軸對稱與軸對稱圖形

在日常生活裡，我們常見到下面一些圖形(圖 3-60)，例如，

畫出的雙手，天平的兩個秤盤等。如果把它們沿某一條直線翻摺 過來，其中一個就與另一個重合。

把一個圖形沿著某一條直線摺過來，如果它能夠與另一個圖 形重合，那麼我們說這兩個圖形關於這條直線對稱，兩個圖形中 的對應點叫做關於這條直線的對稱點，這條直線叫做對稱軸。例

(第 1 題) N B A M

O

圖 3-60

如，在圖 3-61 中，△ABC 與△A B C′ ′ ′關於 直線 MN 對稱，點 A 與 A′、B 與 B′、C 與 C′

是關於直線 MN 的對稱點，直線 MN 是對 稱軸。

因為兩個關於某直線對稱的圖形是可 以互相重合的，所以它們一定全等。

下面，我們研究關於軸對稱的兩個圖 形之性質。

根據定義，如果點 A 與點 A′是關於直線 MN 的對稱點 (圖 3-61)，那麼沿 MN 摺過來，點 A 與點 A′重合，於是

AP=PA′、 MPA∠ = ∠MPA′= ∠Rt 也就是直線 MN 垂直平分線段 AA′。因此可得：

性質 1 如果兩個圖形關於某直線對稱，那麼對應點的連線 被對稱軸垂直平分。

在圖 3-61 中，把兩個圖形沿對稱軸 MN 對摺後，直線 AB 與 A B′ ′能夠重合。如果直線 AB 與 MN 相交，那麼 A B′ ′也與 MN 相 交於同一點。因此，又可以得到：

性質 2 兩個圖形關於某直線對稱，如果它們的對應線段或 其延長線相交，那麼交點在對稱軸上。

性質 1 的逆命題：「如果兩個圖形的對應點連線被同一條直 線垂直平分，那麼這兩個圖形關於這條直線對稱」也是成立的。

我們有時用它判定兩個圖形是否對稱。

【例 1】 已知： △ABC 與直線 MN (圖 3-62)。

求作： △A B C′ ′ ′，使△A B C′ ′ ′與△ABC 關於 MN 對稱 作法： 1. 作 BD⊥MN，垂足是 D。延長 BD 到 B′， 使 DB′ =DB，得到點 B 的對稱點 B′。 2. 同法作點 C 的對稱點 C′。

3. 因為點 A 在對稱軸 MN 上，所以點 A 的對 稱點 A′與 A 重合。

4. 連結 A B′ ′、 B C′ ′、 C A′ ′。 △A B C′ ′ ′就是所求的三角形。

圖 3-61 C

B N

A A′

B′

C′

P M

【例 2】 如圖，在鐵路 a 的同側有兩個工廠 A、B，要在路邊建 一個貨場 C，使 A、B 兩廠到貨場 C 的距離之和最小。

在圖上作出點 C。

已知： 直線 a 與 a 的同側兩點 A、B (圖 3-63)。

求作： 點 C，使 C 在直線 a 上，並且 AC CB+ 最小。

作法： 1. 作點 A 關於直線 a 的對稱點 A′。 2. 連結 A B′ ′交 a 於點 C。

點 C 就是所求的點。

證明： 在直線 a 上另取一點 C′，連結 AC、 AC′、 A C′ ′、C B′ 。因為直線 a 是點 A、A′的對稱軸，

點 C 在對稱軸上

∴ AC= A C′ 、 AC′=A C′ ′ ∴ AC CB+ = A C′ +CB=A B′ 在△A C B′ ′ 中

∵ A B′ < A C′ ′+C B′ ∴ AC CB+ <A C′ ′+C B′ 即 AC CB+ 最小。

如果一個圖形沿一條直線對摺，直線兩旁的部分能夠互相重 合，也就是圖形與它本身重合，那麼這個圖形叫做軸對稱圖形，

這條直線就是它的對稱軸。例如，等腰三角形是一個軸對稱圖 形，它的底邊之垂直平分線是它的對稱軸；角也是軸對稱圖形，

對稱軸是角的平分線所在之直線；線段也是軸對稱圖形，對稱軸

圖 3-62 C

N B

A (A′)

B′

C′

D M

圖 3-63 C

B A

a

A′

C′

是它的垂直平分線。日常生活中見到的軸對稱圖形也很多，如圖 3-64 中的圖形，都是軸對稱圖形。

練 習

1. 如果△ABC≅△A B C′ ′ ′，能否說△ABC 與△A B C′ ′ ′是對 稱 的？為什麼？

2. 已知△ABC。以邊 BC 所在的直線為對稱軸，作一個三角形 與它對稱。

3. 為什麼等邊三角形是軸對稱圖形？畫出它的對稱軸。共有幾 條對稱軸？

圖 3-64