航空貨運計價的兩個重要特性，特性之一為同時考慮重量與體積，另一特性則是數 量折扣之考量。航空貨運承攬業基於此兩項特性，利用併裝承攬貨物的方式，降低支付 給航空公司的總運價。承攬業者據此向貨主收取運費與此總運價之差價，即是承攬業獲 利之主要來源之一，以下將對此兩項特性於下做詳細說明。
2.1.1 同時考慮其重量與體積
由於運具的特性，航空貨運在計價時，延伸出一套特別的計價方式，主要原因 是飛機所能承載的重量及容量有限，若單純以重量來計算運費的話，則密度小的貨 物(如：棉花)，會佔用了大量的艙位空間，卻因重量甚輕而收取少量的運費，如此 無法有效利用有限的艙位，對航空公司來說相當不利；尤其現今航空貨物中經常有 大量高科技產品，而這些貨物通常是包裝複雜以至密度較低。反之，若只考慮體積，
則面對密度大的貨物，一樣會有對航空公司不利情形。雖然這些重貨佔用的空間不 多，但飛機有最大起飛重量之限制，會造成排擠其他貨物承載的情況發生，而且重 量所造成的油耗亦相當可觀。所以航空貨運計價時，須同時考慮託運貨物的重量及 體積，而延伸出兩個收費單位，一是毛重(gross weight)，另一是依總體積所換算得 到的容積重量(volume weight)；計價時，便從兩者中取其較大者做為收費重量 (chargeable weight)，航空公司再依據該收費重量向航空貨運承攬業者收取運費。其 中，毛重即是貨物之實際重量，而容積重量係由總體積(cm3)除以一係數所得到的，
其單位為公斤，目前全世界航空貨運業界通用的係數值是 6000 cm3/kg。接著，以 一個簡例來說明如何計算容積重量及三者之間的關係。
假設：航空貨運承攬業承攬了兩件貨物，其中貨物甲係由貨主甲託運，貨物乙 由貨主乙託運，其重量及體積如下表所示：
毛重(kg) 總體積(cm3)
貨物甲 50 150000
貨物乙 30 300000
由已知的貨物重量及體積，可直接或間接得到貨物甲、乙之毛重、容積重量以 及收費重量，如下表所示：
單位：kg 毛重(G.W.) 容積重量(V.W.,
6000 ) (cm3
總體積 ) 收費重量(C.W.) 貨物甲 50 > 25 50 貨物乙 30 < 50 50
貨物甲+乙 80 > 75 80
當承攬業者分別向貨主收取費用時，貨主甲及貨主乙均需支付收費重量為 50 公斤之運費，總共需被收取100 公斤之運費。但兩者經由承攬者合併託運後，其毛 重為80 公斤，總容積重量為 75 公斤，取其大者，則收費重量僅為 80 公斤。由此 例子，可以發現合併託運的總運費明顯較分開託運來得低，其中的差價便是承攬業
最大的利潤來源之一。
前例用來說明經由適當地合併貨物，來調整其總密度，能夠有效地降低總運 費。從航空貨運同時考慮重量及體積的計價方式，可推知當託運貨物的毛重等於總 容積重量時，承攬業需支付的總運費會達到最低。也就是說，併貨之決策過程並非 單純的將所有貨物合併託運，而是需要將密度較大的貨物(重貨)與密度較小的貨物 (拋貨)合併託運，才能達到有效降低總運費的效果。由於，目前承攬業者主要以立 方英呎(ft3, cuft)來做為體積的單位，以前述之 6000cm3/kg 而言，當毛重與總容積重 量相等時，可以推導出密度值約為4.72kg/ft3，推算過程如下所列。
假設：貨物密度為 d，體積為 v，G.W.為毛重，V.W.為容積重量 則 G.W. = v * d ; V.W. = v *
6000 1
若 G.W. = V.W. => d = 6000
1 (kg/cm3) 換算成以ft3為單位：
1ft = 30.48cm
1 cuft = 1 ft3 = 28316.84 cm3 d = 28316.84 *
6000
1 ≒ 4.72 (kg/ft3)
目前承攬業者做併貨決策時，仍是以經驗為依據，利用人工作業方式將密度大 於4.72 之貨物與密度小於 4.72 之貨物合併託運，以求最後之總密度接近 4.72，以 降低總運費之支出。
2.1.2 數量折扣及其特殊之費率曲線
航空貨運以上述之收費重量為計價基礎，隨總託運貨量的增加，航空公司給予 承攬業者數量折扣。因此，承攬業者可於滿足顧客要求之前提下，將所承攬之貨物 合併，利用較大的託運量向航空公司取得較低之單位運價，降低總運費成本而提高 利潤，此為併貨處理的利基所在。但航空貨運費率並非採分段累計式，於收費上有 其特殊之處。以下可利用一個簡單的例子來說明航空貨運特殊的費率曲線。
假設：航空公司給予航空貨運承攬業之費率如下表所示。
收費重量(kg) 0~45 45~100 100~300
單位運價(元/kg) 30 20 18
航空貨運之費率隨託運貨量的增加而降低，此費率表可轉換成總價-重量圖，
如圖2.1 所示。需注意的是，當收費重量超過任一界限值時，則全數以較低的單價 計算，而不是各分段以不同費率計算再累計加總。例如：收費重量為 50 公斤時，
總價即為50*20 = 1000 元。
由於總價的計算方式並非分段累計式，所以圖中費率結構會有鋸齒狀出現，明 顯的有不合理狀況發生。例如：託運收費重量為40 公斤之貨物，需付運費 1200 元，
而託運收費重量為50 公斤之貨物，僅需付運費 1000 元。在這樣的情況下，承攬業 者會為了付較低的費用，而多放一些不相干的重物來增加重量。如此做法並非航空 公司所樂見的，因為會浪費有限的載重量及艙位空間。
為避免這樣的情況，當託運貨運之收費重量依前段費率計算，所得之總價超過 下一費率起始點的總價時，航空公司便將該重量點到下一段費率起始點間所有重量 點的總價，比照下一段費率之起始點之總價。以上述例子而言，當收費重量為 30 公斤時，總價為30 * 30 = 900 元，與下一段費率起始點(45 公斤)之總價(45 * 20 = 900 元)已相等，於是將收費重量在 30 公斤到 45 公斤之間的貨物，均比照 45 公斤之貨 物來計算總價，也就是說30 公斤到 45 公斤之間，總價均為 45 * 20 = 900 元。而將 30 公斤稱為此段費率之重量級距(weight break)。也就是說，承攬業託運貨運之收費 重量超過一重量級距而未達下一段費率起始點時，便依下一段費率起始點來計算總 價。
圖2.1 航空貨運收費重量及總價之原始關係圖 延續前一例子，計算出其重量級距如下表：
收費重量(kg) 0~45 45~100 100~300 單位運價(元/kg) 30 20 18
重量級距(kg) 30 90 --
推算過程如下。
第一個重量級距：
30 20
*
45 = 30 kg；第二個重量級距：
20 18
*
100 = 90 kg 並繪出收費重量與總價之關係圖，如圖2.2 所示。
圖2.2 考量重量級距後，收費重量及總價之關係圖
圖 2.2 即為目前航空貨運業實際採用的費率結構(圖中有底線之數字表示重量 級距)示意圖，所表示的意思為收費重量未滿 30 公斤之貨物，以每公斤 30 元之單
Total Price
45 Kg
0 30 90 100
Price
45 100
0
價計算，而收費重量在30 公斤至 45 公斤之間的貨物，均視同 45 公斤之貨物來計 價，即總價為45 * 20 = 900 元。同理，90 公斤至 100 公斤之間的貨物，亦視同 100 公斤之貨物來計價。
由前述收費重量與總價之關係圖得知，雖然總價有固定不變的時候，但仍隨著 收費重量的增加而遞增，此成本函數屬於單調非遞減(monotonously non-decreasing) 函數。再從圖2.3(收費重量與平均單價之關係圖)來看，其特別之處在於重量級距與 下一個費率分界點之間的平均單價為凸曲線(convex curve)。而圖 2.4 (收費重量與邊 際單價之關係圖)則可以清楚地看出，在重量級距與下一個費率分界點之間的邊際 單價為0，表示收費重量每增加一單位，需加收之運費為 0，對總價並無影響。
圖2.3 考量重量級距後，收費重量及平均單價之關係圖
圖2.4 考量重量級距後，收費重量及邊際單價之關係圖
上述對航空貨運計費方式及費率特點之說明，我們可以瞭解航空貨運承攬業的併裝 決策問題是一個相當複雜的最佳化問題，且由航空貨運之費率結構可推知此最佳化問題 會是一個凹性最小化(concave minimization)的問題，其目標為最小化給付給航空公司之 總運價。此外，承攬業者實際進行併貨決策時，常需要考量顧客要求。例如：顧客由於 偏好或過去經驗影響，而指定或拒絕某航空公司之航班，或因特殊考量而限定某一航 班，以及不接受轉機等等。同時，不同的飛機種類對貨物亦有限制所在。例如：尺寸過 大的貨物無法搭客機的機腹貨艙。這些實際作業所面臨的要求及限制，都使得這個最佳 化問題的求解更為複雜。而本次研究的目的即是對相關問題，找出適當的數學規劃模式 有效解決問題的運算方式，以做為開發航空貨運承攬業之併貨決策輔助系統的核心模 組。