調制頻率的影響

圖五為當調制振幅 ε=1，調制頻率 ω=0.1，雷諾數 Re=6000 時的 (a)時間級數圖、(b)頻譜圖、(c)相平面圖及(d) Poincare 映射圖。為更 容 易觀 察到 調制頻率 與頻 譜頻率 的 關 係 ， 在 此 以 角 頻 率(angular frequency)的形式來表示頻譜頻率，即角頻率形式等於頻率(frequency) 形式乘上2π。由圖五(a)發現流場呈週期性擾動，經頻譜分析由圖五 (b)得知其頻譜頻率為單一頻率 0.1(即 ω)，表示流場為單一週期運動。

觀察圖五(c)呈現一封閉曲線，顯示於圖五(d)則為一點。圖六為當 ε=1，ω=0.1，Re=6500 時的(a)時間級數圖、(b)頻譜圖、(c)相平面圖 及(d) Poincare 映射圖。由圖六(a)發現流場仍呈週期性擾動，但振幅

隨著時間略有變化，由圖六(b)得知除原來的頻率又另外產生兩個強度 微弱的頻率分別是0.075(即 3ω/4)和 0.125(即 5ω/4)。圖六(c)中相平面 為一由許多封閉曲線所疊合而成的圓環，顯示於圖六(d)則為一線段。

圖七為當 ε=1，ω=0.1，Re=8500 時的(a)時間級數圖、(b)頻譜圖、(c) 相平面圖及(d) Poincare 映射圖。由圖七(a)發現流場雖仍呈週期性擾 動，但波形與先前相較已有明顯的不同，經頻譜分析由圖七(b)發現又 增加一新的頻率0.15(即 3ω/2)。圖七(c)相平面呈現由許多封閉曲線所 疊合而成的兩個圓環，投影於圖七(d) 則為兩條線段。圖八為當 ε=1，

ω=0.1，Re=10000 時的(a)時間級數圖、(b)頻譜圖、(c)相平面圖及(d) Poincare 映射圖。由圖八(a)發現流場呈現混亂狀態，再經由圖八(b) 觀察亦發現流場不具週期性，此時流場已進入混沌(chaos)狀態。圖八 (c)中相平面由無數雜亂的封閉曲線所組成，顯示於圖八(d)則為無數 的映射點。

圖九為當調制振幅ε=1，調制頻率 ω=1，雷諾數 Re=6000 時的(a) 時間級數圖、(b)頻譜圖、(c)相平面圖及(d) Poincare 映射圖。圖九(a) 顯示擾動呈單一週期變化，由圖九(b)觀察頻譜頻率為單一頻率 1(即 ω)，代表單一週期(periodic)運動。圖九(c)中的相平面為一封閉曲線，

降維後顯示於圖九(d)為一映射點。圖十為當調制振幅 ε=1，調制頻率 ω=1，雷諾數 Re=6500 時的(a)時間級數圖、(b)頻譜圖、(c)相平面圖 及(d) Poincare 映射圖。由圖十(a)發現流場雖不是單一週期運動，但 仍可觀察出具有週期性，經由頻譜分析由圖十(b)得知頻譜頻率有 1(即 ω)和 1.5(即 3ω/2)兩個，表示流場為擬週期(quasi-periodic)運動。圖十 (c)中相平面為兩條規則性的封閉曲線，顯示於圖十(d)為兩映射點。

圖十一為當調制振幅 ε=1，調制頻率 ω=1，雷諾數 Re=8500 時的(a) 時間級數圖、(b)頻譜圖、(c)相平面圖及(d) Poincare 映射圖。由圖十 一(a)發現其與圖十(a)相似，唯一差異是振幅較大，經頻譜分析由圖 十一(b)觀察同樣是得到 1 和 1.5 兩個頻率，所以此時流場仍處於擬週

期運動。圖十一(c)中的相平面同樣為兩條規則性的封閉曲線，顯示於 圖十一(d)同樣為兩映射點。圖十二為當調制振幅 ε=1，調制頻率 ω=1，

雷諾數 Re=10000 時的(a)時間級數圖、(b)頻譜圖、(c)相平面圖及(d) Poincare 映射圖。由圖十二(a)及圖十二(b)皆無法觀察任何週期性，代 表流場已進入混沌狀態。圖十二(c)中呈現由無數曲線填滿的複雜圖 形，顯示於圖十二(d)中為無數的映射點。

圖十三為當調制振幅 ε=1，調制頻率 ω=10，雷諾數 Re=6000 時 的(a)時間級數圖、(b)頻譜圖、(c)相平面圖及(d) Poincare 映射圖。由 圖十三(a)發現流場為單一週期運動，經頻譜分析由圖十三(b)得知此 單一頻率為6.8。圖十三(c)中相平面為一封閉曲線，顯示於圖十三(d) 中為一映射點。圖十四為當調制振幅 ε=1，調制頻率 ω=10，雷諾數 Re=6500 時的(a)時間級數圖、(b)頻譜圖、(c)相平面圖及(d) Poincare 映射圖。由圖十四(a)發現流場呈週期性擾動，經頻譜分析由圖十四(b) 得知除 6.8 之外又產生另一個主要頻率 10.7，此時流場為擬週期運 動。圖十四(c)中相平面為兩封閉曲線，顯示於圖十四(d)中為兩映射 點。圖十五為當調制振幅 ε=1，調制頻率 ω=10，雷諾數 Re=8500 時 的(a)時間級數圖、(b)頻譜圖、(c)相平面圖及(d) Poincare 映射圖。由 圖十五(a)發現流場已呈混亂的狀態，進一步作頻譜分析由圖十五(b) 觀察到在緊鄰兩個主要頻率的位置生成一些不相干的頻率，代表流場 此時產生輕微的混沌現象。圖十五(c)中相平面已呈現由無數曲線填滿 的圖形，顯示於圖十五(d)中為無數的映射點。圖十六為當調制振幅 ε=1，調制頻率 ω=10，雷諾數 Re=10000 時的(a)時間級數圖、(b)頻譜 圖、(c)相平面圖及(d) Poincare 映射圖。由圖十六(a)發現流場擾動變 得更加混亂，經頻譜分析由圖十六(b)得知流場已不具週期性，表示流 場已完全進入混沌狀態。圖十六(c)中相平面依然是由無數曲線填滿的 圖形，且比先前的圖形顯得更加濃密，顯示於圖十六(d)中也依然是無 數的映射點。

經由上述的討論可得到在超越臨界雷諾數後調制頻率對流場的 影響，可歸納如下: 在低頻(ω=0.1)及中頻(ω=1)時，流場在進入混沌 之前其週期性與調制頻率存在若干比例關係，於低頻時存在有 ω、

3ω/4、5ω/4 及 3ω/2 的關係；於中頻時存在有 ω 和 3ω/2 的關係。但在 高頻(ω=10)時，此關係則不復存在，此現象顯示在高調制頻率時，壓 力梯度變動得太快導致流場中流體來不及充分吸收和傳遞能量所 致。另外，隨著調制頻率的增加，相對造成流場變動得愈快，導致流 場愈容易進入混沌的狀態。選取中頻(圖九~十二)與高頻(圖十三~十六) 作比較則可觀察到此現象，當雷諾數為 8500 時，高頻流場已開始進 入混沌狀態，而中頻流場則仍處於擬週期運動。