0.05
0.10 0.15 0.20 6
f (x)
χ24
χ212
χ220
......
..
..
...
...
...
.....
...
..
...................................................
...
...
...
...
...............................................................................................................
......
............
......................................................
............
圖2–16 χ2 分配之密度函數 (四) 負指數分配(negative exponential distribution)
在G(α, β) 分配中, 若α = 1, β = 1/λ, 其中 λ > 0,則稱 X 具負指數分配, (有些學者稱 X 具指數分配) 或 X ∼ G(1, 1/λ),即其密度函數為
f : R → R+: f (x) =
(λe−λx, 若 x > 0, 0, 若 x ≤ 0.
其圖形如下:
0 1 2 3
- x 1
2 6 f (x)
λ = 2
λ = 1
圖 2–17 負指數分配之密度函數
...........................
......
............
............
...........................
..
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
例1. 設 X 表某一燈泡工廠所生產之日光燈之壽命 (單位: 小時), 已知 X 具負指數分配 G(1, 700). (這表示日光燈之平均壽命為700 小時, 詳第四章.)
(1) 試求 P {X > 400};
(2) 試求 P {X > 500 | X ≥ 100}.
解 由原設知 X 之密度函數為f : R → R+: f (x) = ( 1
700e−x/700, 若x > 0,
0, 若x ≤ 0.
2.5 常用連續型隨機變數 67
(1) P {X > 400} = 1 700
Z +∞
400
e−x/700dx = −e−x/700
+∞
400= e−4/7.
(2) P {X > 500 | X ≥ 100} = P {X > 500, X ≥ 100}
P {X ≥ 100}
= P {X > 500}
P {X ≥ 100} = e−5/7
e−1/7 = e−4/7.
此與第 (1) 題之機率相等.
註: 更廣義地說,若 X 具G(1, 1/λ) 之負指數分配, 則
P {X > t0+ t | X ≥ t0} = P {X > t}, ∀ t0, t ∈ (0, +∞). (1) 因為
P {X > t0+ t | X ≥ t0} = P {X > t0+ t, X ≥ t0} P {X ≥ t0}
= P {X > t0+ t}
P {X ≥ t0} = λR+∞
t0+te−λxdx
λR+∞
t0 e−λxdx
= e−λ(t0+t)
e−λt0 = e−λt = P {X > t}.
設X 表一產品之壽命 (單位: 小時),則
• {X = 533} 表使用533 小時後此一產品即已損壞;
• {X > 1200}表使用 1200 小時後此一產品仍未損壞;
• P {X ≥ 1500 | X > 1200}表使用1200 小時後此一產品仍未損壞之條件下,再使用300 小時以上之機率.
(1) 式表示, 在日光燈點了 t0 小時之後, 仍然亮著, 則可再使用超過 t 小時之條件機率與一 開始可使用超過 t 小時之機率是相等的. 這種性質說明 (具負指數分配之) 日光燈的壽命具 失憶性(lack of memory property). 除了負指數分配之外, 幾何分配亦有類似性質, 若 X ∼ NB(1, p), 則
P {X > n + m | X ≥ n} = P {X > m}, ∀n, m ∈ Z+, (2) (習題). 讀者應注意: 此處之 n 與 m 必須為非負整數, 而負指數分配則適用於任何正實數, 所 有分配中只有負指數分配具有 (1) 性質, (參見附錄六).
(五) 均勻分配 (uniform distribution)
2.5 常用連續型隨機變數 68 若函數 f : R → R+ :
f (x) =
1
β − α, 若x ∈ [α, β], 0, 若x ∈ R \ [α, β],
(內α, β ∈ R, α < β ),為隨機變數 X 之一密度函數, 則稱 X 具均勻分配 或 X ∼ U(α, β), 而α, β 則稱為此分配之參數或母數. 其圖形如右:
α β
0
1 β−α
- x
6
f (x)
. .. .. . . . . . .. .
.............. ...........................
圖 2–18 均勻分配之密度函數
例2. 某君自家中騎機車出發, 出門時將大門鑰匙放在口袋中, 騎了一段 300 公尺之路程後發 現鑰匙不見了, 由於不知鑰匙在何處遺失, 故假設遺失位置為 X, 顯然 X ∼ U(α, β), 其中 α = 0, β = 300, 故知鑰匙掉在前 100 公尺之機率為
P {0 ≤ X ≤ 100} = Z 100
0
1
300 − 0dx = 1
3.
(六) beta 分配 若函數
f : R → R+: f (x) =
Γ(α + β)
Γ(α)Γ(β)xα−1(1 − x)β−1, 若0 < x < 1,
0, 否則.
(內α > 0, β > 0), 為隨機變數 X 之一密度函數, 則稱 X 具 Beta 分配, 而 α, β 稱為此分 配之參數或母數. 其圖形如下:
2.5 常用連續型隨機變數 69
0.0 0.5 1.0
- x
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 6
f (x)
α = 2, β = 2 α = 4, β = 4
α = 4, β = 3
.................................................................................................................. ...
...............
..................
............................................................................................................................................................
.....................
............
............
.........
..........................................................................................................................................
.........
.........
............
.........
........................
圖 2–19 註:
1◦ 若 α > 0, β > 0, 則瑕積分 Z 1−
0+
xα−1(1 − x)β−1dx 稱為 Beta 函數, 在理論分析中 (例如 Apostol [1], p.331),可證上述瑕積分收斂於 Γ(α)Γ(β)
Γ(α + β). 因之,顯然有: (1) f ≥ 0, 以及 (2)
Z
R
f = 1.
2◦ 當α = 1, β = 1 時, 此分配乃為均勻分配.
(七) Cauchy 分配 若函數
f : R → R+: f (x) = σ
π · 1
σ2+ (x − µ)2,
(內µ ∈ R, σ > 0),為隨機變數 X 之一密度函數,則稱 X 具Cauchy分配或 X ∼ C(µ, σ2), 而µ, σ 稱為此分配之參數或母數 .
2.5 常用連續型隨機變數 70
−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
-x 0.1
0.2 0.3
6
f (x)
C(1, 12)
C(1, 22)
圖2–20 Cauchy 分配之密度函數
..............................................................................................................................
......
..................
...........................
...........................................................................
上述函數 f 對稱於 x = µ, 其圖形略似於 N(µ, σ2), 但二者並不相同. 此外, 我們應證明 (1) f ≥ 0 (易明), 以及 (2)
Z
R
f = 1. 由於
I = Z
R
f (x) dx = σ π
Z +∞
−∞
dx σ2+ (x − µ)2
= 1 πσ
Z +∞
−∞
dx 1 + (x−µσ )2,
= 1 π
Z +∞
−∞
dy
1 + y2, (令y = x − µ σ )
= 2 π lim
t→+∞
Z t 0
dy
1 + y2 = 2 π lim
t→+∞tan−1y
t
0= 2
π · π 2 = 1.
例3. 某雷射光源位於一東西向之直線牆壁之北方一公里(如圖), 此光源以等角速度逆時針旋 轉半周向南投射.
(a) 若牆線視為 x 軸,光源位於點 (0, 1), 試問光線射於牆上之區間 [−1, 1] 之機率為何? (b) 試問光線射於牆上之分配為何?
-x 1
0 θ
6
y
........................
圖2–21
.............................................................................................................................................
2.5 常用連續型隨機變數 71
解 (a) 設 θ 表 y 軸與光線之夾角 (∈ (−π2,π2)), 吾人可視光源 θ ∼ U(−π2,π2) , 光線射於區間 [−1, 1] 之機率為
P = P {tan−1(−1) < θ < tan−11} =
Z tan−11
tan−1(−1)
1 πdθ
= tan−11 − tan−1(−1)
π = 1
2. (b) 設 X 表光線射於牆上之點, 則X 之分配函數為
FX(x) = P {X ≤ x}
= P {−π
2 < θ ≤ tan−1(x)}
=
Z tan−1(x)
−π/2
1 π dθ
= tan−1(x) −π2
π .
是以 X 之密度函數為
f : R → R+ : f (x) = F′(x) = 1 π(1 + x2),
此為 C(0, 1) 分配.
(八) Laplace 分配
若函數 f : R → R+ : f (x) = 1
2e−|x| 為隨機變數 X 之一密度函數, 則稱 X 具 Laplace 分配. 其圖形如下:
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
-x 0.1
0.3 0.5
6
f (x)
圖2–22 Laplace 分配之密度函數
...................................................................................................
..................
..................
(九) 對數常態分配 (lognormal distribution)
2.6 奇異分配與混和型分配 72 若函數
f : R → R+ : f (x) =
1 xβ√
2πexph
−(ln x − ln α)2 2β2
i, 若 x > 0,
0, 若 x ≤ 0,
(內α > 0, β > 0), 為隨機變數X 之一密度函數,則稱 X 具對數常態分配,而α, β 稱為此分 配之參數或母數.
註: 若 X 具對數常態分配, 利用變數代換 (詳見第八節), 可證明隨機變數 Y = ln ◦X具常態 分配.
除上述介紹之各種分配, 我們尚可在某些專書上找到其他分配. 此外, 目前各項統計或數學 之電腦軟體,內建不少常用分配之累積分配函數及其反函數,如SAS, 若需要各分配之密度函數
之值,則可在MathCAD 上直接求得, 使用前最好找一本該軟體之手冊查閱一番,或者在進入
該軟體後,利用線上求助以了解自己使用之函數應如何處理, 以SAS為例,其PROBGAM(x,a)
表示G(a, 1)之累積分配函數,如果讀者需要 G(α, β)之分配函數之值,可利用本章稍後之隨機
變數之變換去解決.
§ 2.6 奇異分配與混和型分配
我們知道絕對連續型隨機變數必為連續型, 但連續型隨機變數則未必為絕對連續型. 本節中, 我 們將介紹一種不為絕對連續之連續型隨機變數分配, 也就是所謂奇異分配 (singular distribu-tion). 它是利用 Cantor 三進點集及 Cantor-Lebesgue 函數設計而成的. 又, 本節稍難, 第一 次閱讀時可省略之.
首先, 設
I = [0, 1], D1 =1
3, 2 3
, D2 = D21∪ D22,內
D21 =1 32, 2
32
, D22 =2 3 + 1
32, 2 3 + 2
32
, D3 = D31∪ D32∪ D33∪ D34,內
D31 =1 33, 2
33
, D32=2 32 + 1
33, 2 32 + 2
33
, D33 =2
3+ 1 33, 2
3 + 2 33
, D34=2 3 + 2
32 + 1 33, 2
3+ 2 32 + 2
33
, ...
2.6 奇異分配與混和型分配 73
Dn=
2n−1
[
r=1
Dn,r, 內 Dn1 = 1
3n, 2 3n
, ...
Dn,2n−1 =2 32 + 2
33 + · · · + 1 3n, 2
32 + 2
33 + · · · + 2 3n
, ...
D =
+∞
[
n=1
Dn.
顯然 D 為一開集, Dn 之測度(即總長度) 為λ(Dn) = 2n−1/3n, 是以 D 之測度為
λ(D) =
+∞
X
n=1
λ(Dn) =
+∞
X
n=1
2n−1 3n = 1
3
+∞
X
n=1
2 3
n−1
= 1.
今令 K = I \ D,此乃所謂 Cantor 三進點集 (Cantor’s ternary set), 應有 λ(K) = λ(I) − λ(D) = 1 − 1 = 0.
其次,我們將界定所謂的 Cantor-Lebesgue 函數. 1◦ 令
G1: I → R : G1(x) =
0, 若x = 0, 1, 若x = 1, 1/2, 若x ∈ D1,
∗, 否則.
∗: 以直線連之, (即點(0, 0)及(1/3, 1/2)連以直線,點(2/3, 1/2) 及(1, 1)連以直線.) 2◦ 令
G2: I → R : G2(x) =
0, 若x = 0, 1, 若x = 1, 1/2, 若x ∈ D1, 1/4, 若x ∈ D21, 3/4, 若x ∈ D22,
∗, 否則.
∗: 以直線連之. 3◦ 仿之, ∀n ∈ N, 令
Gn: I → R : Gn(x) =
0, 若 x = 0, 1, 若 x = 1,
r2−n, 若 x ∈ Dn,r, r = 1, 2, · · · , 2n−1,
∗, 否則.
∗: 以直線連之. G1, G2 之圖形如下:
2.6 奇異分配與混和型分配 74
0 19 29 13 23 79 89 1
- x 0.25
0.50 0.75 1.00 6
y
G2
G1
圖2–23
..................................................................
. ............
. ............
. ............
.
.................................................................................................................... . ............
. ............
. ............
. ............
.............
由以上之設計, 顯然有
“ 3◦ 之定義” ⇒
|G1 − G2| < 1/2,
|G2 − G3| < 1/22, ...
|Gn− Gn+1| < 1/2n, ...
⇒
+∞
X
n=1
|Gn− Gn+1| <
+∞
X
n=1
1/2n= 1
⇒
+∞
X
n=1
(Gn− Gn+1)均勻收斂於 I 上, (利用 Weierstrass M-test)
⇒ {sn}n 均勻收斂於 I 上,
內sn =
n
X
j=1
(Gj− Gj+1) = G1− Gn+1
⇒ {Gn}n 均勻收斂於I 上. 令
G : I → R : G(x) = lim
n→+∞Gn(x).
則由{Gn}n 之均勻收斂性, 知 G 亦為連續, 顯然亦為不減, 我們稱其為 Cantor-Lebesgue 函 數.
最後, 令
F : R → [0, 1] : F (x) =
0, 若x < 0, G(x), 若0 ≤ x ≤ 1, 1, 若1 < x,
則函數 F 為 (1) 不減, (2) 連續, (3)limx→−∞F (x) = 0, limx→+∞F (x) = 1; 故 F 為一連續 型分配函數, 又利用絕對連續之定義我們們可證明 F 並非絕對連續, 是以 F 為一奇異分配函 數; (另一種解釋如下: 函數F 在 Cantor集 K 上之各點皆不為可微, 而在 R\ K 各點之導數 皆為零, 換言之, F′ = 0 a.e., 因之 F 並無密度函數.) 此一奇異分配函數之圖形大致如下:
2.6 奇異分配與混和型分配 75
0 1 9
2 9
1 3
2 3
7 9
8 9 1
- x 0.25
0.50 0.75 1.00
6
y
F
圖 2–24 奇異分配
隨機變數之分類, 實際上是依其累積分配函數而分類,而分配函數除了離散型、 絕對連續型 及奇異連續型之外,尚可將以上三型加以混合,其方法是取一離散型分配函數Fd,一絕對連續型 分配函數 Fa 以及一奇異分配函數 Fs 予以凸狀組合之, 即令α, β, γ ∈ [0, 1], α + β + γ = 1, 則函數
F = αFd+ βFa+ γFs
顯然滿足 (1) 不減, (2) 右連續, (3) limx→−∞F (x) = 0, limx→+∞F (x) = 1; 故 F 為一分配 函數.
一、 若α, β, γ 三者之二為0,則F 顯然為離散型、 絕對連續型或奇異型. 例如, β = 0, γ = 0,則必 α = 1, 此時,
F = αFd+ βFa+ γFs = Fd, 函數 F 顯然為離散型.
二、 若 α, β, γ 三者之一為 0, 則 F 為二型混合. 例如 Fd 為 B(1, p) 之分配函數, Fa 為 U(0, 1) 之分配函數, α = β = 1/2, 則
F = αFd+ βFa: R → [0, 1] : F (x) =
0, 若x < 0, (1 − p + x)/2, 若0 ≤ x < 1,
1, 若x ≥ 1,
其圖形如下:
0 1
- x (1 − p)/2
6
y
F
圖2–25
... ... ... ...
◦
•
◦
•
2.7 隨機變數變換之分配函數 76
函數(inverse image function)).
上述結果雖然簡單明瞭, 但並不實用. 例如, X ∼ N(0, 1), 則
2.7 隨機變數變換之分配函數 77 令Y = X2, 即h : R → R : h(x) = x2, 由定理2.21知
PY(B) = PX(h−1(B))
= 1
√2π Z
h−1(B)
exp
−x2 2
dx.
由於 h−1(B) = {x ∈ R | h(x) = x2 ∈ B} 並不能更清楚的表示, 因此也看不出來 PY 是何種 分配.
定理 2.22
設X 為(Ω, F , P )上一隨機變數, FX 為其累積分配函數.
(1) 若函數h : R → R 為Borel 可測,則函數 Y = h ◦ X 之累積分配函數為 FY : R → [0, 1] : FY(y) = PX(h−1(−∞, y]);
(2) 若上述可測函數h : R → R 為遞增且為蓋射, 則
FY : R → [0, 1] : FY(y) = FX(h−1(y)) = P {X ≤ h−1(y)};
其中h−1 為 h 之反函數;
(3) 若上述可測函數h : R → R 為遞減且為蓋射, 則
FY : R → [0, 1] : FY(y) = 1 − FX(h−1(y)−) = P {X ≥ h−1(y)}.
其中h−1 為 h 之反函數, FX(h−1(y)−)為 FX 在點 h−1(y) 之左極限.
證 (1) ∀y ∈ R, 由定理2.21 知 FY(y) = P {Y ≤ y}= P (Y−1(−∞, y])
= PY(−∞, y]
= PX(h−1(−∞, y]).
X FX
Ω R [0, 1]
Y h FY
R
.
............................................................ ........................... ..................................................................................... ..........................
. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. .. . . .. .. ...... .
................................................................................................................
.. . .. .. .. .
.
.......................................................................................................................................
(2)
FY(y) = P {Y ≤ y}
= P {ω | Y (ω) ≤ y}
= P {ω | h(X(ω)) ≤ y}
= P {ω | X(ω) ≤ h−1y}, (因h 及其反函數 h−1 均為遞增.)
= FX(h−1(y)).
2.7 隨機變數變換之分配函數 78 (3)
FY(y) = P {Y ≤ y}
= P {ω | Y (ω) ≤ y}
= P {ω | h(X(ω)) ≤ y}
= P {ω | X(ω) ≥ h−1y}, (因h 及其反函數 h−1 均為遞減.)
= 1 − P {ω | X(ω) < h−1y}
= 1 − FX(h−1(y)−).
例1. 設 X ∼ G(α, β), 試求 Y = kX 之分配, 其中 k > 0.
解FY(y) = P {Y ≤ y} = P {kX ≤ y}
= P {X ≤ y/k} = FX(y/k)
=
1 Γ(α)βα
Z y/k 0
xα−1e−x/βdx, 若y > 0,
0, 若y ≤ 0,
利用定理 2.20 得Y 之密度函數為
fY : R → R+: fY(y) =
1 Γ(α)βα
y k
α−1
e−y/(kβ)· 1
k, 若 y > 0,
0, 若 y ≤ 0,
=
1
Γ(α)(kβ)αyα−1e−y/(kβ), 若 y > 0,
0, 若 y ≤ 0,
是以知Y 具有 G(α, kβ) 分配.
定理 2.23
設隨機變數X 具N(µ, σ2) 分配, 則Y = X − µ
σ 具N(0, 1) 分配.