軟鋼彈簧下樓梯的探討

觀察軟鋼彈簧下樓梯狀態，可將彈簧的兩個端面分別置於樓梯頂部不 同高度的兩台階上，放手以後在高處彈簧端部會突然翹起，彎曲，下降 到低處台階，接著另一端部翹起，重複此過程，直到下降到樓梯的最底 部為止(劉延柱，1996)。

其下樓梯遁走的模型分為三類，其參考依據各有不同解釋，尚未有一 致看法。以下僅就模型型態加以描述：

（一）、圓柱體左右受力不均衡導致柱體上升下降模型

劉延柱(2008)將彈簧劃分為 3 個部分：彎成拱型的 B0，左端的短圓柱 形 B1，右端的長圓柱形 B2（圖 2-1-4）

圖 2-1-4 彈簧受力圖

彈簧處於平衡時，B0的兩端受到大小相等、方向相反的力偶 M1和 M2

的作用以維持彎曲狀態。兩個反作用力偶-M1和-M2分別作用於 B1 和 B2。 地面對於彈簧的約束是單面約束，只能產生使彈簧受壓的法向約束力 FN1

和 FN2。B0作用的重力 W0為左右兩部份重力 W0/2 之和，設 B1、B2作用的重 力分別為 W1和 W2，則約束力 FN1和 FN2應滿足：

FN1= W1＋W0/2 FN2= W2＋W0/2

FN1和 FN2的作用線必須分別向右和向左偏離彈簧的中心線，與重力 W1和 W2構成力偶和-M1和-M2相平衡。假設偏移距離分別為 a1和 a2，M 為力 偶 M1和 M2的模，則應滿足

a1=M/ FN1，a2=M/ FN2

法向約束力 FN1和 FN2必須在端面範圍以內才可能存在。設彈簧的半

徑為 a，彈簧平衡的充分必要條件為 a1＜a，a2＜a

由於 W1＜W2，FN1＜FN2，則 a1＞a2。隨著兩端高度差的增加，W1和 FN1

不斷減小，a1隨之不斷增大。當 a1增大到與 a 相等時，彈簧左半部分的 平衡處於臨界狀態。這時只要 a1稍稍超過 a，左端面的法向約束力 FN1即 突然消失而解除約束，並在力矩-M1的作用下向上翹起，在空中順時針向 右旋轉。彈簧朝相反方向彎曲，一旦左端面越過 B2，即在重力作用下向 下加速墜落，直到與下一台階表面接觸時為止。在新的約束條件下，彈 簧原來的左半部分轉變成右半部分，從而完成一級台階的下降。來自重 力所作的功使彈簧重覆進行此過程，便可連續不斷地下降到樓梯的最底 部。

（二） 、縱向波擺盪模型

W.J.Cunningham(1947)描述軟鋼彈簧下樓梯的連續組態(圖 2-1-5)，在 最上一階梯,把 A 端快速地升起和旋轉，向右下降到下一階梯.（圖 2-1-5a）

抓住 A 端大約以一個線圈作為軸的直徑，快速提升和旋轉，並允許彈簧 落入到右邊及到下一階梯(圖 2-1-5b）。在上一階彈簧的堆疊部分迅速動作 後，在下一階梯堆疊起來(圖 2-1-5c)。其個別線圈移動的速度取決於彈簧 被拉長的距離，並且，反過來時取決於階梯的高度。即 B 端從上一階梯 上升的動作是由它的速度決定的。如果移動速度慢時，它可能會先碰到 柱體的頂部，然後向右翻轉，下降到下一個台階(圖 2-1-5d)。如果 B 端的 速度很快時，則 B 端會沒有碰擊到柱體頂端而完全飛過去，直接落至下

一個的階梯(圖 2-1-5e)。如果台階的高度不超過 5 ～10 cm，在這兩種情 況下，彈簧從上一階梯到下一階梯前進動作是連續的且非常流暢，均勻。

反之高度太大時，彈簧的動作會變得暴力和不穩定，容易從一側偏移直 線改變方向到另一側。其下樓梯遁走現象可看成是縱向疏密波動，移動 速度ν=(k/D)^½，k 為單位長度的彈力係數，D 為單位長度的質量。

圖 2-1-5 彈簧從高階到低階的連續組態

（三） 、雙擺擺盪原理模型

Ai-Ping Hu(2009)將金屬彈簧改良成單擺形式的三維彎曲彈簧，修 改後的彈簧會像沒修改前的彈簧(1 秒/階)一樣以同樣的方式下樓，而且 運動速度更快，為 10 ^{- 1}秒/階。每個“鏈”是總彈簧的長度的一半，動態 的碰撞模型之間是雙擺，定義為立鏈和擺鏈。並分別測量從垂直地面（平 行於重力的方向）的角度為θ1 和θ2（圖 2-1-6）。當擺鏈在下一階梯 C 點發生完全無彈性碰撞後，立鏈脫離階梯升空後旋轉，立鏈和擺動桿在 瞬間切換角色(立鏈現在接觸下一台階和擺鏈正要脫離階梯升空)。兩個 鏈路的角速度進行不連續變化，繼續向下走下一階梯，此時，立鏈、擺 鏈又互換角色，致使新立鏈的末尾接觸台階（即，舊的擺鏈），而新的

擺鏈（舊的立鏈）從台階脫離到空中(圖 2-1-7)。

圖 2-1-6 兩個自由度系統模擬彈簧下樓梯

圖 2-1-7 兩個鏈路系統在下一階梯發生碰撞後切換角色的模型