計算流體力學

在電腦尚未被廣泛應用前，數學解析的方法常與實驗方法並列為研 究方法的兩大主流。對一個流場問題而言，其求解係以一個足以正確描 述流場變數（流速、壓力、溫度、濃度等）對時間與空間變化的微分方 程式（亦稱控制方程式；governing equations）為基礎，配合以適當的 起始與邊界條件（initial/boundary condition）後，應用數學工具推衍出 相應之流場數學解（mathematical solution）。然而，一個動力問題相應 的控制微分方程式往往是非線性（non-linear）的，對此類問題數學解 之尋求並非易事。更何況在實際問題中，隨著流場區域邊界幾何或動力 條件複雜程度之增加，欲獲取一個精確的流場結果往往有頗高的難度。

因此，在古典的解析方法中，常將區域邊界予以簡化以利求解，甚至沿 用簡化但對真實流況描述能力較差之控制方程式以獲得流場的結果。在 採取此雙重簡化的情況下，雖然達成了問題解析的目的，但是結果的真 確度卻可能大打折扣。

隨著近年來電子計算機軟、硬體方面的快速進步，以往在數學解析 方面可能遭遇的各種困難，在運用數值解析（numerical analysis）的方 法後，多已迎刃而解（此即所謂CFD 的方法）。值得一提的是，在古 典數學解析的方法中，流場結果是以時間與空間函數的數學形式表示出 來，其在時空方面之變化均具有連續性；而在數值解析方法中，則為離 散化（discretized）數值形態時空分佈的流場結果。

一、紊流模型

在實際的情況中，絕大多數之氣流流動均為紊流之形態。由於紊流 中有渦漩（eddy）之存在而具有高度之散漫特性，故較難以掌握。因此 在涉及紊流的計算中，都要對紊流模型的類比能力以及計算所需系統資 源進行綜合考慮後，再選擇合適的紊流模型進行類比。常見的紊流模型

包括、standard k −ε 模型、RNG k −ε 模型、Realizable k −ε 模型、RSM

（Reynolds Stress Model，雷諾應力模型）模型和大渦模擬(LES）等方 法，以下針對適用RANS(Reynolds Averaged Naiver-Stokes)的紊流模型 以及LES model 做簡單的介紹：

(1) standard k–ε model

標準k −ε 模型由 Launder 和 Spalding 提出，模型本身具有的穩 定性、經濟性和比較高的計算精度使之成為紊流模型中應用範圍最廣、

也最為人熟知的一個模型。標準k −ε 模型通過求解紊流動能（k）方 程和紊流消散率（ε）方程，得到 k 和 ε 的解，然後再用 k 和ε的值 計算紊流粘度，最終通過 Boussinesq 假設得到雷諾應力的解。雖然得 到了最廣泛的使用，但因為標準k −ε 模型假定紊流為同向性(isotropic) 的均勻紊流，所以在旋流（swirl flow）等非均勻紊流問題的計算中存 在較大誤差。

(2) RNG k–ε model

RNG k −ε 模型在形式上類似於標準 k −ε 模型，但是在計算功能上 強於標準k −ε 模型，其改進措施主要有：○¹ 在ε 方程中增加了一個附 加項，使得在計算速度梯度較大的流場時精度更高；○² 模型中考慮了旋 轉效應，因此對強旋轉流動計算精度也得到提升；○3 模型中包含了計算 紊流Prandtl 數的解析公式，而不像標準 k −ε 模型僅用使用者定義的 常數。○4 標準 k −ε 模型是一個高雷諾數模型，而 RNG k −ε 模型在對 近壁區進行適當處理後可以計算低雷諾數效應。

(2) realizable k–ε model

本模式滿足雷諾應力的約束條件，可以更精確地模擬平面和圓形設 流的擴散速度，旋轉流計算、具有壓降梯度的邊界層流計算和分離流計 算等問題，其計算結果更符合真實情況。可有效改善 standard k–ε model 的缺點，提升精度。

(3) k –ω model

k −ω 模型也是二方程模型。標準 k −ω 模型中包含了低雷諾數影響、

可壓縮性影響和剪力流擴散，因此適用於尾跡流動計算、混合層計算、

射流計算，以及受到壁面限制的流動計算和自由剪切流計算。

剪應力傳輸k −ω 模型，簡稱 SST k −ω 模型，綜合了 k −ω 模型在 近壁區計算的優點和k −ε 模型在遠場計算的優點，將 k −ω 模型和標 準k −ε 都乘以一個混合函數後再相加就得到這個模型。在近壁區，混 合函數的值等於1，因此在近壁區等價於 k −ω 模型。

在遠離壁面的區域混合函數的值則等於0，因此自動轉換為標準 k

−ε 模型。與標準 k −ω 模型相比，SST k −ω 模型中增加了橫向消散導 數項，同時在紊流黏度定義中考慮了紊流剪切應力的輸運過程，模型中 使用的紊流常數也有所不同。這些特點使得SST k −ω 模型的適用範圍 更廣，比如可以用於具有逆壓梯度的流動計算。

(4) RSM model

雷諾應力模型中沒有採用渦粘度的同向性假設，因此從理論上說比 紊流模式理論要精確得多。雷諾應力模型不採用Boussinesq 假設，而是 直接求解 RANS 方程中的雷諾應力項，同時求解耗散率方程，因此在 二維問題中需要求解5 個附加方程式，在三維問題中則需要求解 7 個附 加方程式。

從理論上說，雷諾應力模型應該比一方程模型和二方程模型的計算 精度更高，但實際上雷諾應力模型的精度受限於模型的封閉形式，因此 雷諾應力模型在實際應用中並沒有在所有的流動問題中都體現出其優 勢。

(5) LES model

大渦模擬主要概念為，直接對大尺度渦旋進行解析，而對小尺度渦 旋採用紊流模型模擬。因此，就解析比例而言，大渦模擬介於直接數值 模擬(direct numerical simulation, DNS)和 RANS 之間。與 DNS 中相比，

僅解決大尺度渦流可以讓 LES 中使用更粗的網格和更大的時間步。但

是LES 仍然需要比 RANS 計算的網格更精細的網格。此外，LES 必須 運行足夠長的時間才能獲得所模擬對象之穩定統計數據。在記憶體

（RAM）和 CPU 時間方面，LES 所涉及的計算成本通常比穩定 RANS 計算要高幾個量級。因此，對於LES，特別是對於工業應用必須使用到 高性能計算（如並行計算）設備。

二、壁面函數(wall function)

在受壁面限制的流動中，因為壁面附近流場變數的梯度較大，所以 壁面對紊流計算的影響很大。紊流模型中假定紊流是同向性的，因此在 壁面附近需要進行特殊處理。處理的一種辦法是用半經驗公式將自由流 中的紊流與壁面附近的流動連接起來，這種方法被稱為壁面函數法。另 一種方法是通過在壁面附近加密網格，同時調整紊流模型以包含壁面影 響的方法，被稱為近壁模型(near wall model)法。

壁面函數法中又有標準壁面函數法(standard wall function)和非平 衡壁面函數法(non-equilibrium wall function)。一般來說，標準壁面函數 可以適用於大多數流動問題。而非平衡壁面函數法則適用於流場函數在 壁面附近存在很大梯度的流動問題。