第三章 研究方法
第二節 資料穩定性檢定
第二節 資料穩定性檢定
過去學者認為總體經濟時間序列皆具有固定趨勢，因此一般研究方法以固定 趨勢模型去除掉總體經濟時間序列的固定趨勢後就是定態，再予以分析。但之後 有研究學者（Nelson and Plosser，1982）發現大多數的總體經濟時間序列均具有 隨機趨勢，因此如果只去除掉總體經濟時間序列的固定趨勢，而未去除時間序列 的隨機趨勢，之後所進行的研究分析可能產生三種問題，分別為自我迴歸係數有 小樣本的向下偏誤、t 統計量的極限分配不為標準常態，以及使變數間出現毫不 相關的變數，只因具有隨機趨勢，使我們估計出一個不應該有的相關性，也就是 由 Granger and Newbold（1974）所提出的虛假迴歸（spurious regression）問題。
所謂的隨機趨勢就是時間序列資料持續而長期性的隨機移動，以總體經濟學的解 釋來看，意指經濟體系中的外生衝擊（exogenous shocks）對於總體經濟變數的 影響為恆久的，且任意一次的衝擊會對時間序列造成持續而長期性的改變。
時間序列存在單根會造成許多問題，因此在分析研究議題前必須先對資料做 穩定性分析，一般來說會用單根檢定（unit root test）來檢測變數是否為定態。單 根檢定的概念最早是由 Fuller（1976）及 Dickey 和 Fuller（1979）兩位學者所提 出，ADF 檢定就是由 DF 檢定延伸而來的。我們給定 AR（p）模型：
β(L)𝑦𝑡= 𝛽0 + 𝜀𝑡 如果多項式方程式，
β(z) = 1 − 𝛽1𝑧 − 𝛽2𝑧2− ⋯ − 𝛽𝑝𝑧𝑝 = 0
有一個根為 1，表示此 AR（p）為一具有單根的序列。那如何檢定單根的存在？
檢定單根的方法有許多種，有 ADF 檢定（Augmented Dickey-Fuller，1984）、
DF-GLS 檢定（Elliott et al.，1996）、PP 檢定（Phillips and Perron，1988）、KPSS 檢定（Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin，1992）、ERS 檢定（Elliott et al.，1996）、
NP 檢定（Ng and Perron，2001），本文將使用 DF-GLS 檢定、PP 檢定、KPSS 檢 定、ERS 檢定做資料單根檢定。
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3.2.1 Dickey-Fuller GLS 單根檢定
DF-GLS 檢定為 Elliott, Rothenberg, and Stock（1996）所提出的單根檢定，
此單根檢定解決傳統 ADF 單根檢定之問題。單根檢定最早由 Dickey and Fuller
（1979）兩位統計學家所提出，後來的 ADF 檢定也是由 DF 檢定延伸而來，在 迴歸式中加入增廣項控制殘差項的序列相關，使單根檢定估計式的殘差符合白噪 音（white noise）之假設，其檢定原理為利用最小平方法（OLS）對迴歸方程式 進行估計，ADF 檢定之三種迴歸方程式如下：
(1) 只含截距項：
Δ𝑦𝑡 = 𝑎0+ 𝛾𝑦𝑡−1+ � 𝛽𝑖Δ𝑦𝑡−𝑖+1+ 𝜀𝑡
𝑝
𝑖=2
(2) 含截距項與時間趨勢項：
Δ𝑦𝑡 = 𝑎0+ 𝛾𝑦𝑡−1+ 𝑎2𝑡 + � 𝛽𝑖Δ𝑦𝑡−𝑖+1+ 𝜀𝑡
𝑝
𝑖=2
(3) 不含截距項與時間趨勢項：
Δ𝑦𝑡 = 𝛾𝑦𝑡−1+ � 𝛽𝑖Δ𝑦𝑡−𝑖+1+ 𝜀𝑡
𝑝
𝑖=2
其中，𝑎0為截距項，t 為時間趨勢項，𝜀𝑡~𝑖𝑖𝑑(0, 𝜎2)。
如果移去 ADF 迴歸式中的所有增廣項，就是 Dickey and Fuller（1979）的原 始概念。
虛無假設H0是「變數為非定態」，也就是H0：具有單根，若拒絕虛無假設，
則表示該序列並不存在單根，序列資料為定態；若無法拒絕虛無假設，表示資料 為非定態，須將資料做差分直到呈現定態為止。
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3.2.2 Phillips-Perron 單根檢定
雖然 ADF 檢定修改了 DF 檢定的缺陷，且 ADF 檢定雖然是常見的單根檢定，
但是其存在著低檢定力的問題，在真正的 AR（1）係數很接近 1 時檢定力會非 常低， ADF 檢定犯型 II 誤差的機率非常高，也就是實際上資料是定態的時間序 列，卻無法拒絕具有單根的虛無假設。因此，本文又加入了 Phillips-Perron 檢定 來輔助 ADF 檢定的缺陷，PP 檢定是由 Phillips and Perron 於 1988 年提出的單根 檢定，此檢定方法考量了殘差項存在異質變異與序列自我相關的情形。
PP 檢定之三種迴歸方程式如下：
(1) 只含截距項：
𝑦𝑡 = α + ρ𝑦𝑡−1+ 𝑢𝑡 (2) 含截距項與時間趨勢項：
𝑦𝑡 = α + ρ𝑦𝑡−1+ 𝜃 �𝑡 −1
2 𝑇� + 𝑢𝑡 (3) 不含截距項與時間趨勢項：
𝑦𝑡 = ρ𝑦𝑡−1+ 𝑢𝑡
其中，α為截距項；𝑡為時間趨勢項；T 為樣本的觀察數；𝑢𝑡的期望值為 0，
但不一定要符合無序列自我相關或者同質性等條件，殘差項是可以允許有弱相依 性或者異質變異。
PP 檢定的虛無假設與 ADF 檢定相同，皆為H0：具有單根，若拒絕虛無假設，
則表示該序列並不存在單根，序列資料為定態；若無法拒絕虛無假設，表示資料 為非定態，須將資料做差分直到呈現定態為止。
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3.2.3 Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin 單根檢定
雖然 ADF 和 PP 分別以增廣項與無母數（non-parametric）之方法改善問題，
但仍然有低檢定立的問題。因此除了上述兩種較為常見的單根檢定之外，本文也 加入在虛無假設不同的 KPSS 檢定，KPSS 檢定與前兩種檢定最大的差別為虛無 假設的不同，KPSS 檢定的虛無假設H0是「變數為定態」，也就是H0：不具有單 根。
KPSS 單根檢定假設變數是由一個定向趨勢、random walk 以及一個定態的 白噪音（white noise）所組成：
𝑦𝑡= 𝜉𝑡 + 𝜇𝑡+ 𝜀𝑡
其中𝜇𝑡 = 𝜇𝑡−1+ 𝑢𝑡，且𝑢𝑡和𝜀𝑡皆為 iid 的隨機變數，其平均數為 0、變異數 分別為𝜎𝑢2、𝜎𝜀2。
𝑦𝑡 = 𝜉𝑡 + （𝜇0+ 𝓊0）+ 𝜀𝑡
令𝜇0為一常數，則在𝜎𝑢2 = 0，即𝑢𝑡為一常數時可表示為上列方程式，此時𝑦𝑡為 一個定向趨勢變數，將此變數去掉趨勢之後，即可轉為定態變數。
以此前提假設 Kwiatkowski et al.（1992）下可以導出一個 LM 統計量：
𝐿𝑀 = �𝑆𝑡2
𝜎�𝜖2
𝑇
𝑡=1
其中𝑆𝑡是指殘差的累積總合，𝜎�𝜀2為殘差變異數的估計值。而 KPSS 檢定的虛 無假設是𝐻0：𝜎𝑢2 = 0，也就是假設變數為定態，因此無法拒絕虛無假設，表示變 數為定態，意即資料沒有單根；若拒絕虛無假設，表示資料為非定態，須將資料 做差分直到呈現定態為止。
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3.2.4 Elliott-Rothenberg-Stock Point-Optimal 單根檢定
Elliott-Rothenberg-Stock Point-Optimal 單根檢定是由 Elliott, Rothenberg, and Stock （1996）所提出的單根檢定方法。ERS 檢定單根與其對立假設ρ= ρ*之 POI 檢定（point optimal invariant test）統計量為：
𝑀𝑇 = 𝑆ρ=12 𝑆ρ=ρ∗2
其中，𝑆ρ2是 GLS 估計式的變異數殘差，ρ*是未知數，依不同的內容調整不 同的值。
ρ ∗= 1 −𝑐 𝑇
其中，c 為檢測的標準值，樣本觀察數有 T 個。