第三章 研究方法與理論基礎
3.2 資料包絡分析法基本概念
DEA 模式之效率衡量觀念是藉由所謂的「相對效率」(relative efficiency)，利 用數學技巧將受評估單位(decision making unit, DMU)區分「有效率」(efficiency)與
「無效率」(inefficiency)兩種。其相對效率之衡量係建立於一柏拉圖最適境界(Pareto optimal frontier)之效率觀念上，亦即：(1)針對某個產出項，除非增加投入資源或減
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少其他產出項之若干產量，否則該產出項之產量無法被增加；(2)針對某個投入項，
除非減少產出或增加其他投入項之若干投入資源，否則該投入項的投入資源無法 被減少。
Farrell(1957)提出以「非預設生產函數」代替「預設函數」來預估生產效率的 衡量方法，他以生產前緣衡量效率的觀念，利用線性規劃的方法求出確定性無參 數效率前緣(deterministic non-parametric efficiency frontier)，此即「效率生產函數」。
Farrell 假設廠商使用單一投入(X)生產單一產出(Y)，則投入產出之關係可用函數 y=f(x)表示，f(x)為效率邊界。若由投入面來衡量，則在產出固定情況下，技術效 率定義為最小可能投入與廠商實際投入之比；若由產出面來衡量，則在投入固定 情況下，技術效率定義為廠商實際產出與最大可能產出之比。在效率前緣即等產 量曲線上的每一點都具有完全的技術效率，亦即每一點的技術效率值皆為1。
Farrell 的研究建立了 DEA 非預設生產函數方式衡量效率的雛形，然其處理之 問題僅限於單一產出之情況。直至Charnes, Cooper & Rhodes(1978)依據 Farrell 之 效率衡量觀念建立一般化數學模式後，始正式定名為「資料包絡分析法」(DEA)，
並可用來評估多投入多產出的相對效率值。
DEA 方法在幾何學意義上的解釋，是藉由包絡線原理，將所有決策單位的投 入項與產出項投射到空間中並尋找其最低的邊界(即效率前緣)。凡落在邊界上的 DMU，便表示其投入 產出組合是具有相對效率的，而落在邊界內的 DMU，則表 示其投入與產出組合是無相對效率的，效率前緣係由所有樣本資料採用數學規劃 方法所求出。
假設有六個不同生產單位（A、B、C、D、E、F），分別以不同量之投入項目
（X）生產不同量之產出項目（Y），如圖 1 所示。首先若假設此組資料之規模報 酬為可變動的情況，則其所評估對DMU 最有利的生產函數為連接單位 A、B、C、
D 之線段，超出 D 單位部分為水平線，表示投入量若持續增加，產出不應減少。
其次，由於單位A、B、C、D 落於生產函數上，因此這四個單位之效率值為 1；
單位E 位於生產函數之下，則其效率值為實際產出IEE與理論產出IEE*的比值；
同理，單位F 的效率值為 * F I F I
F
F 。
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其次，若假設此組資料之規模報酬為固定，即投入量等比例增加時，產出亦 等比例增加，則此時生產函數為通過原點O 與點 B，並覆蓋於所有觀測點之直線。
因此只有點B 位於生產前緣線上之有效率單位；其餘則否，以 A、E、F 為例，其
效率值依序為 0
A I A I
A
A 、 0
E I E I
E
E 、 *
F I F I
F
F 。
圖 2 資料包絡分析法推估生產函數與評估效率值之圖解 3.3 資料包絡分析法之模式
3.3.1 CCR 模式
Charnes, Cooper & Rhodes(1978)針對 Farrell 模式未能處理多元產出生產行為 的問題，依據Farrell 的效率衡量理論基礎，結合自然科學上以比率方式衡量效率 的觀念，發展出數學規劃比率模式。將多投入與多產出的情形，加權整合成為單 一投入與單一產出，並以此種虛擬的投入產出比率作為DMU 效率衡量的指標，即 所謂的CCR 模式，並將其定名為資料包絡分析法。
CCR 模式假設固定規模報酬(constant return to scale, CRS)，亦即每一單位的投 入可得產出量為固定，不因規模大小而有所改變。又依經濟學角度可分為投入導 向與產出導向，本研究主要以產出導向為例，從產出面建立其模型，其所求為實 質投入對實質產出的比率，使指在既定的投入水準下比較產出之達成狀況，使否
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ε ：表極小的正數，Charnes et al.（1979）稱為非阿基米德數，在實際使用上常設 為10−6。
由(1)式可知，X 與i Yr是各個DMU 的實際投入與產出資料，而 CCR 模式是以 DMU 的各項產出、投入之權數為變數，效率值是符合所有限制條件下(如效率值均 不大於1)，產出加權和與投入加權和之最大比值，當此比值為 1 時，稱為相對於
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28 權數的互補差額變數(complementary slack variables)，由此差額變數可瞭解投入與 產出方面各有多少改善空間。當θ =1 且s =r− s =0 時，則表示該 DMUi+ k具有效率， Banker、Charnes 與 Cooper 以生產可能集合四個公理與 Shephard 距離函數，導出 能衡量技術效率與規模效率的BCC 模式，則 BCC 模式屬於變動規模報酬。
CCR 模式採用目標式與限制式的數學規劃技巧，計算出個別 DMU 的相對效 率值。而Banker、Charnes 與 Cooper 在投入產出為多項的情況下，將 CCR 模式修 正為BCC 式，本研究依舊衡量受平單位之產出導向模式，係針對相同之投入水準 下，比較產出之達成狀況，模式為（14）所示。
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ε ：表極小的正數，Charnes et al.（1979）稱為非阿基米德數，在實際使用上常設 為10−6。
u ：無正負限制 0
模式中u 代表規模報酬的指標，經由0 u 可以判斷處於何種狀況。當: 0
u =0 時代表該 DMU 為規模報酬固定(constant return to scale，CRS) 0 0 >0
u 時代表該DMU 為規模報酬遞減(decreasing return to scale，DRS)
0 <0
u 時代表該DMU 為規模報酬遞增(increasing return to scale，IRS)
模式（14）不易求解，但可經由固定分母的值藉由轉換成線性規劃模式，形
30 稱為規模效率，即生產效率等於技術效率與規模效率的相乘。依據Banker 等(1984) 中所示可知「技術效率值technical efficiency」(TE)為「純粹技術效率值 pure technical efficiency」(PTE)與「規模效率值 scale efficiency」(SE)值相乘。所以求得下列式子：
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TE=PTE×SE SE=TE/PTE
其中SE=1 表示決策單位正位於最適規模效率水準；若 SE<1 則表示決策單位 處於規模無效率狀態，但無法判定該規模效率水準是由遞增或遞減規模報酬所引 起。故Fare, Grosskopf and Lovell(1985)提出，因此只要加入非遞增規模報酬 (non-increasing return to scale,NIRS)條件，即在下述對偶公式中將
∑
= n =
j j 1
λ 1改變為
∑
= n ≤j j 1
λ 1，重新求解即可得出各決策單位非遞增規模報酬之技術效率，再將各決策 單位的非遞增規模報酬(NIRS)之技術效率與變動規模報酬(VRS)作一比較，即可得 知決策單位處於何種規模報酬階段，其中判斷條件如下：
當TENIRS ≠TEVRS時，決策單位處於遞增規模報酬階段。
當TENIRS =TEVRS時，決策單位處於遞減規模報酬階段。
當TECRS =TEVRS時，決策單位處於固定規模報酬階段。
3.4 資料包絡分析法模式分析 3.4.1 效率分析
由DEA 評估相對效率之結果，除了可利用 CCR 模式計算總體效率，及以 BCC 模式計算技術效率外，並可以藉由規模效率判斷投入與產出比例是否適當。總體 效率為相對有效率的DMU，其技術效率與規模效率亦同時為相對有效率。當整體 技術效率越高，代表生產者之生產效率越高；技術效率值越高，表示投入要素之 使用越有效率；規模效率值越高，則生產力越大。
3.4.2 差額變數分析
由於 DEA 是透過衡量對象中最有效率的單位形成效率前緣，再以效率前緣 作為效率衡量標準，差額變數分析即是以效率前緣為標準，針對被評為相對無效 率之DMU 進行分析，以清楚了解各組織在目前經營情況下資源使用狀態及可改善 的方向與幅度。
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由3.3.1 節所推導之式（8）可找出差額變數S 與r+ S ，並由式（12）可得到目標投i− 入量x 與目標產出量ik* y ，進而瞭解欲達到效率境界所需進行調整的方向與數量。rk* 由（12）式所求得 DMUk之效率目標，可得知理想投入產出與實際投入產出之差 如（26）及（27）所示：
- ik* ik
ik x x
x =
Δ (26)
rk rk
rk y y
y = *
-Δ (27)
由式(26)與(27)可知，DMUk應減少Δ 之投入，並增加之xik Δ 產出，以改善其相對yrk 效率。
3.4.3 規模報酬分析
DMU 之無效率可能是來自技術效率，或不同規模報酬的規模效率。在規模報 酬變動的BCC 模式分析時，當規模效率值等於 1 時，該 DMU 即已達到最適生產 規模。而DMU 的規模效率值小於 1 時，規模報酬可能是屬於遞增或遞減之情況，
可以藉此決定應該由增加或減少投入來趨近最適生產規模。
藉由 BCC 模式中之變數u 可以判別該 DMU 處於規模報酬遞增、固定或是遞0 減。當規模報酬處於遞增時，邊際產出大於邊際投入，該DMU 可藉增加投入量來 達到規模效率；當規模報酬處於固定時，邊際產出等於邊際投入，表示該DMU 處 於規模效率；當規模報酬處於遞減時，邊際產出小於邊際投入，該DMU 可藉減少 投入量來達到規模效率。
3.4.4 敏感度分析
由於DEA 模式的結果易受考慮的投入產出屬性，以及 DMU 的資料影響，為 使評估結果更具效果，可更進一步使用敏感度分析，釐清不同投入產出資料發生 變動時影響的程度如何。
當檢驗增加或減少某一項投入項或產出項時，是否有某些DMU 之相對效率值 因此而有大幅度增加或減少，可以反映出所增加或減少的投入產出項對這些DMU 的重要性。
3.5 資料包絡分析法之應用假設與限制
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DEA 模式有其假設前提與應用的限制(黃旭男(1993)、邱裕鈞等人(2003))，使 用資料包絡分析法進行效率評估上時，由於DEA 是一種相對而非絕對之比較，故 當DMU 判定為有效率時，未必真正具有生產上之效率；當 DMU 被判定具有效率 時，僅代表其在該群DMU 當中具有相對性之效率；也由於 DEA 模式是一種非隨 機線性規劃模式，其所求解之效率極易受界外值(outliers)影響，進而影響整個效率 的估計值。在DEA 模式中所求得的權重具備資料標準的功能，因此只要其投入與 產出項資料採用相同的計量單位，可以不用在做處理。
由於在使用資料包絡分析法評估效率時，是透過比較性的方式來評估各單位 之間的相對效率。因此評估的單位彼此之間應當要滿足有一定的同質性，否則差 異過大的單位之間亦無從相互比較起，即不適宜採用資料包絡分析法。針對應用 資料包絡分析法上的限制，以下由對受評估單位之篩選與投入產出項之選擇上的 限制進行說明。
由於在使用資料包絡分析法評估效率時，是透過比較性的方式來評估各單位 之間的相對效率。因此評估的單位彼此之間應當要滿足有一定的同質性，否則差 異過大的單位之間亦無從相互比較起，即不適宜採用資料包絡分析法。針對應用 資料包絡分析法上的限制，以下由對受評估單位之篩選與投入產出項之選擇上的 限制進行說明。