第三章 研究方法
第四節 資源配置模式
入變項，則會使得各受評單位新的效率值，不小於原先評估出的效率值。該篇論著僅提 出此一理念，卻未能明確地加以證明，為了強化此理論之立足依據，本研究將以定理一 予以闡釋，說明 Beasley 論述的正確性。
定理一：資料包絡分析法中，在不改變原本條件限制下，各 DMUj再各增加一個新的投 入變項，則各 DMUj的效率值不小於原先未增加投入變項的效率值，亦即：
θk’≧θk, k = 1,…,n。
證明：
假設 n 個受評單位，各有 m 個投入變項 x1, x2, ..., xm，s 個產出變項 y1, y2, ..., ys，所 評估的效率值θk, k = 1,…,n；對於此 n 個受評單位，以 CCR 投入導向對偶式進行評估，
其效率評估模式如下：
min. hk =θ
s.t. ∑𝑛𝑗=1𝑦𝑟𝑗𝜆𝑗 ≥ 𝑦𝑟𝑘
θ𝑥𝑖𝑘− ∑𝑛𝑗=1𝜆𝑗𝑥𝑖𝑗 ≥ 0 (3-9) 𝜆𝑗≧0，i = 1,2,…,m， j = 1,2,… ,n， r = 1,2,… ,s
θfree sign
當各受評單位，再各自加上第 m+1 個投入變項 xm+1時，則式(3-9)改寫成式(3-10)：
min. hk =θ
s.t. ∑𝑛𝑗=1𝑦𝑟𝑗𝜆𝑗 ≥ 𝑦𝑟𝑘
θ𝑥𝑖𝑘− ∑𝑛𝑗=1𝜆𝑗𝑥𝑖𝑗 ≥ 0 (3-10) θ𝑥𝑚+1,𝑘− ∑𝑛𝑗=1𝜆𝑗𝑥𝑚+1,𝑗 ≥ 0 (3-10-1) 𝜆𝑗≧0，i = 1,2,…,m， j = 1,2,… ,n， r = 1,2,… ,s
θfree sign
比較式(3-9)與式(3-10)可發現，式(3-10)只是多了一個限制式(3-10-1)，在求目標函 數值極小的規劃下，限制式愈多，則目標函數的數值就愈大；因此，式(3-10)的效率值 不小於式(3-9)的效率值，亦即可得證：θk’≧θk, k = 1,…,n。
定理一是指在原來的 m 個投入變項，再多加一個投入變項，則新增加投入變項後所 評估的效率值，不會小於原先投入變項組合的效率值。若是將此句之原意改為：「在原 先的 m 個投入變項上，各增加一部份的投入量，還是維持 m 個投入變項」，此時，將各 投入變項所增加的部份提出來，儘管各投入變項的單位並不相同，但將這些新增加的部 份，以「等值」觀念的換算，這些新增加的部份亦相當於一個新的投入變項。因此，在 各投入變項上，各增加一部份投入量，此句的意思與新增加第 m+1 個投入變項，此二 者的意義完全相同。
欲評估各效率值之間的變異，除了以效率值平均數θ做為各θi 之標的外，由於效 率值是以 1 為極大目標值，因此也可選用 1 為各θi之標的，換言之，要計算各效率值 彼此間的變異時，也可計算Σ (θi-1)2 = Σ (1-θi)2為變異的依據，此即本研究「極小化整 體效率變異之資源配置」論述的依據。
由於(1-θi)≧0，因此欲求極小值 Σ (1-θi)2，即等同於求極小值Σ (1-θi)，或相當於 求極大值Σθi，或是極小值ΣSj，其中 Sj表示各受評單位「投入加權和」與「產出加權 和」之差額。基於上述內容，可得出本研究推論一：
推論一：欲求得各效率值極小變異，即相當於求「效率值總和」極大值，或是求「投入 加權和」與「產出加權和」之差額極小值。
為說明本研究提出的「極小化整體效率變異之資源配置」模式，茲舉例題說明在有 限資源條件下，如何進行資源分配，得以使整體效率之變異為最低。假設有 4 個受評單 位，分別有 3 個投入變項及 2 個產出變項，其數據如表 3.10：
表 3.10 四個受評單位投入產出數據 DMUs x1 x2 x3 y1 y2
A 20 24 11 32 18 B 26 31 12 19 22 C 19 16 13 23 26 D 28 12 14 18 12 資料來源：本研究
假設有一筆獎助資金 30 單元，欲額外分贈給上述 4 個受評單位，同時期望透過獎 助資金的分贈，使各受評單位彼此間的變異減到最低，亦即受評單位「整體效率變異極 小化」；設此筆資金分贈給 4 個受評單位分別為 I1、I2、I3及 I4，在上述目標前提下，進 行最適的資源配置規劃。由於要同時考量 4 個受評單位的獎助資金分配，因此本研究應 用共同權重法進行資源配置；Azizi et al. (2007)提出非線性規劃模式，藉以評估各受評單 位之共同權重與效率，模式如下：
min. ∑𝑛𝑗=1𝑍𝑗
s.t. ∑𝑛𝑗=1𝑢𝑟𝑦𝑟𝑗+ 𝑍𝑗∑𝑚𝑖=1𝑣𝑖𝑥𝑖𝑗 − ∑𝑚𝑖=1𝑣𝑖𝑥𝑖𝑗 = 0
∑𝑛𝑗=1𝑢𝑟𝑦𝑟𝑗− ∑𝑚𝑖=1𝑣𝑖𝑥𝑖𝑗 ≤ 0 (3-11)
𝑢𝑟, 𝑣𝑖 ≥ ε，𝑍𝑗 ≥ 0， i = 1,2,…,m， j = 1,2,… ,n， r = 1,2,… ,s 各受評單位之共同權重效率，可依下式求得：
𝜃𝑝 = ∑ 𝑢𝑟
∗𝑦𝑟𝑝 𝑠𝑟=1
∑𝑚𝑖=1𝑣𝑖∗𝑥𝑖𝑝 (3-12) 式(3-11)共同權重評估方法，是以極小化各受評單位加權產出，與加權投入之差額 為目標；除此之外，該方法還考慮到每一個受評單位加權投入的特性，因而限制式中加 上了 ZjΣvixij。然而，此方法美中不足之處，在於該方法是以非線性規劃求解，不僅協助 求解的應用軟體不普遍外，非線性規劃常會產生多組解(infinite solutions)，甚至只能確 定是局部最適解(local optimal)，無法保證求得整體最適解(global optimal)。因此，本研 究提出二階段共同權重法，作為「極小化整體效率變異之資源配置」模式，得以解決此
一缺失。
式(3-11)限制式中，ZjΣvixij包含了 Zj及 vi兩種變項，兩者相乘因而成為了非線性規 劃，本研究模式第一階段，便是先尋找一組「基準投入點」做為比較基準，亦即令 xi = min{xij}，以求解出各 vi*，數學式如下：
min. ∑𝑚𝑖=1𝑣𝑖 s.t. ∑𝑚𝑖=1𝑣𝑖𝑥𝑖 = 1
∑𝑚𝑖=1𝑣𝑖𝑥𝑖𝑗 ≥ 1 (3-13) 𝛼𝑖,1𝐿 ≤ 𝑣𝑖
𝑣1 ≤ 𝛼𝑖,1𝑈
vi ≧ 0， i = 1,2,…,m， j = 1,2,… ,n， r = 1,2,… ,s
求解出式(3-13)最適解，得出各 vi*後，再代入本研究第二階段共同權重法(如式 3-14)，
此時由於各 vi*是已知的數值，因此不再是非線性規劃模式，可透過一般的線性規劃求 解。
min. ∑𝑛𝑗=1𝑆𝑗
s.t. ∑𝑛𝑗=1𝑢𝑟𝑦𝑟𝑗− ∑𝑚𝑖=1𝑣𝑖∗𝑥𝑖 − ∑𝑛𝑗=1𝑣𝑖∗𝐼𝑗+ 𝑆𝑗 = 0 𝛽𝑟,1𝐿 ≤ 𝑢𝑟
𝑢1 ≤ 𝛽𝑟,1𝑈 (3-14)
∑𝑛𝑗=1𝐼𝑗 ≤ R ur, Sj, Ij ≧ 0
R = limited grants
i = 1,2,…,m， j = 1,2,… ,n， r = 1,2,… ,s
以本研究所舉例題而言，取 x1 = 19, x2 = 12, x3 = 11 作為「基準投入點」得出下列數 學式：
min = v1 + v2 + v3
19*v1 + 12*v2 + 11*v3 = 1 20*v1 + 24*v2 + 11*v3≧1 26*v1 + 31*v2 + 12*v3≧1
19*v1 + 16*v2 + 13*v3≧1 (3-15) 28*v1 + 12*v2 + 14*v3≧1
1.2*v1 - v2≧0 0.43*v1 - v2≦0 0.68*v1 - v3≧0 0.5*v1 - v3≦0
解出式(3-15)的最適解為：v1* = 0.0337、v2* = 0.0145、v3* = 0.0169；接著進行第二 階段共同權重法，如式(3-16)所示：
min = S1 + S2 + S3 + S4
32*u1+18*u2-0.0337*20-0.0337*I1-0.0145*24-0.0145*I1-0.0169*11-0.0169*I1+S1=0 19*u1+22*u2-0.0337*26-0.0337*I2-0.0145*31-0.0145*I2-0.0169*12-0.0169*I2+S2=0 23*u1+26*u2-0.0337*19-0.0337*I3-0.0145*16-0.0145*I3-0.0169*13-0.0169*I3+S3=0 18*u1+12*u2-0.0337*28-0.0337*I4-0.0145*12-0.0145*I4-0.0169*14-0.0169*I4+S4=0
1.16*u1-u2≧0 (3-16) 0.56*u1-u2≦0
I1 + I2 + I3 + I4≦30
式(3-16)中，目標式為「投入加權和」與「產出加權和」之差額極小值，亦即本研
究推論一的內容；第 1~4 個限制式，表示各受評單位加上了新投入變項後，各受評單位 投入加權和與產出加權和差額 S1、S2、S3及 S4極小值之關係式；第 5~6 個限制式為保 證區域(Assurance Region, AR)條件，限制了權重值的範圍以避免產生數值為 0 的情況；
因為有資金數額的限制，所以最後一個限制式為分配的資金數額限制條件。
解出式(3-16)最適解為：I1 = 16.3168、I2 = 1.0599、I3 = 12.6233、I4 = 0；亦即在獎助 資金有限額度下，以本研究二階段共同權重法求得的資源配置結果，可使得各受評單位 效率值提升到最大，或可使得全部受評單位效率值之間的變異為最小。為驗證本研究模 式，茲以下述方式進行比較：
1. 未增加新的資源情況下，各受評單位效率值的變異數。
2. 增加新的資源情況下，各受評單位效率值的變異數。
第一種情形下，各受評單位的效率值為：θ1 = 1.0000、θ2 = 0.6122、θ3 = 1.0000、
θ4 = 0.5837，變異數= 0.05402；
第二種情形下，各受評單位的效率值為：θ1 = 1.0000、θ2 = 1.0000、θ3 = 1.0000、
θ4 = 1.0000、變異數= 0.0000。
透過例題與結果的比較，驗證了本研究提出的二階段共同權重法，作為「極小化整 體效率變異之資源配置」模式的正確性，以本研究的規劃模式，即可得到最適的資源配 置結果。