第三章 數值方法
3.2.3 Poincare映射圖
Poincare 映射圖是一種用來簡化相平面圖的方法，藉由固定週期 下，對相平面的軌跡取一投影來取樣觀察(strobe)，而在此吾人是以壓 力梯度的調制週期來做取樣，使得吾人可以清楚的觀察動力系統的演 變過程。
由 Poincare 映射圖吾人可以得知動力系統頻率(ω0)對於取樣頻 率(ωs)的比例關係。當動力系統的自然頻率為(p q)ωs時(p q為有理 數)，則於 Poincare 映射圖上會顯現q個映射點於一個封閉軌道之上，
而剩下[q−(p+1)]個點則會與先前的映射點位置重複，是故可以忽略 這些映射點。對一個消散(Dissipative)系統而言，其映射點會移動至適 當的吸子(Attractor)而形成一點，而當取樣頻率與自然頻率成有理數 關係時，則會形成散佈在封閉軌道上的點群，若完全不相關時，其映 射圖上的點甚至會填滿而形成一封閉曲線。
第 四 章 結果與討論
在本章中先探討在非調制(ε=0)的條件下流場的穩定性，其次討論 調制作用對流場臨界雷諾數的影響，最後則藉時間級數圖、頻譜圖、
相平面圖及Poincare 映射圖探討超越臨界雷諾數後之調制流場行為。
4.1 非調制(ε=0)流場的穩定性
Fortin 與 Jardak(1994)以有限元素法及洪英棋(2005)以頻譜法對於 非調制的普修流場在波數(wave number)α=1.020545 時求解，皆獲得臨 界雷諾數 Re0=5772.22 的精確結果。在前一章當中流線函數的 x 與 y 方向分別以複數形式Fouries series 及 Chebyshev polynomials 作雙重級 數展開，其展開項數(M×N)將影響數值計算結果的準確度，因此吾人 必須藉改變(M×N)的項數去尋找準確的臨界雷諾數。理論上，展開項 數取的愈多其結果之準確度也愈高，但項數太多將會耗費大量的運算 時間，因此取最少的展開項數而能達到相當的準確度才是最佳的選 擇。
先考慮展開項數(3×5)項，發現臨界雷諾數 Re0=573，然後逐漸提 高 N 項，所得到的臨界雷諾數隨之改變如圖二所示，一直到(3×43) 項，此時可發現 Re0=5664，再增加至(3×45)項仍是 Re0=5664，顯示 增加N 項已無法改善準確度，須朝增加M 項著手。
增 加 M 項 使 展 開 項 數 由 (3×43) 項 增 加 至 (7×43) 項 得 到 Re0=5772.22，再增加至(9×43)仍是 Re0=5772.22，如圖三所示，因此 (7×43)項為最佳的展開項數。
4.2 調制作用對臨界雷諾數的影響
為了解在不同的調制條件下，流場臨界雷諾數的變化情形，在此 定義偏移量(Threshold shift)
Δ = (Re
c− Re
0) / Re
0，其中Re
c為調制作用下的臨界雷諾數，正偏移量代表調制臨界雷諾數大於非調制時的臨 界雷諾數(即 5772.22)，負偏移量代表調制臨界雷諾數小於非調制時的 臨界雷諾數。
在不同調制振幅及頻率時的臨界雷諾數列於表 1，若以偏移量表 示如圖四。由圖四可知流場在頻率ω=0.01 至頻率 ω=1 之間具有負的 偏移量，且頻率越低偏移量越小，亦即臨界雷諾數越小，流場越提前 發生不穩定。而在頻率ω=1 至頻率 ω=10 之間則具有正的偏移量，亦 即此時流場相較非調制的結果有較高的臨界雷諾數，即流場延後發生 不穩定。至於調制振幅的作用則是放大提前或延後發生不穩定，亦即 原本不穩定的流場變得更不穩定，原本穩定的流場則更加穩定。
4.3 臨界雷諾數後之調制流場行為
4.3.1 調制頻率的影響
圖五為當調制振幅 ε=1，調制頻率 ω=0.1，雷諾數 Re=6000 時的 (a)時間級數圖、(b)頻譜圖、(c)相平面圖及(d) Poincare 映射圖。為更 容 易觀 察到 調制頻率 與頻 譜頻率 的 關 係 ， 在 此 以 角 頻 率(angular frequency)的形式來表示頻譜頻率，即角頻率形式等於頻率(frequency) 形式乘上2π。由圖五(a)發現流場呈週期性擾動，經頻譜分析由圖五 (b)得知其頻譜頻率為單一頻率 0.1(即 ω)，表示流場為單一週期運動。
觀察圖五(c)呈現一封閉曲線，顯示於圖五(d)則為一點。圖六為當 ε=1，ω=0.1，Re=6500 時的(a)時間級數圖、(b)頻譜圖、(c)相平面圖 及(d) Poincare 映射圖。由圖六(a)發現流場仍呈週期性擾動，但振幅
隨著時間略有變化，由圖六(b)得知除原來的頻率又另外產生兩個強度 微弱的頻率分別是0.075(即 3ω/4)和 0.125(即 5ω/4)。圖六(c)中相平面 為一由許多封閉曲線所疊合而成的圓環，顯示於圖六(d)則為一線段。
圖七為當 ε=1，ω=0.1，Re=8500 時的(a)時間級數圖、(b)頻譜圖、(c) 相平面圖及(d) Poincare 映射圖。由圖七(a)發現流場雖仍呈週期性擾 動，但波形與先前相較已有明顯的不同，經頻譜分析由圖七(b)發現又 增加一新的頻率0.15(即 3ω/2)。圖七(c)相平面呈現由許多封閉曲線所 疊合而成的兩個圓環，投影於圖七(d) 則為兩條線段。圖八為當 ε=1，
ω=0.1，Re=10000 時的(a)時間級數圖、(b)頻譜圖、(c)相平面圖及(d) Poincare 映射圖。由圖八(a)發現流場呈現混亂狀態，再經由圖八(b) 觀察亦發現流場不具週期性，此時流場已進入混沌(chaos)狀態。圖八 (c)中相平面由無數雜亂的封閉曲線所組成，顯示於圖八(d)則為無數 的映射點。
圖九為當調制振幅ε=1，調制頻率 ω=1，雷諾數 Re=6000 時的(a) 時間級數圖、(b)頻譜圖、(c)相平面圖及(d) Poincare 映射圖。圖九(a) 顯示擾動呈單一週期變化，由圖九(b)觀察頻譜頻率為單一頻率 1(即 ω)，代表單一週期(periodic)運動。圖九(c)中的相平面為一封閉曲線，
降維後顯示於圖九(d)為一映射點。圖十為當調制振幅 ε=1，調制頻率 ω=1，雷諾數 Re=6500 時的(a)時間級數圖、(b)頻譜圖、(c)相平面圖 及(d) Poincare 映射圖。由圖十(a)發現流場雖不是單一週期運動，但 仍可觀察出具有週期性，經由頻譜分析由圖十(b)得知頻譜頻率有 1(即 ω)和 1.5(即 3ω/2)兩個，表示流場為擬週期(quasi-periodic)運動。圖十 (c)中相平面為兩條規則性的封閉曲線，顯示於圖十(d)為兩映射點。
圖十一為當調制振幅 ε=1，調制頻率 ω=1，雷諾數 Re=8500 時的(a) 時間級數圖、(b)頻譜圖、(c)相平面圖及(d) Poincare 映射圖。由圖十 一(a)發現其與圖十(a)相似，唯一差異是振幅較大，經頻譜分析由圖 十一(b)觀察同樣是得到 1 和 1.5 兩個頻率，所以此時流場仍處於擬週
期運動。圖十一(c)中的相平面同樣為兩條規則性的封閉曲線，顯示於 圖十一(d)同樣為兩映射點。圖十二為當調制振幅 ε=1，調制頻率 ω=1，
雷諾數 Re=10000 時的(a)時間級數圖、(b)頻譜圖、(c)相平面圖及(d) Poincare 映射圖。由圖十二(a)及圖十二(b)皆無法觀察任何週期性，代 表流場已進入混沌狀態。圖十二(c)中呈現由無數曲線填滿的複雜圖 形，顯示於圖十二(d)中為無數的映射點。
圖十三為當調制振幅 ε=1，調制頻率 ω=10，雷諾數 Re=6000 時 的(a)時間級數圖、(b)頻譜圖、(c)相平面圖及(d) Poincare 映射圖。由 圖十三(a)發現流場為單一週期運動，經頻譜分析由圖十三(b)得知此 單一頻率為6.8。圖十三(c)中相平面為一封閉曲線，顯示於圖十三(d) 中為一映射點。圖十四為當調制振幅 ε=1，調制頻率 ω=10，雷諾數 Re=6500 時的(a)時間級數圖、(b)頻譜圖、(c)相平面圖及(d) Poincare 映射圖。由圖十四(a)發現流場呈週期性擾動，經頻譜分析由圖十四(b) 得知除 6.8 之外又產生另一個主要頻率 10.7，此時流場為擬週期運 動。圖十四(c)中相平面為兩封閉曲線，顯示於圖十四(d)中為兩映射 點。圖十五為當調制振幅 ε=1，調制頻率 ω=10，雷諾數 Re=8500 時 的(a)時間級數圖、(b)頻譜圖、(c)相平面圖及(d) Poincare 映射圖。由 圖十五(a)發現流場已呈混亂的狀態，進一步作頻譜分析由圖十五(b) 觀察到在緊鄰兩個主要頻率的位置生成一些不相干的頻率，代表流場 此時產生輕微的混沌現象。圖十五(c)中相平面已呈現由無數曲線填滿 的圖形，顯示於圖十五(d)中為無數的映射點。圖十六為當調制振幅 ε=1，調制頻率 ω=10，雷諾數 Re=10000 時的(a)時間級數圖、(b)頻譜 圖、(c)相平面圖及(d) Poincare 映射圖。由圖十六(a)發現流場擾動變 得更加混亂，經頻譜分析由圖十六(b)得知流場已不具週期性，表示流 場已完全進入混沌狀態。圖十六(c)中相平面依然是由無數曲線填滿的 圖形，且比先前的圖形顯得更加濃密，顯示於圖十六(d)中也依然是無 數的映射點。
經由上述的討論可得到在超越臨界雷諾數後調制頻率對流場的 影響，可歸納如下: 在低頻(ω=0.1)及中頻(ω=1)時，流場在進入混沌 之前其週期性與調制頻率存在若干比例關係，於低頻時存在有 ω、
3ω/4、5ω/4 及 3ω/2 的關係；於中頻時存在有 ω 和 3ω/2 的關係。但在 高頻(ω=10)時，此關係則不復存在，此現象顯示在高調制頻率時，壓 力梯度變動得太快導致流場中流體來不及充分吸收和傳遞能量所 致。另外，隨著調制頻率的增加，相對造成流場變動得愈快，導致流 場愈容易進入混沌的狀態。選取中頻(圖九~十二)與高頻(圖十三~十六) 作比較則可觀察到此現象，當雷諾數為 8500 時，高頻流場已開始進 入混沌狀態，而中頻流場則仍處於擬週期運動。
4.3.2 調制振幅的影響
圖十七為當調制振幅 ε=0.5，調制頻率 ω=1，雷諾數 Re=6500 時 的(a)時間級數圖、(b)頻譜圖、(c)相平面圖及(d) Poincare 映射圖。由 圖十七(a)發現擾動呈單一週期變化，經頻譜分析由圖十七(b)得知產 生單一頻率 1(即 ω)，代表單一週期運動。圖十七(c)的相平面為一封 閉曲線，顯示於圖十七(d)為一映射點。圖十八為當調制振幅 ε=0.5，
調制頻率 ω=1，雷諾數 Re=8500 時的(a)時間級數圖、(b)頻譜圖、(c) 相平面圖及(d) Poincare 映射圖。圖十八(a)顯示流場呈週期性擾動，
經頻譜分析由圖十八(b)得知產生兩個頻率分別是 1(即 ω)和 1.5(即 3ω/2)，此時流場為擬週期運動。圖十八(c)中相平面為兩封閉曲線，
顯示於圖十八(d)為兩映射點。圖十九為當調制振幅 ε=0.5，調制頻率 ω=1，雷諾數 Re=10000 時的(a)時間級數圖、(b)頻譜圖、(c)相平面圖 及(d) Poincare 映射圖。觀察圖十九(a)發現流場同樣呈週期性擾動，
經頻譜分析由圖十九(b)得知同樣產生 1 和 1.5 兩個頻率，流場仍為擬 週期運動。圖十九(c)中相平面同樣為兩封閉曲線，顯示於圖十九(d) 同樣為兩映射點。圖二十為當調制振幅 ε=0.5，調制頻率 ω=1，雷諾
數 Re=11000 時的(a)時間級數圖、(b)頻譜圖、(c)相平面圖及(d) Poincare 映射圖。由圖二十(a)發現流場擾動呈現混亂，由圖二十(b) 得知頻譜分析的結果，流場進入混沌狀態。圖二十(c)中相平面為無數 的封閉曲線，投影於圖二十(d)為無數的映射點。
選取在中頻時較大調制振幅 ε=1 (圖九~十二)和較小調制振幅 ε=0.5 (圖十七~二十)作比較可觀察到在超越臨界雷諾數後調制振幅 對流場的影響。在雷諾數為 6500 時，較大調制振幅已進入擬週期運 動，較小調制振幅仍處於單一週期運動，當雷諾數增加至10000 時，
較大調制振幅已進入混沌狀態，較小調制振幅仍處於擬週期運動。由 此得知增加調制振幅會使得流場容易分配能量至各種與調制頻率無 關的頻率分量，導致流場容易進入混沌狀態。
第 五 章 結 論
本文中藉由頻譜法以 Chebyshev 多項式及複數形式的 Fourier 級 數對流線函數作雙重級數展開來模擬調制平面普修流並求其數值 解，研究調制作用對流場產生的影響。綜合前一章所得到的結果，吾 人得到以下的結論。
1. 在非調制(ε=0)條件下，當展開項數為(7×43)項，dt=0.02 時，得到 α=1.020545，Re0=5772.22 的精確值，與 Fortin 等人（1994）及洪 英棋(2005)的結果一致。
2. 就調制作用對流場臨界雷諾數的影響而言，流場在低頻時，有明 顯的負偏移量，而在中頻至高頻之間，則有些微的正偏移量。至 於調制振幅則具有放大偏移的效應。
3. 調制流場在臨界雷諾數之後的行為，低頻(ω=0.1)流場原先為單一 週期運動(即 ω)，隨著雷諾數的增加，流場先進入由 ω、3ω/4 及 5ω/4 等頻率疊合而成的週期運動，然後進入由 ω、3ω/4、5ω/4 及 3ω/2 疊合而成的週期運動，最終進入混沌狀態。至於中頻(ω=1)及高頻 (ω=10)流場原先同樣為單一週期運動，隨著雷諾數的增加，流場進 入擬週期運動，最終處於混沌的狀態。
4. 就調制作用對超越臨界雷諾數後之流場的影響而言，調制頻率的 增加，將會使得流場的週期減短，導致流場的變化過程加快;而增 加調制強度，不但會使流場的振盪變大，也容易使流場產生與調 制頻率無關的振盪，因此增加調制頻率與調制強度都將會使得流 場容易形成混沌。
參 考 文 獻
Baker, G. L. and Gollub, J. P. 1990 Chaotic dynamics：an introduction . Cambridge university press.
Barenghi, C. F. and Jones, C. A. 1989 Modulated Taylor-Couette flow. J.
Barenghi, C. F. and Jones, C. A. 1989 Modulated Taylor-Couette flow. J.