第二章 文獻探討
第五節 試題選項特徵曲線
1991 年，加拿大的心理計量學家 Ramsay 於期刊上發表結合「擴張高 低試題鑑別指數」與「核平滑化無參數估算法」的「核平滑化法無參數試 題選項特徵曲線估算法」，這是一種無參數的試題反應理論，他依此理論，
發 展 出 TestGraf 98 電 腦 測 驗 分 析 軟 體 ， 估 計 選 項 特 徵 曲 線（ option characteristic curve，OCC）。
壹、Ramsay 核平滑化法無參數試題選項特徵曲線估算法
為避免測驗分數相同的情況，Ramsay 發展出「擴張高低試題鑑別指 數」，以 logit 轉換高低鑑別指數當作加權函數如下列（1）式，得到加權值
W
ij。表原始總分排序前 25%的高分組受試者在第 i 題第 j 選項的選答率。
表原始總分排序後 25%的低分組受試者在第 i 題第 j 選項的選答率。
得到加權值
W
ij後，Ramsay 再以下列（2）式產生加權總分T
s表示受試者 s 的加權總分值
表示受試者 s 在第 i 題第 j 選項實際選答的指示值 試題i =1,2,…,n；選項 j =1,2,…,m
將
T
s重新排序可得到秩r
S（rank），再以非線性轉換方式將r
S轉成常態分布的對應分位數值 （quantile），如下列（3）式。
（3）
一般常見的「核平滑化無參數估算法」有三種：NW 估計量、PC 估計 量、GM 估計量。因為試題選答機率 P 是機率估計量，因此 Ramsay(1991) 採 Nadaraya 和 Watson 的 NW 核平滑化估計模式且以高斯函數為核函數，
如(4)式
高斯函數(Gaussian)：
受試者s=1,2,…,N；試題 i=1,2,…,n；選項 j=1,2,…,m。
表示加權排序後第 序位受試者實際選答試題 i 之選項 j 之指示值。
表示第 序位受試者加權總分經轉換後得到對應的分位數。
（4）式中的 h 為帶寬參數(bandwidth parameter)，影響曲線的平滑程 度與樣本的變異數，h 值越大，曲線越平滑，樣本變異數越大。為了獲得 較佳的估計值，Ramsay(1991)採用 ，N 為受試者人數。經由上 述推論得 Ramsay 核平滑無參數試題選項特徵曲線機率模式，如下（5）式。
q
sij （5）
貳、劉湘川之相關鑑別指數改進之試題選項分析模式
為避免測驗分數相同的情況，Ramsay 發展出「擴張高低試題鑑別指 數」，不但未解決分數相同情況，還產生兩個問題：
（一）當 為 1 時， 會出現分母為 0 之情形，而當 為 0 時， ，此兩者皆不具意義。而 也是如此，這 種情況下，試題選項不具鑑別度，因此無法產生加權值。
（二）「擴張高低試題鑑別指數」會造成逆序的現象， 是 P 的保序
變換，然而 卻並不一定是 的保序變換。
劉湘川(2001)提出以「 」代替，以改善 Ramsay「擴 張高低試題鑑別指數」，並以 計算出加權總分 ，如下式：
表示受試者 s 的加權總分值
表示受試者 s 在第 i 題第 j 選項實際選答的指示值 試題i =1,2,…,n；選項 j =1,2,…,m
參、以指數函數為核函數之核平滑化法無參數試題選項特徵曲線估算法 本研究鑑於許多數據的資料呈現非常態分布，而是厚尾分布，改以指 數函數代替 Ramsay 的高斯函數作為核函數，得到的核平滑無參數試題選 項特徵曲線估算模式如下：
指數函數為
其中 表示第 序位受試者加權總分經轉換後得到對應的分位數，如 下式：
受試者s=1,2,…,N；試題 i=1,2,…,n；選項 j=1,2,…,m。
表示加權排序後第 序位受試者實際選答試題 i 之選項 j 之指示值。
本研究編制的試題皆為五個選項，以此能更為了解學童的迷思概念，
以收到補教效果。