)n)/2, 若y = 1, (1 − (2p − 1)n)/2, 若y = −1,
0, 否則.
2-22 設X 具負指數分配 G(1, 1/λ), c 為一常數. 試求 Y = X + c 之密度函數.
2-23 設X 具常態分配 N(1, 2), h : R → R : h(x) =
(x, 若 |x| < 3, 0, 若 |x| ≥ 3.
(1) 試求Y = h ◦ X 之分配函數;
(2) 將 Y 之分配函數化為 F = αFd+ (1 − α)Fa 時, α =? Fd =? Fa=?
(參見第六節).
2-24 設某大學男生之身高 X ∼ N(171, 5.22) (單位: 公分),今只考慮身高在 170 以上之男生. (1) 試求身高在 170 以上之男生佔全校男生之百分比;
(2) 試寫出其機率空間、 隨機變數、 分配函數及密度函數; [這種分配稱為截尾分配 (trun-cated distribution)].
(3) 試求身高在 171 以下之機率為若干?
Chapter 3 隨 機向量
上一章中, 我們利用實值函數之方法, 將非數量性的樣本空間 Ω 予以數量化, 也就是所謂隨機 變數. 由於有了分配函數以及密度函數, 使我們對於由隨機變數引進的數量性樣本空間上的機 率分布有很清晰的了解. 當然我們自然會想到這種函數也可以是二維以上的. 例如 Ω 表某大學 學生集合,我們除了單獨研究學生之身高或體重之分配外,是否也希望了解二者之間所存在的關 聯. 最好的方法乃是利用所謂向量函數,即令
(X, Y ) : Ω → R2 : ω 7→ (X(ω), Y (ω)),
其中 X(ω) 表學生ω 之身高, Y (ω) 表學生ω 之體重. 這種函數有以下二個優點: 一、 可提供單一因素 (身高或體重) 之分配;
二、 可提供對二因素關聯之了解.
當然透過嚴格的數學形式, 予以界定並且探討其各項性質仍是必須的.
§ 3.1 隨機向量及其其分配
定義 3.1
設(Ω, F , P )為一機率空間.如果函數 X: Ω → Rk 滿足
∀B ∈ Bk, X−1(B) ∈ F 則稱X 為 (Ω, F , P )上一k 維隨機向量(random vector).
90
3.1 隨機向量及其其分配 91
註: (1) 由上述定義顯然可知, 一維隨機向量即隨機變數.
(2) 在微積分中,我們知道,由於 X(ω) ∈ Rk, 故可表為 X(ω) = (X1(ω), · · · , Xk(ω)),
其中X1(ω), · · · , Xk(ω) 均為實數,因此,我們可以得到k 個實值函數Xj: Ω → R, 1 ≤ j ≤ k, 並稱其為 X 之分量函數 (component functions), 通常寫為
X= (X1, · · · , Xk).
定理 3.2
設X= (X1, · · · , Xk) 為(Ω, F , P )上 為一隨機向量.
(1) 若函數h: Rk → Rm 為(Bk,Bm)可測(亦稱h為Borel可測),則合成函數h◦X 為 (Ω, F , P ) 上一 m 維隨機向量;
(2) 若函數 h: Rk → Rm 為連續, 則h◦ X 為 (Ω, F , P )上一隨機向量.
證 (1) 由於B ∈ Bm ⇒ h−1(B) ∈ Bk, (因h 為可測)
⇒ X−1(h−1(B)) ∈ F , (因 X 為一隨機向量)
⇒ (h ◦ X)−1(B) ∈ F . 是以 h◦ X 為 (Ω, F , P ) 上一隨機變數.
(2) 連續函數必為 Borel 可測之故.
Ω .......................X....................................... ............................Rk
.. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. ... .............................................................................................................
.. .. .. .. ..
Y h
Rm
定理 3.3
設函數X= (X1,· · · , Xk) : Ω → Rk,則 X 為(Ω, F , P ) 上一隨機向量之充要條件 為每一分量函數Xj 均為 (Ω, F , P ) 上之隨機變數.
證 (1) 若 X 為(Ω, F , P )上一隨機向量, 因投影函數Pj: Rk→ R : Pj(x1,· · · , xk) = xj, (內 j ∈ {1, · · · , k}) 均為連續,且Pj◦X = Xj,故由定理3.2之(2)知, Xj 為(Ω, F , P ) 上之一隨機變數.
Ω .......................X....................................... ............................Rk
.. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . . . .. . .. .. . . . .. . .. .... .......................................................................................................................
Xj
Pj
R
(2) 若 X1, · · · , Xk 均為 (Ω, F , P ) 上之 隨機變數,先證:
I1, · · · , Ik 區間⊂ R, X−1(I1× · · · × Ik) ∈ F (∗)
3.1 隨機向量及其其分配 92 此因
X−1(I1× · · · × Ik) = {ω ∈ Ω | X(ω) ∈ I1× · · · × Ik}
= {ω ∈ Ω | (X1(ω), · · · , Xk(ω)) ∈ I1× · · · × Ik}
= {ω ∈ Ω | X1(ω) ∈ I1, · · · , Xk(ω) ∈ Ik}
=
k
\
j=1
{ω ∈ Ω | Xj(ω) ∈ Ij}
=
k
\
j=1
Xj−1(Ij) ∈ F .
其次, 令
C = {I1× I2× · · · × Ik| I1, · · · , Ik 為R 之子區間 }, 利用 Bk 之定義、 定理 2.3 及(∗) 之結果,知
X−1(Bk) = X−1(σ(C)) = σ(X−1(C)) ⊂ F .
是以 X 為 (Ω, F , P )上一隨機向量.
定理 3.4
設X, Y 均為 (Ω, F , P ) 上隨機變數,則X+ Y, X − Y, XY 均為 (Ω, F , P ) 上隨 機變數.