資料包絡分析法

第三章研究方法

第二節資料包絡分析法

資料包絡分析法的理論，奠基於義大利經濟學家 Pareto 於 1927 年所提出之包絡線分析法觀念，由生產前緣來評估各受評估決策單位(Decision Making Unit, DMU)之相對效率。Farrell(1957)提出的概念，將投入與產出的數據，經由數學規劃模式，求出生產效率前緣，並評估各決策單位的效率值，但僅限於單一產出的衡量。而 Charnes, Cooper, &

Rhodes (1978)延伸 Farrell 的理論觀念，建立一套數學評估模式，用來衡量在固定規模報酬假設下，具有多項投入、多項產出之 DMU 的相對效率值，並稱為資料包絡分析法 (DEA)。包絡線的理論是將投入與產出的值，經由線型連接而成，所形成的曲線稱為效率前緣線(Efficiency Frontier)；而落在效率前緣上的值，則代表投入與產出是具有效率的，

反之距離效率前緣越大者代表越無效率(薄喬萍、蔡美英、蔡明智，2012；張勝杰，2013；

余文德、蔡宜靜，2006)。

壹、Farrell 模式

由 Farrell(1957)所提出“The Measurement of Productive Efficiency＂論文中的單一產出多投入之概念，利用非預設的生產函數代替預設的生產函數來求出效率前緣，並將效率分作兩個部分：

(1) 技術效率(Technical Efficiency, TE)：即特定的投入，達到最大的產出能力。

(2) 分配效率(Allocative Efficiency, AE)：在給定生產技術和投入要素相對價格成本，以最適合比例分配投入要素生產之能力，即價格效率。

將此兩種效率合併之後即為總經濟效率(Economic Efficiency,EE)。

總經濟效率(EE) =技術效率(TE)×分配效率(AE)，三者關係如圖 3-2 所示。

圖 3-2 Farrell 效率前緣

資料來源：Coelli,Rao and Battese 1998, P135

在固定規模報酬(Constant Return to Scale, CRS)情況下，廠商以兩項投入要素(X1， X2)，來產出 Y，圖 SS’為等量曲線，而在線上的任一點，為固定生產規模下，最小投入的組合，即有效率之生產組合，皆會落在 SS’線上，無效率之生產組合，會落在 SS’線的右方，假設廠商生產 Y 單位，投入量是 P 點，QP 的距離為技術與規模無效率，如果透過改善效率，則可將投入減少，但不會影響產出，OQ 的距離是廠商的技術效率，故 TE= 𝑂𝑄

𝑂𝑃^，0 ≤ TE ≤ 1。

而技術效率值是介於 0~1，效率值等於 1，代表相對有效率，效率值小於 1，則未達技術效率，Q 點在等量線上，但並非成本最低，成本最低點是等量線 SS’與等成本線 AA’

的切點 Q’，Q 點雖然與 Q’點產量相同，但 Q’點的生產成本，卻比 Q 少了 QR，即 P 點配置效率為：AE= 𝑂𝑅

𝑂𝑄^，0 ≤ AE ≤ 1。

總經濟效率(EE)=技術效率(TE)×分配效率(AE)= 𝑂𝑄

𝑂𝑃

×

^𝑂𝑅_𝑂𝑄

=

^𝑂𝑅_𝑂𝑃

貳、CCR 模式

Charnes et al., (1978)將 Farrell(1957)的理論基礎，原本單一投入、單一產出，評估技術效率的方法，發展成可評估多項投入、多項產出的效率評估模式；在規模報酬固定下，

利用線性規劃(Fraction Linear Programming)模式，將所決策單位的投入項及產出項，給予客觀及最有效率的數值，並得到最適合的生產效率前緣，以此來評估決策單位之相對

ε：為極小的正數，Charnes 稱之為非阿基米德數(Non-Archimedean small number)，通常 實際應用為ε =10^-4或ε =10^-6。

模式(3-1)為分數規劃模式，亦即非線性模式，此類模式缺點為運算不易，且可能有無限多解，因此 Charnes, and Cooper, (1985)將此模式轉換成線性規劃模式：

20 數目，使得計算更具有效率 Boussofiane et al,（1991）認為，對偶式如下：

(3-3)

3. θk*=1，且 si^-及 sr⁺均等於 0，則 DMUK具有 CCR 效率，稱為 Pareto-Koopmans 效率，

係指一個有效率的 DMU，已不需要再做調整或改善。

對於無 CCR 效率之 DMU，以參考集合中之各單位作為努力達成之目標，提升效率。

提升效率的方法可從「減少投入」或是「增加產出」；一個無效率的 DMUk假設其投入、

產出為(Xk ,Yk)，若欲改善其效率，在投入項須減少投入∆𝑋：(薄喬萍，2007) ∆𝑋_𝑖𝑘 = 𝑋_𝑖𝑘− (𝜃^∗𝑋_𝑖𝑘 − 𝑠_𝑖^−∗)，𝑖 = 1, ⋯ ⋯ , m

在產出項則需要增加產出量∆𝑌：

∆𝑌_𝑟𝑘= (𝑌_𝑟𝑘+ 𝑠_𝑟^+∗) − 𝑌_𝑟𝑘

各效率之 DMU 效率邊界投影(CCR Projection)為：

∧

𝑋_𝑘 = 𝑋_𝑘− ∆𝑋_𝑘 = 𝜃^∗𝑋 − 𝑠_𝑖^−∗≤ 𝑋_𝑘 ∧

𝑌_𝑘= 𝑌_𝑘+ ∆𝑌_𝑘 = 𝑌 + 𝑠^+∗≥ 𝑌_𝑘 (3-4)

叁、BCC 模式

CCR 模式與 Farrell 模式一樣，是假設固定規模報酬 (Constant Returns to Scale, CRS)，

來衡量相對效率，而 Banker, Charnes 及 Cooper(1984)，將 CCR 模式擴充比率觀念及用於生產者的規模報酬可變動之情形，並非所有的生產者，皆是處於最適規模，推導出總技術效率不佳，可能來自於生產無效率外，也可能是因規模不當所造成，也是造成 DMU 無效率的原因，因此在考慮變動報酬 (Variable Returns to Scale, VRS) 的情形下，將 CCR 模式的估計結果，引用 Shephard(1970)距離函數 (Distance Function) 概念，讓技術與規模效率的變數，再分為純技術效率 (Pure Technical Efficiency, PTE) 與規模效率 (Scale Efficiency, SE)；以此衡量效率稱為 BCC 模式。

技術效率 (TE)=純技術效率 (PTE)×規模效率 (SE)

以 BCC 數學模式說明，假設有 n 個 DMU，各 DMUj（j=1,2,…,n），使用 m 種投入 xi（i=1,2,…,m）來生產 s 種出 yr（r=1,2,…,s），則第 j0 個 DMU 的效率值為：

j 判定 DMUk屬於固定規模報酬（Constant Returns Scale,CRS）

2. 1

j 判定 DMUk屬於規模報酬遞減（Decreasing Returns Scale,DRS）

3. 1

j 判定 DMUk屬於規模報酬遞增（Increasing Returns Scale,IRS）

肆、保證範圍(Assurance Region, AR)模式分析

在 CCR 模式評估效率時，雖然能找出相對無效率之受評單位，但卻是無法找出無

伍、折衷權重(Common Compromise Weights, CCW)

DEA 評估模式，是對每個 DMU 找出最有利的權重，來衡量相對績效，但也造成許多 DMU 變成有效率單位，而降低效率評估的鑑別度。因此為了減少所得到的權重值，

可能與原來 CCR 模式的權重值相差甚大的問題，並希望找出折衷模式的權重，能提高績效評估的鑑別度，而此權重值和 CCR 模式最佳權重值之間，差異平方和最小，則結果較容易為 DMU 所共同接受，因此可稱為折衷權重(Common Compromise Weights, CCW) 模式。以投入項而言令：

n l n u

u u

n j

rj n

j rj r



  

  ¹  ₁ ¹ (3-11) 其中，第 r 個產出變項之拆衷權重為 ur*，lrj = urj / ul*

因折衷權重模式的計算方式，會使得效率值均小於 1，故至少應有一決策單位為有效率，其效率值為 1。因此以(3-11)公式方法為相對效率值(薄喬萍、蔡美英、蔡明智，

2012)。





^j ⁿ

k , 1,2,...,

max 

 



  (3-12)

陸、敏感度分析(Sensitivity Analysis)

DEA 衡量的是相對效率，但結果會因為投入項及產出項的不同而有所差異，為了確

保結果的穩定度，所以需要再進一步瞭解資料變動，造成效率值變動的影響程度，因此依 Charnes（1985）等人，提出受評估單位變數產生變化時，對效率值所產生的影響，而衍伸下面兩個主題：

（1）決策單位變動時，視增加或減少決策單位 DMU，是否為效率前緣上的參考集合，如是則所增加或減少的 DMU 為有效率，以其參考對象的 DMU，效率值將產生改變，否則所增加或減少的 DMU 為無效率，則對其他的 DMU 效率值將不會影響效率評估。

（2）投入產出要素變動時，因評估效率，全部的投入項、產出項組合列入考慮，

經由要素的增減，可測得該影響程度。被檢視的項目對全部 DMU 所對應之虛擬乘數，若趨近於 0，則對全部 DMU 效率值不受影響，反之效率值將會改變。

在文檔中 I-Shou University Institutional Repository:Item 987654321/18813 (頁 27-36)

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