第三章 高溫下之有限元素分析模型驗證
3.3 有限元素分析結果
在有限元素分析中，將針對三種外形(放大器長度)之振動系統進行 分析。在熱傳分析中，將四個量測點之溫度以及冷卻水溫當作邊界條 件，並選擇穩態(Steady-state)作為求解方法，可得到振動系統的溫度分 佈，如圖 3-17，此為放大器長度 209mm 時，控制點溫度為 100°C 之 溫度分佈圖，而此振動系統其溫度分佈趨勢皆相同。圖 3-18 為放大器 中心軸之溫度分佈曲線，圖上之資料點則為實驗量測之溫度，可發現 不同外形的放大器其量測點之溫度幾乎相同，且前三個量測點的溫度 呈線性分佈；第三和第四量測點的溫度較接近。由模擬結果來看，從 放大器底端算起約為 105mm 以上之結構都已降溫至常溫。
圖 3- 17：放大器長度 209mm，100°C 之溫度分佈圖(unit: °C)
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圖 3- 18：放大器長度 209mm 之軸心的溫度分佈曲線
在結構分析中，將熱傳所得之溫度分佈設定為溫度的初始條件，
並設定系統固定端之結構邊界，以靜態(Static)求解。結果可得到振動 系統之熱應力、熱膨脹等數值，圖 3-17 為第一量測點加熱至 100°C 之 熱膨脹外形，此振動系統在其他溫度下則皆有一樣趨勢的分佈。
圖 3- 19：放大器長度 209mm，100°C 之位移分佈圖(unit: m)
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damping ratio (10-4)
溫度(℃)
202mm
205mm
209mm
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201 202 203 204 205 206 207 208 209 210
damping ratio(10-4)
horn長度(mm)
25℃
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件間之接觸面都不考慮；但在實際的振動系統中，有許多螺絲孔、
溫度量測孔等等，元件間也是以螺絲鎖附，再加上冷卻水罩及加熱 爐的架設，都有可能導致振動系統有所變化，故模擬只能代表理想 狀態下的情況。
(2) 實驗量測的誤差：在實驗量測中，除了人為讀取誤差、雜訊會影響 數據的讀取之外，儀器的精度也會有所影響。量測頻率時，熱壓機 台的加熱爐產生的電磁波干擾網路分析儀的訊號，因此使讀取到的 共振頻率有誤差；量測頻寬時，網路分析儀量測訊號時可輸出數據 做整理，訊號值是每 2.5Hz 取一次值，運算時難免有誤差，計算出 來的頻寬再利用式 2-19 計算阻尼值。
(3) 材料性質：高溫下的系統著重在放大器的溫度分佈，模擬使用的材 料參數是參考文獻中其他研究者所做之高溫材料試驗，與實驗中母 材並非完全相同，最有影響力的參數如熱膨脹係數、楊氏係數等，
這些參數可能會使模擬之共振頻率產生誤差。
除了上述原因之外，仍有其他如網格累積、人為因素或儀器造成 的誤差，但由整體的研究結果來看，系統共振頻率之誤差仍在電子訊 號產生器追頻範圍 200Hz 內，故此模型是可以有效預測出振動系統在 不同工作溫度下之共振頻率。
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第四章 最佳化設計分析
本章主要介紹建立最佳化設計流程(模組)及實驗驗證。初步先利用 常溫下之有限元素模型，改變其振幅放大器外型，針對放大器振幅輸 出端不同面積之振幅均勻度進行最佳化設計，探討不同面積下其振幅 均勻度，再針對具有溫度分佈的系統進行最佳化設計，建立一個可實 際應用在熱壓機台上並改善振幅均勻度的超音波振動系統最佳化設 計。
4.1 最佳化設計概述
最佳化設計的過程，首先是將物理問題經由轉換成為標準的數學 模式，大致上可分成以下三個步驟：
(1) 選定設計變數(Design Variable)
對一工程問題而言，系統經由工程上之假設理想化的模式，通 常是由一組數量來描述，其中包括尺寸大小、材料特性等不同的 數量。在設計之初為了簡化問題，常將數量分成預定變數及設計 變數兩種，預定變數在設計過程中是視為常數不予改變，而設計 變數則是被允許改變的數量，通常設計變數之選取，取決於設計 者的經驗。
(2) 確定限制條件(Constraints)
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任何系統在設計、製造、操作上，都具有程度不同的限制條 件，這些限制條件通常是針對合理的物理現象而設定，如加工上 的要求或限制等，這些限制條件必須以數學上的等式或不等式來 描述。而這些限制條件也必須是設計變數之函數，才有意義，所 以常稱之為限制函數。
(3) 確立目標函數(Cost-function or Objective Function)
在上述的限制條件之下，一個系統可能有許多組的合適解，為 了確定目標，則需要有一些準則來比較不同設計解之設計系統的 優劣，即是確立目標函數作為判斷準則，以此為在設計過程中所 欲達到的目的與目標。同樣地，目標函數亦必須是設計變數的函 數，設計系統才有意義。
4.2 最佳化數學模式
解決最佳化問題的數學模式，如上節所述，首先需設定 n 個獨立 的設計變數，且目標函數 f 必須為 n 個設計變數之函數，同時又要滿 足 p 組等式之限制條件，與 m 組不等式之限制條件，最佳化數學模 式如下列所示[27]
設計變數：
xn
x x
x1, 2, 3,..., (4-1)
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SmartDO 是以數值最佳化設計為核心基礎的軟體，整合現有 FEA/CAD/CAE/CFD 技術驗證流程，以智慧型運算法控制設計變數，
將整個運算流程變成自動最佳化的設計系統，並可套用於任何軟體上
。圖 4-1 為 SmartDO 的設計流程，透過模擬計算來適當的改變初始參 數，可以達到較佳的結果並符合需求。
而 SmartDO 具備以下優點：
(1). 有快速、準確與穩定的求解器。
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(2). 由 CAE 分析專家所開發測試，真正了解 CAE 問題與重點。
(3). 使用標準 Tcl/Tk.二次開發之程式碼，可重複跨平台使用。
綜合以上優點，本研究使用 SmartDO 數值最佳化設計軟體作為最佳化 的工具。
圖 4- 1：最佳化設計流程[28]
4.4 最佳化設計流程
在 ANSYS 中 ， 任 何 於 圖 形 介 面 操 作 的 流 程 都 會 被 記 錄 在 Jobname.log 過程檔裡，SmartDO 需透過修改此過程檔來連接 ANSYS，
另外 SmartDO 還需要目標函數、限制條件與主程式(變數初始與上下界) 的三個.tcl 程式檔，最後將此四個檔案放於同一資料夾裡執行有限元素 分析並串聯最佳化分析，收斂結束後須開啟 ANSYS 確認最佳化的正 確性。圖 4-2 為 ANSYS 串聯 SmartDO 的流程圖：
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圖 4- 2： SmartDO 串聯 ANSYS 流程圖
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4.5 常溫下超音波振動系統之最佳化設計
本研究先利用常溫下之有限元素模型，針對輸出端面之振幅均勻 度，改變其振幅放大器外型，並加入縱向模態振型、共振頻率等為限 制條件，建立常溫下之最佳化設計。在前面章節中有限元素模型為了 方便實驗驗證，故放大器外型為直徑 40mm 之圓柱，但隨著熱壓玻璃 面積增大，放大器輸出振幅端面也需放大。考慮機台限制及加工製造 等因素下，本研究振幅放大器外型選擇階梯型，但階梯型容易有應力 集中的現象，故於連結處導角以減少此現象。目前本實驗室所熱壓成 形之玻璃尺寸為 40×40mm，為了提高加工精度與品質，故振幅放大器 輸出端面在直徑 60mm 內其振幅均勻度要在 10%內。另外，由於輸出 端面大小會影響振幅均勻度，故先針對不同輸出端面進行常溫下最佳 化設計。
本節首先針對不同輸出端面直徑之振幅放大器，放大器輸出面直 徑分別為 60mm、65mm、70mm、75mm、80mm、85mm、90mm。設 計變數示意圖如圖 4-3 所示，改變放大器長度(G、H、L)及連接處導角 (R)。在選取縱向模態方面，利用縱向模態特性亦即在輸出端面中心 z 方向之位移一定大於 x、y 方向之位移。因熱壓機台限制其放大器總長 度須在 202mm 到 272mm 間，除此之外，為使超音波系統與電子訊號 產生器共振故選定其共振頻率為 35.1kHz 到 35.5kHz 間。由於最佳化
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模擬中是利用模態分析取得輸出端面之振幅，故目標函數設為在輸出 端面中∅60mm 內最大振幅(Umax)與最小振幅(Umin)差和最大振幅的 比值。
以放大器輸出面直徑為 60mm 為例，設計變數示意圖如圖 4-3 設計變數：
階梯型放大器長度(H)，初始值：65mm
階梯型中直徑 60mm 長度(L)，初始值：30mm 階梯型中連接處導角(R)，初始值：8.5mm 圓柱型放大器長度(G)，初始值：140mm 設計變數邊界條件：
40mm ≤ H ≤ 80mm (4-6) 20mm ≤ L ≤ 60mm (4-7) 5mm ≤ R ≤ 9mm (4-8) 130mm ≤ G ≤ 150mm (4-9) 限制條件：
|frequency − 35300Hz| ≤ 200Hz (4-10)
|𝐺 + 𝐻 − 237mm| ≤ 35mm (4-11) 目標函數為：
minimize
|U
max|U −U
min|
max
|
(4-12)60
圖 4- 3：振幅放大器輸出面直徑為 60mm 之設計變數示意圖 最佳化設計之結果見表 4-1；最佳化收斂曲線如圖 4-4；最佳化後之振 動系統外型如圖 4-5；在縱向共振頻率下其振動型態與相對位移分布圖 如圖 4-6；振幅放大器輸出端面相對位移如圖 4-7。
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圖 4- 5：放大器輸出面直徑為 60mm 之最佳化後外型
圖 4- 6：放大器輸出面直徑為 60mm 之最佳化後相對位移分布圖
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圖 4- 7：放大器輸出面直徑為 60mm 之最佳化後端面輸出相對位移圖
由圖 4-4 可發現輸出振幅均勻度在 8.75%收斂；表 4-1 可得知初始 設計其振幅均勻度在 17.26%，最佳化後之設計其均勻度在 8.75%符合 在 10%內。接著針對不同放大器輸出面直徑之最佳化設計後結果見表 4-2，其設計變數及變數邊界條件等請參考附錄 A。由表 4-2 可發現隨 放大器輸出端面直徑越大其振幅均勻度越差，但在輸出端面中直徑 60mm 內振幅均勻度，並未明顯呈現因輸出端面直徑越大而其均勻度 變差。
-0.52 -0.515 -0.51 -0.505 -0.5 -0.495 -0.49 -0.485 -0.48 -0.475 -0.47 -0.465
0 5 10 15 20 25 30
UZ
輸出端面半徑(mm)
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故在設計變數中加入輸出端面直徑(M)，其變數邊界條件為 65〜75mm。
並改變其放大器外形進行最佳化設計(定其最佳化設計名 Roomtemp1)，
設計變數示意圖如圖 4-8。
設計變數：
階梯型放大器長度(H)，初始值：70mm
階梯型中直徑 60mm 長度(L)，初始值：35mm 階梯型中連接處導角(R)，初始值：10.5mm 圓柱型放大器長度(G)，初始值：140mm
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輸出端面直徑(M)，初始值：69mm 設計變數邊界條件：
40mm ≤ H ≤ 80mm (4-13) 20mm ≤ L ≤ 70mm (4-14) 5mm ≤ R ≤ 12.5mm (4-15) 130mm ≤ G ≤ 150mm (4-16) 65mm ≤ M ≤ 75mm (4-17) 限制條件：
|frequency − 35300Hz| ≤ 200Hz (4-18)
|𝐺 + 𝐻 − 237mm| ≤ 35mm (4-19) 目標函數為：
minimize
|U
max|U −U
min|
max
|
(4-20)Roomtemp1 最佳化設計之結果為表 4-3；最佳化收斂曲線如圖 4-9；最 佳化後其振動型態與相對位移分布圖如圖 4-10；振幅放大器輸出端面 相對位移如圖 4-11。
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圖 4- 8：Roomtemp1 之設計變數示意圖
表 4- 3：Roomtemp1 之最佳化結果
H (mm)
L (mm)
R (mm)
G (mm)
M (mm)
系統共 振頻率 (Hz)
∅60 內振 幅均勻度
(%)
最佳化
初始值 70.0 35.0 10.5 140.0 69.0 34141 57.85
最佳化
設計 67.616 41.584 10.628 139.498 68.642 35141 6.76
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圖 4- 9：Roomtemp1 之最佳化收斂曲線
圖 4- 10：Roomtemp1 之最佳化後外型
0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0
0 5 10 15 20
目標函數(%)
迴圈數(次)
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圖 4- 11：Roomtemp1 之最佳化後相對位移分布圖
圖 4- 12：Roomtemp1 之最佳化後輸出相對位移圖
由表 4-3 可得知其振幅均勻度為 6.76%比表 4-2 中均勻度 7.52%更
由表 4-3 可得知其振幅均勻度為 6.76%比表 4-2 中均勻度 7.52%更