討論

本章介紹了定位誤差的來源，並以兩個實際的實驗結果來驗證誤差的存在及 其對定位的影響。由於第一類的誤差通常可以藉由環境的控制，或以調整自動 車、攝影機的設定來改善，因此在本篇論文中，我們將著重在探討第二類的誤差

─計算誤差的影響。

總結兩個定位實驗的結果。即時定位的實驗顯示出參考點換點後，由於每一 參考點對於計算誤差有不同的影響，造成定位彎折的情況。而格點定位的實驗可 以看出標記物的幾何分布對於定位的影響。在我們的定位環境中，若在影像中可 以看到 n 個標記物，則須在 n 個參考點裡選出四個參考點，再選定兩個標記物為 原點做定位計算，使得我們需要考量很多計算 Cross-Ratio 的方式（C₄ⁿ×C₂⁴）。

START

由於影像解析度的關係，定位誤差對於每一參考點的敏感度皆不同，而且用來計 算 Cross-Ratio 的四個參考點的幾何分佈對於 Cross-Ratio 的準確性也造成很大的 影響，使得定位會產生誤差與不穩定的情況，因此標記物的選點是 Cross-Ratio 定位方法中一個很重要的課題。

在本篇論文中，我們將在下兩章分析並模擬影像誤差對於定位的影響，而該 分析的結果將可以作為參考點選點的重要依據。在本章結束前，我們先以一些實 例來顯示此一影響對於一般環境中之定位所可能造成之誤差範圍，以及利用上述 分析結果所可能獲得之定位改善。

圖 3-6 是選擇不同參考點的定位結果比較，其中，橄欖綠的圓點（有 x 標記）

是自動車的實際位置。圖 3-6 (a)是對於每個自動車位置，任意挑選四個參考點的 定位結果（紅色圓點）；圖 3-6 (b)則是根據本篇論文所提出的誤差分析方法，選 出最適合的參考點來做定位的結果（綠色圓點）。表 3-2 為在各格點上定位結果 的數據與誤差的數值大小。其中，在任意挑點的定位結果中，X 方向與 Y 方向的 平均定位誤差分別為 6.3636 公分和 30.8740 公分，而根據誤差分析選點的定位結 果的平均定位誤差分別只有 2.7820 公分和 1.6104 公分。很明顯地，根據誤差分 析選點後的定位是較為準確的。因此，有效率且能正確描述定位誤差的分析方 法，將有助於我們發展穩定且實用的以 Cross-Ratio 為基礎的定位系統。

(a) 任意挑選參考點

圖 3-6 選用不同參考點的定位結果比較 M10

M11

M7

M8

M6

M5

M4

M3

M2

M1

M12

M16

M13

M15

M14

M9

(b) 根據誤差分析結果挑選參考點 圖 3-6 選用不同參考點的定位結果比較（續）

M10

M11

M7

M8

M6

M5

M4

M3

M2

M1

M12

M16

M13

M15

M14

M9

表 3-2 選用不同參考點的定位結果

自動車座標 定位結果 誤差 X 誤差 Y 選用標記物

(tile) (tile) (cm) (cm)

(-1, 6) (-1.1583, 5.5337) 6.3320 18.6520 [ M₅, M₇, M₈, M₉] (-1, 7) (-1.1482, 6.3217) 5.9280 27.1320 [M5, M7, M8, M9] (-1, 8) (-1.2482, 7.1200) 9.9280 35.2000 [M5, M7, M8, M9] (-1, 9) (-1.0307, 8.8367) 1.2280 6.5320 [M4, M7, M8, M10] (-1,10) (-1.0238, 10.5882) 0.9520 23.5280 [M₄, M₆, M₇, M₁₀] (-1,11) (-1.2029, 10.1826) 8.1160 32.6960 [M3, M4, M8, M9] (-1,12) (-1.1954, 10.3255) 7.8160 66.9800 [M4, M7, M8, M9] (-1,13) (-1.1108, 12.7128) 4.4320 11.4880 [M₄, M₅, M₈, M₉] (-1,14) (-1.3906, 15.1537) 15.6240 46.1480 [M₂, M₃, M₇, M₈] (-1,15) (-1.082, 16.0096) 3.2800 40.3840 [M₂, M₅, M₇, M₁₁]

平均定位誤差 平均定位誤差平均定位誤差

平均定位誤差 6.3636 30.8740

(a) 任意挑點的定位誤差結果

自動車座標 定位結果 誤差 X 誤差 Y 選用標記物

(tile) (tile) (cm) (cm)

(-1, 6) (-1.0934, 6.0124) 3.7360 0.4960 [ M5, M6, M8, M9] (-1, 7) (-1.1173, 6.9463) 4.6920 2.1480 [M₅, M₆, M₈, M₉] (-1, 8) (-1.1632, 8.0922) 6.5280 3.6880 [M₅, M₆, M₈, M₉] (-1, 9) (-1.0203, 8.9364) 0.8120 2.5440 [M4, M6, M9, M10] (-1,10) (-1.0238, 9.9398) 0.9520 2.4080 [M4, M6, M9, M10] (-1,11) (-1.0189, 10.9958) 0.7560 0.1680 [M₃, M₆, M₉, M₁₀] (-1,12) (-1.0752, 12.0281) 3.0080 1.1240 [M₃, M₆, M₁₀, M₁₁] (-1,13) (-1.0869, 13.0025) 3.4760 0.1000 [M2, M4, M10, M11] (-1,14) (-1.0588, 13.9296) 2.3520 2.8160 [M2, M6, M9, M11] (-1,15) (-1.0377, 14.9847) 1.5080 0.6120 [M₂, M₆, M₉, M₁₁]

平均定位誤差 平均定位誤差 平均定位誤差

平均定位誤差 2.7820 1.6104

(b) 根據誤差分析選點的定位結果

第四章第四章第四章

第四章 定位定位定位誤差之估測定位誤差之估測誤差之估測誤差之估測與模擬與模擬與模擬 與模擬

本章主要是在分析單一影像參考點的量化誤差對於空間定位誤差的影響，然 後進行一連串基於 Cross-Ratio 定位方法的誤差分析之模擬。首先們考量單一參 考點的一維誤差（水平誤差），並用泰勒一次近似展開式（Taylor 1st-order Expansion Approximation）估測定位誤差的結果，進而推廣到二維影像誤差。更 進一步地，我們估測二維影像誤差與空間定位誤差的線性轉換關係，如此我們可 以以一個有效率的誤差分析方式，來估測並模擬定位誤差。

由於用來定位的標記物的幾何分布對於 Cross-Ratio 定位方法的計算誤差有 相當的影響，因此參考點的選擇便成為 Cross-Ratio 定位方法的重要課題，而本 章模擬結果的觀察與分析，即可以提供自動車在定位時對於參考點選擇的重要依 據。

4.1 一維線性定位誤差式之推導

在這一節裡，我們欲從數學算式上來分析，當影像參考點有量化誤差時，對 於自動車定位的影響。圖 4-1 是參考點 p₄有水平誤差的影像示意圖。在取得影像 資料並得到標記物偵測的結果後，我們可以得到標記物 P₁, P₂, P₃, 和P₄的影像 座標 p₁, p₂, p₃, p₄，然而若假設 p₄在水平方向有量化誤差∆ ，則其參考點座標應_x 為pˆ₄ =(p_4x+ ∆_x, p_4y)。

Cross-Ratio 定位方法的第一步就是要計算出影像參考點的 Cross-Ratio 值

（2.2.2 節），而影像參考點的誤差便會直接影響 Cross-Ratio，所以首先我們須 做的便是計算參考點有誤差情況下的影像的 Cross-Ratio 值。圖 4-1 (a) 是以參考 點 p₁為原點射出向量，p₄上有水平誤差∆ ，則向量_x a=(a_x, a_y)

、b=( , )b_x b_y

、

ˆ ( _{x x}, )_y c= c + ∆ c

、d=(d_x, d_y)

。令 _ac ^{x x}

y y

a c

k = a c , _bd ^{x x}

y y

b d

k = b d , _bc ^{x x}

y y

b c k = b c ,

a d

(a) 以 p1為原點計算 Cross-Ratio

則以 p4為原點的影像的 Cross-Ratio 值成為，



1 1

由方程式(4.8)、(4.9)和(4.10)式，即可以將式子(4.6)改寫成 ˆ 軌跡。除此之外，我們也可以直接對式子(4.6)做泰勒展開式的一次近似（1st-order

2 2 勒一次展開式（式子(4.14)和(4.15)）去近似定位誤差的結果。

我們可以看到圖 4-2 (b)的實際定位的軌跡和一次近似的軌跡幾乎重疊，且其 軌跡近於直線。圖 4-3 (b)則顯示大範圍的影像誤差（±50 pixel）在實際定位軌跡 會呈現曲線的情況。由於之前的推導，我們知道 Cross-Ratio 定位方法對於水平 誤差∆ 會有三次式的效果，所以當_x ∆ 很大時，實際定位的軌跡是曲線的。然而_x 圖 4-2 已顯示了當∆ 合理的小範圍時，利用一次近似的線性誤差方程式，就可_x 以很好地描述自動車在空間定位的誤差。

100 150 200 250 300

error-free loc.

exact loc. (+△x) exact loc. (-△x) 1st-order loc. (+△x) 1st-order loc. (-△x) image points

error (+△x) error (-△x)

(a) 影像平面 (b) 場景空間

圖 4-2 單一影像點水平誤差（±2 pixel ）與空間定位誤差

100 150 200 250 300 350

-350 error-free loc.

exact loc. (+△x) exact loc. (-△x) 1st-order loc. (+△x) 1st-order loc. (-△x) image points

error (+△x) error (-△x)

4.3 推廣到二維影像誤差

雖然在座標系轉換後造成參考點座標改變，但在影像上組成的 Cross-Ratio 值是 不變的，同樣可以用來做為自動車定位空間座標的依據。如此一來我們不需再從

325 330 335 340

-70 image points

error (±2 pixel)

error-free loc.

exact loc.

1st-order loc.

圖 4-4 二維影像誤差（左）與其所造成之空間定位誤差（右）

以上的模擬皆是以直線方向來看誤差的軌跡，接下來我們以影像參考點 p4

330 331 332 333 334 335 336

-62

image points 2-pixel error

error-free loc.

exact loc.

1st-order loc.

100 150 200 250 300

X (pixel)

Y (pixel)

p₁

image points 2-pixel error

error-free loc.

exact loc.

1st-order loc.

圖 4-6 以 p₄為圓心、半徑為 2-pixel 的影像誤差圓（左）與空間定位橢圓軌跡（右）

4.4 影像誤差與空間誤差的線性轉換

由於之前的算式推導和誤差模擬的結果，我們知道影像誤差與空間定位誤差 之 間 在 合 理 的 誤 差 範 圍 內 是 一 線 性 關 係 ， 因 此 我 們 可 用 一 個 轉 換 矩 陣

（Transformation Matrix） a b c d 4-7 顯示了線性轉換的結果，我們取兩個影像誤差點當作樣本點（Sample Point），

分別是在參考點 p4的誤差圓範圍上的(Δx, Δy)=(2, 0)和(Δx, Δy)=(0, -2)，於圖 4-7 影像平面上以綠色符號「×」表示。將這兩個影像誤差點做一次近似的定位，

可得到對應的空間定位座標，在場景示意圖中同樣以綠色的「×」表示。如此一 來，我們就可以求算轉換矩陣，在此模擬實例中轉換矩陣的結果為

0.0011446 0.010351 0.010491 0.021524 a b

325 330 335 340

-70

X (pixel)

Y (pixel)

p₄

image points 2-pixel error sample points

error-free loc.

exact loc.

1st-order loc.

approx. error ellipse sample point

圖 4-7 影像誤差於空間定位誤差的線性轉換結果

ˆ 1

100 150 200 250 300

X (pixel)

Y (pixel)

p₁

-325 Spacing

X (cm)

Y (cm) R

image points 2-pixel error

error-free loc.

exact loc.

approx. error ellipse axis of ellipse

圖 4-8 空間誤差橢圓之長短軸與旋轉角度

上一章我們曾討論到，對於 Cross-Ratio 定位方法的計算誤差除了量化誤差 以外，還有因為參考點的幾何分布造成的影響，其中，後者將有賴於選擇出適當 的參考點來降低誤差。而現在我們已經可以相當正確地描述影像誤差造成空間定 位誤差的橢圓軌跡，也能夠計算出橢圓的長短軸大小與長短軸之方向，其中橢圓 之長短軸可直接界定空間定位誤差的範圍，而橢圓長軸之方向也代表著影像誤差 之於空間定位誤差有較高的敏感度之方向。這些定位誤差的資訊，將可以成為 Cross-Ratio 定位方法中對於參考點選點的重要依據，並幫助我們發展出有效率且 穩定可靠的自動車定位系統。

第五章第五章第五章

第五章 誤差誤差誤差估測於定位誤差估測於定位估測於定位估測於定位之應用之應用之應用 之應用

本章我們將討論空間定位誤差之估測於定位導航的應用。我們根據一些實驗 的實例，應用第四章模擬誤差橢圓的推估結果，從中探討並說明定位時參考點選 擇的準則。如何選擇一組最理想的參考點（Optimal Choice of Reference Point Selection）在定位的穩定性研究當中是一個重要的課題。然而，最理想的參考點 選擇取決於環境與使用者的需求。因此對於空間誤差橢圓的分析，我們會從兩個 方面來看：(1)誤差範圍；(2)誤差分佈。前者即是指誤差橢圓面積的大小，後者 則是考量誤差橢圓長短軸的方向，亦即對特定方向的誤差敏感度。

最後我們將討論多重影像誤差點的情況，基於第四章的影像誤差與空間定位 誤差之線性關係，我們提出了一個有效率的方法，去估測多重影像誤差對於空間 定位誤差的影響。

5.1 定位標記物選點之探討

本節主要是探討選用不同的標記物，對於定位誤差的不同影響。在實際的自 動車定位應用中，我們常有多於四個以上的參考點可供選擇，以計算 Cross-Ratio 定位。圖 5-1 顯示影像平面上有五個影像參考點 p₁, p₂, p₃, p₄, p₅，參考點 p₅上有 半徑為 2 pixel 的誤差圓。選用{p₁, p₂, p₄, p₅}計算 Cross-Ratio 進行實際定位的結 果標示在空間平面示意圖上的藍色點集合；而選用{p₁, p₃, p₄, p₅}進行實際定位的 結果以青綠色點集合標示；紫紅色與紅色的橢圓分別是對應於前兩者的推估誤差 橢圓。

首先值得注意的是，當選用不同組標記物來進行定位時，所得到誤差橢圓的 中心不會重疊，以這個例子來看，其橢圓中心分別在 X 和 Y 方向差了大約 1cm。

這是因為我們所採用的參考點位置皆是從實驗得來的，每一參考點實際上都會有 各自的誤差量。有關於多重參考點之影像誤差的情況，是比誤差在單一參考點上

這是因為我們所採用的參考點位置皆是從實驗得來的，每一參考點實際上都會有 各自的誤差量。有關於多重參考點之影像誤差的情況，是比誤差在單一參考點上

在文檔中 以Cross-Ratio為基礎之自動車夜間視覺定位與誤差分析 (頁 33-0)