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圖 3-1
第
第
三
三
章
章
三
三
角
角
形
形
一、三角形
3.1 關於三角形的一些概念
三角形是一種很簡單但又是最常見的幾何圖形。例如，大橋 的鋼樑，起重機的支架等，都是三角形結構(圖 3-1)。在小學已經 學過一些三角形的初步知識，本章裡，我們將比較系統地研究三 角形的許多性質以及它們的應用。 如圖 3-2，由三條線段首尾順次連 結所組成的圖形叫做三角形。組成三角 形的三條線段叫做三角形的邊，相鄰兩 邊的公共端點叫做三角形的頂點。例 如，線段 AB、BC、CA 是三角形的邊， 點 A、B、C 是三角形的頂點。 「三角形」可以用符號「△」表示，頂點是 A、B、C 的三 角形，記作「△ABC」，讀作「三角形 ABC」。 三角形相鄰兩邊所組成的角叫做 三角形的內角，簡稱三角形的角，三角 形的角之一邊與另一邊的反向延長線 組成的角叫做三角形的外角。例如在圖 3-3 中，∠BAC是△ABC 的一個內角， BAD ∠ 是一個外角。三角形的外角也就 是與它有公共頂點的內角之鄰補角。 圖 3-2 C B A 圖 3-3 D C B A三角形的一個角之平分線與這個 角的對邊相交，這個角的頂點與交點 之間的線段叫做三角形的角平分線。 連結三角形一個頂點與它的對邊中點 的線段叫做三角形的中線。三角形一 個頂點到它的對邊所在直線的垂線段 叫做三角形的高。在圖 3-4 中，線段 AD 是△ABC 的角平分線，AM 是中 線，AH 是高。 三角形有三條角平分線(圖 3-5(甲))，三條中線(圖 3-5(乙))。 它們都在三角形的內部。 三角形也有三條高。由於三角形的內角可能是銳角也可能是 鈍角或直角，三角形的高不一定都在三角形內部。如圖 3-6，圖(甲) 中三條高在三角形的內部；圖(乙)中有一條在三角形的內部，另 兩條在三角形的外部；圖(丙)中有一條在三角形的內部，另兩條 恰好是三角形的兩邊。 圖 3-4 C B A H D M (甲) C B A D F E C B A D F E 圖 3-5 (乙) (甲) 圖 3-6 (乙) C B A D F E C B A D F E C B A F (丙)
練 習
1. (1) 說出圖中有幾個三角形，把它們讀出來。說明 ACD∠ 是
那個三角形的內角，那個三角形的外角；
(2) 寫出在△ABD 中， B∠ 所對的邊、邊 BD 所對的角。
2. 如圖，在△ABC 中，已知 AM 是中線，AD 是角平分線，AH
是高。根據已知條件填空： (1) ( ) 1( ) 2 BM = = ； (2) ( ) 1( ) 2 BAD ∠ = = ； (3) ∠AHB=( )= ∠Rt 。 3. 如圖，AD 同時是△ABC 的高、中線 與角平分線。在括號內填寫下列等式 的根據： (1) ∠ADB= ∠ADC ( )； (2) ∠DAB= ∠DAC ( )； (3) BD=DC ( )。
3.2 三角形三邊的關係
在△ABC 中， A∠ 、 B∠ 、 C∠ 所對的 邊 BC、CA、AB，通常用 a、b、c 表示(圖 3-7)。我們知道，兩點間線段最短。根據這 個公理，得 b c+ >a， c a b+ > ， a b c+ > 。 (第 1 題) (第 2 題) C B A H D M A D B C E (第 3 題) A D B C 圖 3-7 C B A c b a由此得到： 定理 三角形任何兩邊的和大於第三邊。 從定理直接推出來的定理叫做推論。從上述的定理可以得出 如下的推論： 推論 三角形任何兩邊的差小於第三邊。 例如，如果 a≥b，那麼，從 b c+ >a，可以推出 c> −a b，(為 什麼？)即 a b c− < 。 有的三角形，三條邊各不相等，有的兩條邊相等，有的三條 邊都相等。因此，三角形可以按照邊來分類。 三邊兩兩不等的三角形叫做不等邊三角形(圖 3-8(甲))。三邊 中有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形(圖 3-8(乙))。三邊都相等 的三角形叫做等邊三角形(圖 3-8(丙))。 在等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底 邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角。 等邊三角形是特殊的等腰三角形，即底邊與腰相等的等腰三 角形。 三角形集合包含不等邊三角形集合與等腰三角形集合，而等 腰三角形集合，又包含底邊與腰不相等的等腰三角形集合與等邊 三角形集合。 不等邊三角形 三角形 底邊與腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等邊三角形 (甲) 圖 3-8 (乙) C B A C B A C B A (丙)
【例】 已知： 在△ABC 中，D 是 AB 邊 上任意一點(圖 3-9)。 求證： AB AC+ >DB+DC。 證明： 在△ADC 中， ∵ AD AC+ >DC (三角形兩邊和大於第三邊) ∴ AD DB AC+ + >DB+DC(不等式的性質) 即 AB AC+ >DB+DC
練 習
1. (口答) 有下列長度的三條線段能否組成三角形？為什麼？ (1) 3 cm，4 cm，8 cm； (2) 5 cm，6 cm，11 cm： (3) 5 cm，6 cm，10 cm。 2. (口答) 如圖，已知點 D 在 AC 上， AB= AC， AD=BD=BC。圖中 有幾個等腰三角形？是哪幾個？ 說出它們的腰、底邊、頂角與底角。 3. 以 4 cm 長的線段為底，1 cm 長的線 段為腰，能否組成一個等腰三角形？ 如果以 4 cm 長的線段為底組成一個 等腰三角形，腰長應在什麼範圍？ 3.3 三角形的內角和
在小學，我們曾經把一個三角形紙板的三個角拼在一起，發 現它們組成一個平角(圖 3-10)，這表明，三角形三個內角的和等 於180°。就是： 三角形內角和定理 三角形三個內角的和等於 180°。 圖 3-9 C B A D (第 2 題) A D B C下面我們來證明這個定理。 已知： △ABC (圖 3-11)。 求證： ∠ + ∠ + ∠ =A B C 180°。 分析： 實驗是把三個內角拼在一起組成一個平角，這啟發 我們，要證明這個命題，可先把 CA 為一邊，在△ABC 的外部作 ACE A ∠ = ∠ ，再延長 BC，然後能證明 ECD∠ = ∠B就可以了。 證明： 作 BC 的延長線 CD，在△ABC 的外部，以 CA 為一 邊，CE 為另一邊作 1∠ = ∠A(圖 3-11)。於是 ∵ CE//BA (內錯角相等，兩直線平行) ∴ ∠ = ∠B 2 (兩直線平行，同位角相等) 又 ∵ ∠ + ∠ + ∠1 2 ACB=180° (平角的定義) ∴ ∠ + ∠ + ∠A B ACB=180° (等量代換) 為了證明的需要，在原來圖形上添畫的線叫做輔助線。在平 面幾何裡，輔助線通常畫成虛線。 從上面的證明過程可以知道， ACD∠ = ∠ + ∠A B，由此得到： 推論 1 三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角之 和。 推論 2 三角形的一個外角大於任何一個與它不相鄰的內 角。
【例】 已知： ∠BAF、 CBD∠ 、 ACE∠ 是△ABC 的三個外角
(圖 3-12)。 求證： ∠BAF+ ∠CBD+ ∠ACE=360° 證明： 如圖， ∵ ∠BAF = ∠ + ∠2 3 圖 3-11 A D E C B 圖 3-10 1 2
∠CBD= ∠ + ∠1 3 ∠ACE= ∠ + ∠1 2 ( 三 角 形 的 一個外角等於與它不相鄰的 兩個內角之和) ∴ ∠BAF+ ∠CBD+ ∠ACE = ∠ + ∠ + ∠2( 1 2 3) (等式性質) ∵ ∠ + ∠ + ∠ =1 2 3 180° (三角形內角和定理) ∴ ∠BAF+ ∠CBD+ ∠ACE= ×2 180° =360° (等量代換) 由內角和定理我們知道，三角形的每一個內角都不大於 180°，所以一個三角形的三個內角可能都是銳角，也可能有一個 是直角或鈍角，因此三角形可以按角進行分類。 三個角都是銳角的三角形叫做銳角三角形(圖 3-13(甲))。有 一個角是直角的三角形叫做直角三角形(圖 3-13(乙))。有一個角 是鈍角的三角形叫做鈍角三角形(圖 3-13(丙))。銳角三角形與鈍 角三角形合稱斜三角形。 直角三角形 三角形 銳角三角形 斜三角形 鈍角三角形 在直角三角形中，夾直角的兩邊叫做直角邊，直角的對邊叫 做斜邊。兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。 圖 3-12 C B A D F E 1 3 2 (甲) 圖 3-13 (乙) C B A C B A C B A (丙)
練 習
1. (口答) 一個三角形中，能否有兩個內角是鈍角或直角？為什 麼？ 2. 畫一個△ABC，再畫出它的所有外角。如果∠BAC= °50 ， 60 ABC ∠ = °，那麼 ACB∠ 等於多少度？與 ACB∠ 相鄰的一個 外角等於多少度？為什麼？ 3. 已知： 如圖，P 是△ABC 內一點，延長 BP 交 AC 於 D。 求證： (1) ∠ > ∠1 2； (2) ∠ > ∠2 A； (3) ∠ > ∠1 A。 4. (口答) 如圖，已知∠ACB= °90 ， CD⊥ AB，垂足是 D。 (1) 圖中有幾個直角三角形？是哪幾個？說出它們的直角邊 與斜邊。 (2) ∠ + ∠1 2等於多少度？∠ + ∠B 2等於多少度？為什麼？ 1 ∠ 與 B∠ 是不是相等？為什麼？習 題 六
1. 已知△ABC。畫出它所有的外角。如果∠ABC= °28 ， BCA∠ =
52°，∠CAB=100°，求△ABC 各外角的度數。 (第 3 題) A D B C P 1 2 (第 4 題) A D B C 1 2 (第 1 題) A B C
2. 在下面的每個三角形中，過頂點 A 畫出中線、角平分線與高。 3. 已知△ABC 的周長是 12 cm，c+ =a 2b，c− =a 2cm，a
、
b、 c 各等於多少？ 4. 兩根木棒的長分別是 7 cm 與 10 cm，要選擇第三根木棒，將 它們釘成一個三角架，第三根木棒的長有什麼限制？ 5. (1) 已知等腰三角形的一邊為 5，一邊為 6，求它的周長； (2) 已知等腰三角形的一邊為 4，一邊為 9，求它的周長。 6. 已知等腰三角形的周長是 10 cm，腰比底邊長 2 cm，求這個 等腰三角形各邊的長。 7. 根據下列條件，求△ABC 中 C∠ 的大小。 (1) ∠ = °A 65 40′，∠ = °B 36 25′； (2) ∠ = °A 35 ， B∠ = ∠C； (3) ∠ = ∠ = ∠B C 2 A； (4) ∠ =A 105°，∠ − ∠ = °B C 15 。 8. 一塊模板如圖，按規定 AB、CD 的延長線應相交成85°角， 因交點不在板上，不便測量，工人師傅連結 AC，測得 BAC∠ = 32°，∠DCA= °65 ，這時就可以知道，AB、CD 的延長線相 交所成的角是不是符合規定。為什麼？ (第 2 題) C B A C B A C B A (第 9 題) A B C (第 8 題) A B C E D F D E F9. 已知： 如圖，D 是 AB 上一點，E 是 AC 上一點，BE 與 CD 相交於點 F。 求證： (1) ∠BDC= ∠ + ∠A ACD； (2) ∠BFC= ∠ABE+ ∠ + ∠A ACD。 10. 在括號內填寫理由： 已知： P 是△ABC 內一點。 求證： ∠BPC> ∠BAC。 證明： 連結 AP，並延長到點 D。 ∵ ∠BPD> ∠BAD ( ) DPC DAC ∠ > ∠ ( ) ∴ ∠BPD+ ∠DPC> ∠BAD+ ∠DAC ( ) 即 ∠BPC> ∠BAC。 11. 完成下列的證明： 已知： 如圖， DAC∠ = ∠B。 求證： ∠ADC= ∠BAC。 證明： ∵ ∠ADC= ∠ + ∠B BAD ( ) B DAC ∠ = ∠ ( ) ∴ ∠ADC=( )+ ∠BAD ( ) 即 ∠ADC=( )。 12. 適合下列條件的△ABC 是銳角三角形、直角三角形、還是鈍 角三角形？ (1) ∠ = ∠ = ∠A B C； (2) ∠ + ∠ = ∠A B C； (3) ∠ = ∠ = °A B 30 ； (4) 1 1 2 3 A B C ∠ = ∠ = ∠ 。 (第 10 題) A B D C P (第 11 題) A B D C
13. 在△ABC 中，已知 AD 是角平分線、 66 B ∠ = °、∠ = °C 54 。求 ADB∠ 與 ADC ∠ 的度數。 14. 在△ABC 中，已知∠ABC= °66 、 54 ACB ∠ = °、BE 是 AC 上的高、 CF 是 AB 上的高、H 是 BE 與 CF 的交點。求 ABE∠ 、 ACF∠ 與 BHC∠ 的度數。
二、全等三角形
3.4 全等三角形
把一塊模板按在紙板上，畫下圖形，照圖形裁下來的紙板就 與模板完全一樣，把模板與裁得的紙板放在一起能夠完全重合。 從同一張底片沖洗出來的兩張照片上之圖形，放在一起也能夠完 全重合。 能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形，兩個全等三角形重合 時，互相重合的頂點叫做對應頂點，互相重合的邊叫做對應邊， 互相重合的角叫做對應角。 例如，圖 3-14 中的兩個三角形能夠完全重合，就是全等三角 形，「全等」用符號「≅」來表示，讀作「全等於」。圖 3-14 中的 △ABC 與△A B C′ ′ ′全等，記作「△ABC≅△A B C′ ′ ′」。其中 A 與 A′、 (第 13 題) A B D C 圖 3-14 C B A A′ C′ B′B 與 B′、C 與 C′是對應頂點，BC 與 B C′ ′、CA 與 C A′ ′、AB 與 A B′ ′ 是對應邊， A∠ 與 A∠ ′、 B∠ 與 B∠ ′、 C∠ 與 C∠ ′是對應角。 我們知道，能夠重合的兩條線段是相等的線段，能夠重合的 兩個角是相等的角，所以全等三角形的對應邊相等，對應角相 等。例如，圖 3-14 中，△ABC≅△A B C′ ′ ′，那麼 BC=B C′ ′、 CA=C A′ ′、 AB=A B′ ′、 A∠ = ∠A′、 B∠ = ∠B′、 C∠ = ∠C′。 記兩個全等三角形時，我們通常把表示對應頂點的字母寫在 對應之位置上。例如，圖 3-15 中的兩個三角形全等，點 A 與 A′、 B 與 B′、C 與 C′是對應點，記作「△ABC≅△A B C′ ′ ′」，而不記 作「△ABC≅△A C B′ ′ ′」或「△ABC≅△B A C′ ′ ′」等。
練 習
1. (口答) 如圖，△AOC ≅△BOD， A∠ 與 B∠ 、 C∠ 與 D∠ 是對 應角，說出對應邊與另外一組對應角。2. (口答) 如圖，△ABC≅△CDA，AB 與 CD、BC 與 DA 是對 應邊，說出對應角與另外一組對應邊。由對應邊找對應角， 由對應角找對應邊有什麼規律？
3. (口答) 如圖，△OCA≅△OBD，C 與 B、A 與 D 是對應頂點， 說出這兩個三角形中相等的邊與角。 圖 3-15 C B A A′ C′ B′ (第 1 題) B C O D A (第 2 題) B A D C (第 3 題) B A D O C
3.5 三角形全等的判定 I
根據定義來判定兩個三角形全等，須要知道三條邊對應相等 與三個角對應相等。現在我們來研究是否可以減少一些條件，找 到比較簡單的判定方法。為此，我們先舉例說明如何畫出滿足一 定條件的三角形。 用刻度尺與量角器，畫一個三角形，使它的兩條邊長分別是 2.8 cm 與 3.1 cm，這兩條邊的夾角等於 45°。 畫法： 1. 畫∠DAE= °45 (圖 3-16)。 2. 在 AD、AE 上分別截取 AB = 3.1 cm、AC = 2.8 cm。 3. 連結 BC。 △ABC 就是所求的三角形。 如果按照上面的條件，用同樣的方 法另畫一個△A B C′ ′ ′，再把△A B C′ ′ ′剪 下來放到△ABC 上，我們可以看到，△A B C′ ′ ′與△ABC 能夠完全 重合。這個事實說明，只要是按上述條件畫出的三角形，它們總 是全等的。我們把這個事實作為公理： 邊角邊公理 有兩邊與它們的夾角對應相等的兩個三角形 全等(可以簡寫成「邊角邊」或「SAS」)。 例如，在圖 3-17 的△ABC 與△A B C′ ′ ′中，如果 AB=A B′ ′、 A A′ ∠ = ∠ 、 AC =A C′ ′，那麼 ABC≅ A B C′ ′ ′ △ △ 。 根據邊角邊公理可以判定兩個三角形全等。 圖 3-16 A D E B C 圖 3.17 A B C A′ C′ B′【例 1】 已知： AD//BC 、 AD=CB(圖 3-18)。 求證： △ADC≅△CBA 證明： ∵ AD//BC (已知) ∴ ∠ = ∠1 2 (兩直線平行，內錯角相等) 在△ADC 與△CBA 中 ( ) 1 2 ( ) ( ) AD CB AC CA = ∠ = ∠ = 已知 已證 公共邊
∴ △ADC≅△CBA (SAS) 【例 2】 已知： 如圖 3-19， AB=AC、 AD= AE、 1∠ = ∠2。 求證： △ABD≅△ACE 證明： ∵ ∠ = ∠1 2 (已知) ∴ ∠ + ∠1 EAB= ∠ + ∠2 EAB (等式的性質) 即 DAB∠ = ∠EAC。 在△ABD 與△ACE 中 ( ) ( ) ( ) AB AC DAB EAC AD AE = ∠ = ∠ = 已知 已證 已知
∴ △ABD≅△ACE (SAS)
練 習
1. 已知：如圖，AB 與 CD 相交於點 E， EA=EC、 ED=EB。 求證：△AED≅△CEB。 圖 3-18 C B A D 1 2 圖 3-19 C B A D 1 2 E練 習
2. 已知：如圖， AB= AC，F、E 分別是 AB、AC 的中點。 求證：△ABE≅△ACF。 【例 3】 如圖 3-20，有一池塘。要 測池塘兩端 A、B 的距離， 可先在平地上取一個可以 直接到達 A 與 B 的點 C， 連結 AC 並延長到 D，使 CD=CA。連結 BC 並延長 到 E，使 CE=CB。連結 DE，那麼量出 DE 的長，就是 A、B 的距離。為什麼？ 按圖寫出「已知」、「求證」，並證明。 已知： AD 與 BC 交於點 C， CA CD= 、 CB CE= 。 求證： AB=DE 證明： 在△ACB 與△DCE 中 ( ) 1 2 ( ) ( ) CA CD CB CE = ∠ = ∠ = 已知 對頂角相等 已知∴ △ACB≅△DCE (SAS)
∴ AB=DE (全等三角形的對應邊相等) 因為全等三角形的對應邊、對應角相等，所以，證明分別屬 於兩個三角形的線段相等或者角相等的問題，可以通過證明這兩 個三角形全等來解決。 (第 1 題) B C E D A (第 2 題) B A E C F 圖 3-20 C B A D 1 2 E
練 習
1. 已知：如圖，點 A、B、C、D 在同一條直線上， AC =DB、 AE=DF、EA⊥ AD、FD⊥ AD，垂足分別是 A、D。 求證：△EAB≅△FDC。 2. 已知：如圖，點 E、F 在 BC 上， BE =CF、 AB=DC、 ∠ = ∠B C。 求證： AF =DE。 3. 已知：如圖，點 A、E、F、C 在同一條直線上， AD CB= 、 ∠ = ∠1 2、 AE =CF。 求證：EB//DF 。3.6 三角形全等的判定 II
現在研究三角形全等的另一個判定方法。 畫一個三角形，使它兩個角分別等於 30°與 45°，它們所夾的 邊長等於 2.5 cm。 畫法： 1. 畫線段BC=2.5cm(圖 3-21) 2. 在 BC 的同旁，分別以 B、C 為頂點，畫∠CBD= °30 、 ∠BCE= °45 ，BD 與 CE 相 交於 A。 △ABC 就是所求的三角形。 (第 2 題) (第 3 題) B A D E C (第 1 題) B C E D A F B A D C F E F 1 2 圖 3-21 A D E B C如果按照上面的條件，用同樣的方法另畫一個△A B C′ ′ ′，再 把△A B C′ ′ ′剪下來放到△ABC 上，則△A B C′ ′ ′與△ABC 能夠完全 重合。所以，只要是按上面條件畫出的三角形，總是全等的。我 們也把這個事實作為公理： 角邊角公理 有兩角與它們的夾邊對應相等的兩個三角形 全等(可以簡寫成「角邊角」或「ASA」)。 例如，在圖 3-22 的△ABC 與△A B C′ ′ ′中，如果 B∠ = ∠B′、 BC=B C′ ′、 C∠ = ∠C′，那麼 ABC≅ A B C′ ′ ′ △ △ 。 在△ABC 與△A B C′ ′ ′中，如果已知 AB=A B′ ′、 B∠ = ∠B′、 C C′ ∠ = ∠ (圖 3-22)，那麼，由三角形內角和定理可得∠ = ∠A A′。 根據角邊角公理，△ABC≅△A B C′ ′ ′。因此，有下面推論： 推論 有兩角與其中一角的對邊對應相等的兩個三角形 全等(可以簡寫成「角角邊」或「AAS」)。 【例 1】 已知： 點 D 在 AB 上，點 E 在 AC 上，BE 與 CD 相交於點 O， AB= AC、 B∠ = ∠C。 (圖 3-23)。 求證： BD CE= 分析： BD 與 CE 分別在△BOD 與 △ COE 中 ， 由 已 知 條 件 不 能 直 接 證 明 BOD≅ COE △ △ 。但已知 AB=AC，AB、BD 及 AC、CE 分別在一條直線上，如果能證明 AD= AE，就可以得 到 BD CE= 。而 AD 與 AE 分別在△ADC 與△AEB 中，可由已知 條件證得△ADC≅△AEB。 圖 3.22 A B C A′ C′ B′ 圖 3-23 C B A D O E
證明： 在△ADC 與△AEB 中 ( ) ( ) ( ) A A AC AB C B ∠ = ∠ = ∠ = ∠ 公共角 已知 已知
∴ △ADC ≅△AEB (ASA)
∴ AD= AE (全等三角形對應邊相等)
又 ∵ AB= AC (已知)
∴ BD CE= (等式性質)
【例 2】 求證：全等三角形對應角的平分線相等。
已知： △ABC≅△A B C′ ′ ′，AD、A D′ ′分別是△ABC與
△A B C′ ′ ′的角平分線(圖 3-24)。 求證： AD= A D′ ′ 證明： ∵ △ABC≅△A B C′ ′ ′ (已知) ∴ AB= A B′ ′ ∠ = ∠B B′ ∠BAC= ∠B A C′ ′ ′ ∵ 1 1 2 BAC ∠ = ∠ (已知) 2 1 2 B A C′ ′ ′ ∠ = ∠ (已知) ∴ ∠ = ∠1 2 在△ABD 與△A B D′ ′ ′中， ( ) ( ) 1 2 ( ) B B AB A B ′ ∠ = ∠ ′ ′ = ∠ = ∠ 已證 已證 已證 圖 3-24 C B A D 1 2 A′ D′ C′ B′ (全等三角形對應邊、 對應角相等)
∴ △ABD≅△A B D′ ′ ′ (ASA) ∴ AD= A D′ ′ (全等三角形對應邊相等)
練 習
1. 已知：如圖， AB⊥BC， AD⊥DC， 垂足分別為 B、D， 1∠ = ∠2。 求證： AB=AD。 2. 求證：全等三角形對應邊上的高相等。3.7 三角形全等的判定 III
到現在為止，我們學過三種判定三角形全等的方法，即邊角 邊(SAS)公理、角邊角(ASA)公理及推論角角邊(AAS)。那麼，是不 是在兩個三角形中，有任意三組對應的邊或角相等時，兩個三角 形就全等呢？看下面幾種情況。 例如，在△ABC 與△ABD 中，已知 AB= AB、 AC=AD、 B B ∠ = ∠ ，顯然它們並不全等(圖 3-25)。這說明，兩邊與其中一 邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等。又如，在△ABC 與△ADE 中，如果 DE//BC，則 ADE∠ = ∠B、
AED C ∠ = ∠ ，又 A∠ = ∠A，但△ABC 與△ADE 並不全等(圖 (第 1 題) B C D A 1 2 圖 3-25 C B A D 圖 3-26 C B A D E
3-26)。這說明，三個角對應相等的兩個三角形也不一定全等。 但是，如果兩個三角形的三條邊對應相等，這兩個三角形一 定全等。這個事實以後可以證明，所以有下面的定理： 邊邊邊定理 有三邊對應相等的兩個三角形全等(可以簡寫 成「邊邊邊」或「SSS」)。 例如，在圖 3-27 的△ABC與△A B C′ ′ ′中，如果 BC=B C′ ′、 CA=C A′ ′、 AB=A B′ ′，那麼 ABC≅ A B C′ ′ ′ △ △ 【例】 已知： 如圖 3-28， AB CD= 、 BC=DA，E、F 是 AC 上兩點，且 AE=CF。 求證： BF =DE 證明： 在△ABC 與△CDA 中 ( ) ( ) ( ) AB CD BC DA CA AC = = = 已知 已知 已知 ∴ △ABC≅△CDA (SSS) ∴ ∠ = ∠1 2 (全等三角形的對應角相等) 在△BCF 與△DAE 中 ( ) 1 2 ( ) ( ) BC DA CF AE = ∠ = ∠ = 已知 已知 已知 ∴ △BCF ≅△DAE (SAS) ∴ BF =DE (全等三角形的對應邊相等) 圖 3.27 A B C A′ C′ B′ 圖 3-28 A C B 1 F E 2 D
由邊邊邊定理可以看出，只要三角形三邊的長度固定，這個 三角形的形狀大小就完全確定。例如，取三根長度適當的木條， 用釘子把它們釘成一個三角框架，所得到的框架形狀與大小就固 定了(圖 3-29)。三角形這個性質叫做三角形的穩定性。這是三角 形特有的性質。用四根木條釘成的框架就沒有這個性質，它的形 狀是可以改變的(圖 3-30)。 三角形的穩定性在生產與生活中是很有用的。例如，屋子的 人字樑具有三角形的結構，它就堅固與穩定；在柵欄門上斜著釘 一條(或兩條)木板，構成一些三角形，就可以使柵欄門不變形。 前面提到的大橋鋼樑、起重機的支架都採用三角形結構，也是這 個道理。
練 習
1. 如圖是一個平分角的儀器，其中 AB= AD、 BC=DC。為了 平分一個角，只要將點 A 放在角的頂點，AB 與 AD 沿著角的 兩邊放下，沿 AC 畫一條射線 AE，AE 就是角平分線。說明它 的道理。 圖 3-29 圖 3-30 (第 1 題) B C A D E (第 2 題) B A D E C F (第 3 題) B A D C練 習
2. 已知：如圖，點 B、E、C、F 在同一直線上， AB=DE、 AC=DF、 BE =CF。 求證： A∠ = ∠D。 3. 已知：如圖， AB=DC、 AD=BC。 求證： A∠ = ∠C。 4. 舉出一些利用三角形穩定性的實例。 三角形穩定性的實例：習 題 七
1. 已知△ABD≅△ACE、 B∠ = ∠C，指出其它的對應角與對應 邊；又知△OBE≅△OCD，指出所有的對應角與對應邊。 2. 已知△ABC≅△BAD、 BC=AD，指出其它的對應邊與對應 角；又知△OAC≅△OBD，指出所有的對應邊與對應角。 B A C O D E (第 1 題) (第 2 題) A C B O D C B A D 1 (第 3 題) E 23. 已知△ABE≅△ACD、 1∠ = ∠2、 B∠ = ∠C。指出其它的對 應邊與對應角。 4. 畫下列三角形： (1) 腰長等於 l，頂角等於∠α的等腰三角形； (2) 兩條直角邊分別等於 a 與 b 的直角三角形。 5. 在第 1 題的圖中，已知： AB=AC、 AD=AE。 求證：△ABD≅△ACE。 6. 在第 2 題的圖中，已知： CAB∠ = ∠DBA、 AC=BD。 求證：△CAB≅△DBA。 7. 已知：點 A、F、E、C 在同一直線上， AF =CE、BE//DF 、 BE=DF。 求證：△ABE≅△CDF。 8. 已知：M 是 AB 的中點， MC=MD、 1∠ = ∠2。 求證： AC=BD。 9. 如圖，可以用兩根鋼條 AA′與 BB′，在中點 O 處連在一起做 成的工具(卡鉗)測量工件內槽的寬。按照圖寫出「已知」、「求 證」，並證明 AB= A B′ ′。 (第 8 題) (第 7 題) A B C D F E M D C B A 1 2 (第 9 題) A B O A′ B′ (第 10 題) O D C B A
10. 已知：AC 與 BD 相交於點 O， OA OC= 、 OB OD= 。 求證：DC//AB 。 11. 在△ABC 中， ACB∠ = ∠Rt ，延長 BC 至 B′，使 CB′ =BC， 連結 AB′，那麼△ABB′是等腰三角形。畫出圖形，寫出已知 與求證，並且進行證明。 12. 用刻度尺與量角器畫△ABC，使∠ = °A 78 、∠ = °B 33 、BC = 4.5 cm。 13. 要測量河兩岸相對的兩點 A、B 的距離，可以在 AB 的垂線 BF 上取兩點 C、D，使 CD=BC，再定出 BF 的垂線 DE，使 A、C、E 在同一條直線上，這時測得的 DE 的長就是 AB 的 長。寫出已知與求證，並且進行證明。 14. 已知：如圖， 1∠ = ∠2、 3∠ = ∠4。 求證： AC=AD。 15. 已知：如圖，點 B、F、C、E 在同一直線上， FB CE= 、 AB//DE 、AC//DF 。 求證： AB=DE、 AC=DF。 (第 13 題) A B C D F E (第 14 題) D C B A 2 1 3 4 (第 15 題) A B C D F E (第 16 題) D C B A F E
16. 已知：如圖，D 是△ABC 的邊 AB 上一點，DF 交 AC 於點 E， DE=FE、FC//AB 。 求證： AE=CE。 17. 求證：等腰三角形兩腰上的高相等。 18. 已知：如圖，點 A、C、B、D 在同一直線上， AC=BD、 AM =CN、 BM =DN。 求證：AM//CN 、BM//DN 。 19. 已知：如圖， AB=AC、EB=EC、AE 的延長線交 BC 於 D。 求證： BD=CD。 20. 已知：△ABC 與△DCB 的頂點 A 與 D 在 BC 的同旁， AB=DC、 AC =DB、AC 與 DB 相交於點 O。 求證： OA OD= 。 21. 已知：如圖， AB=AC、 DB=DC、E 在 AD 的延長線上。 求證： BE=CE。 22. 已知：如圖， AB=AE、 B∠ = ∠E、 BC =ED、F 是 CD 的 中點。 求證： AF ⊥CD。 A B D C (第 18 題) C B E (第 19 題) M D A N (第 20 題) C B O D A E (第 21 題) A B C D (第 22 題) C B E D A F
23. 求證：如果兩個三角形有兩條邊與其中一邊上的中線對應相 等，那麼這兩個三角形全等。
三、等腰三角形
3.8 等腰三角形的性質
等腰三角形是一種特殊的三角形，它有許多重要性質。我們 先做個實驗。取一張等腰三角形的紙片(圖 3-31)，把兩腰 AB、AC 疊在一起，我們發現，兩個底角互相重合。這說明等腰三角形的 兩個底角相等。下面我們來證明這個性質。 等腰三角形的性質定理： 等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成「等邊對等角」)。 已知： △ABC 中，AB=AC (圖 3-31)。 求證： ∠ = ∠B C。 證明： 作頂角的平分線 AD。 在△BAD 與△CAD 中 ( ) 1 2 ( ) ( ) AC AB AD AD = ∠ = ∠ = 已知 角的平分線定義 公共邊∴ △BAD≅△CAD (SAS)
∴ ∠ = ∠B C (全等三角形的對應角相等) 從上面的證明過程中，可以知道 BD=CD、 ADB∠ = ∠ADC = ∠Rt ， 所以 AD 平分 BC，並且 AD⊥BC。得 推論 1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊且垂直於底邊。 從推論 1 可以知道，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中 線、底邊上的高互相重合。 圖 3-31 1 2 C D B A
推論 2 等邊三角形的各角都相等，且每一個角都等於 60°。 【例 1】 求證：等腰三角形兩個底角的平分線相等。 已知： 在△ABC 中， AB=AC、BD 與 CE 分別是 B∠ 與 C∠ 的平分線(圖 3-32)。 求證： BD CE= 證明： ∵ AB= AC (已知) ∴ ∠ABC= ∠ACB (等邊對等角) 又 ∵ 1 1 2 ABC ∠ = ∠ 2 1 2 ACB ∠ = ∠ (已知) ∴ ∠ = ∠1 2 (等式性質) 在△BDC 與△CEB 中 ( ) ( ) 1 2 ( ) ACB ABC BC CB ∠ = ∠ = ∠ = ∠ 已證 公共邊 已證 ∴ △BDC≅△CEB (ASA) ∴ BD CE= (全等三角形對應邊相等) 【例 2】 已知： 點 D、E 在 BC 上，AB= AC、 AD= AE (圖 3-33)。 求證： BD CE= 證明： 作 AF ⊥BC，垂足是 F。 ∵ AB= AC AD= AE (已知) AF ⊥BC (輔助線作法) ∴ BF =CF、 DF =EF (等腰三角形底邊上的 高與底邊上的中線互相重合) ∴ BD CE= (等式性質) 圖 3-32 C B A D E 1 2 圖 3-33 C B A D F E
【例 3】 在一個三角形中，如果兩條邊不等，那麼它們所對的角 也不等，大邊所對的角較大。(簡寫成「大邊對大角」) 已知： △ABC 中， AB>AC (圖 3-34)。 求證： ∠ACB> ∠B 證明： 在較大的邊 AB 上截取 AD，使 AD= AC。 連結 CD。 ∵ AD= AC (輔助線 作法) ∴ ∠ADC= ∠ACD (等腰三角形底角相等) ∵ ∠ACB> ∠ACD (角的大小定義) ∴ ∠ACB> ∠ADC (等量代換) ∵ ∠ADC> ∠B (三角形的外角大於 不相鄰的內角) ∴ ∠ACB> ∠B (不等式性質) 注意：證明三角形的邊或角不等之問題，常通過添加輔助線 的辦法，把它化成相等的情況進行研究。輔助線的一般作法是， 在大邊上(或大角內)做出一部份等於小邊(或小角)，得到等腰三角 形。
練 習
1. (口答) (1) 怎樣從等腰三角形的性質定理得出推論：等腰直角 三角形的每一個銳角都等於 45°？ (2) 如果等腰三角形的一個底角等於 75°，那麼它的頂角等 於多少度？ (3) 等腰直角三角形斜邊上的高把直角分成兩個角，求這兩 個角的度數。 2. (口答) (1) △ABC 中，已知 BC >AB>AC，比較三個角的大 小； (2) 如果一個三角形最大的邊所對之角是銳角，那麼這個三 角形一定是銳角三角形，為什麼？ 圖 3-34 C B A D練 習
3. 已知：AB 與 CD 相交於點 E， CE> AC、 BD>ED。 求證： A∠ > ∠B。3.9 等腰三角形的判定
我們已經知道，等腰三角形有兩個角(底角)相等，現在來證 明有兩個角相等的三角形一定是等腰三角形。 等腰三角形的判定定理： 如果一個三角形有兩個角相等，那麼這個兩個角所對的邊也 相等。(簡寫成「等角對等邊」) 已知： △ABC 中， B∠ = ∠C (圖 3-35)。 求證： AB= AC。 證明： 作 BAC∠ 的平分線 AD。 在△BAD 與△CAD 中 1 2 ( ) ( ) ( ) B C AD AD ∠ = ∠ ∠ = ∠ = 角平分線的定義 已知 公共邊∴ △BAD≅△CAD (AAS)
∴ AB= AC (全等三角形的對應邊相等) 推論 1 三個角都相等的三角形是等邊三角形。 推論 2 有一個角等於 60°的等腰三角形是等邊三角形。 【例 1】 求證：如果三角形一個外角的平分線平行於三角形的一 邊，那麼這個三角形是等腰三角形。 圖 3-35 1 2 C D B A (第 3 題) C D B A E
已知： ∠ = ∠1 2、AD//BC (圖 3-36)。 求證： AB= AC 分析： 要證明 AB= AC，可先證 明 B∠ = ∠C。因為已知 1∠ = ∠2， 所以可以設法找出 B∠ 、 C∠ 與 ∠1、 2∠ 的關係。 證明： ∵ AD//BC (已知) ∴ ∠ = ∠1 B (兩直線平行，同位角相等) ∠ = ∠2 C (兩直線平行，內錯角相等) ∵ ∠ = ∠1 2 (已知) ∴ ∠ = ∠B C (等量代換) ∴ AB= AC (等角對等邊) 【例 2】 上午 8 時，一條船從 A 處出發以每小時 15 海浬的速度 向正北航行，上午 10 時到達 B 處。從 A、B 處望燈塔 C， 測得∠NAC= °42 、∠NBC = °84 。求從 B 處到燈塔 C 的 距離 (圖 3-37)。
□
解 ∵ ∠NBC= ∠ + ∠A C (三角形的一個外角等於不相鄰 的兩個內角之和) ∴ ∠ = ° − ° = °C 84 42 42 ∴ BA=BC (等角對等邊) ∵ AB= ×15 (10 8)− =30 ∴ BC=30 (海浬) 答：B 處到燈塔 C 的距離是 30 海浬。 【例 3】 在一個三角形中，如果兩個角不等，那麼它們所對的邊 也不等，大角所對的邊較大。(簡寫成「大角對大邊」) 已知： △ABC 中， ACB∠ > ∠B (圖 3-38)。 求證： AB> AC 圖 3-37 C B A N 42° 84° 圖 3-36 C B A 1 D 2證明： 在較大的 ACB∠ 作 BCD∠ = ∠B，CD 交 AB 於 D。 連結 CD。 ∴ BD=DC (等角對等邊) 在△ADC 中， ∵ AD DC+ > AC (三角形的兩邊和大於 第三邊) ∴ AD BD+ >AC (等量代換) 即 AB> AC
練 習
1. (1) 如圖(甲)，已知∠ = °A 36 、∠DBC= °36 、∠ = °C 72 。 計算 1∠ 與 2∠ 的度數，並說明圖中有哪些等腰三角形。 (2) 如圖(乙)，CD 是等腰直角三角形斜邊上的高。找出圖 中的等腰直角三角形。 2. (口答)在△ABC 中，∠ = °A 70 、∠ = °B 50 ，比較三邊的大小。 3. (口答)直角三角形的斜邊大於直角邊，即斜線段大於垂線段， 為什麼？ 4. (口答)在△ABC 中，如果 AB 最大，那麼∠A、 B∠ 一定是銳 角。為什麼？ 圖 3-38 C B A D (第 1 題) C D B A (乙) A B D C (甲) 1 2 36° 36° 72°習 題 八
1. 已知屋椽 AB 與 AC 的長相等， 它們的夾角是118°，計算屋椽與 水平線 BC 所成的角之度數。 2. 已知等腰三角形的一個底角等 於頂角之 4 倍，求這個等腰三角形各角的度數。3. 已知△ABC 的 ∠ABC= °50 、∠ACB= °70 。延長 CB 至點 D，
使 BD=BA。延長 BC 至點 E，使 CE=CA，連結 AD、AE。 求△ADE 的各角之度數。 4. 如圖的三角測平架中， AB= AC，在 BC 的中點 D 掛一個重 錘，自然下垂。調整架身，使點 A 恰好在重錘線上。 (1) 求證： AD⊥BC； (2) 這時 BC 處於水平位置，為什麼？ 5. 已知： 如圖， AB= AE、 BC=ED、 B∠ = ∠E。 求證： ∠ = ∠C D 6. 求證：等腰三角形底邊中點到兩腰的距離相等。 7. 已知： AC 與 BD 相交於點 O，AB//DC ， OA=OB。 求證： OC=OD A C B (第 1 題) (第 3 題) A B D C E (第 4 題) C D B A (第 5 題) A B D C E (第 7 題) C D A O B (第 8 題) C D B A E
8. 已知： 如圖， A∠ = ∠B、CE//DA 、CE 交 AB 於 E。
求證： CE=CB
9. 求證：等腰三角形兩個底角的平分線之交點到底邊的兩端距
離相等。
10. 已知： 如圖，點 D、E 在 BC 上， BAD∠ = ∠CAE、 B∠ = ∠C
求證： AD= AE
11. 已知： △ABC 中，AB= AC、D 是 AB 上一點、DE⊥BC、
E 是垂足、ED 的延長線交 CA 的延長線於點 F。 求證： AD= AF 12. (1) 在△ABC 中， AB=AC、D 為 AC 上一點。 求證： ∠ADB> ∠ABD。 (2) 在△ABC 中， AB>AC、AD 是高。 求證： ∠BAD> ∠CAD。 13. 已知： 如圖，AD 邊最大、BC 邊最小。 求證： ∠ > ∠B D 14. 已知： △ABC 中， AC> AB、D 是 BC 上一點。 求證： AC> AD 15. 在△ABC 中， AB= AC、D 是 BC 延長線上一點、E 是 AB 上一點、DE 交 AC 於點 F。 求證： AE<AF。 (第 10 題) A B D E C (第 11 題) C D B A E F (第 13 題) A B D C
四、基本作圖
3.10 尺規作圖與邊邊邊定理
以前，我們使用刻度尺、三角板、量角器與圓規等多種工具 來畫圖。現在，我們來學習只用直尺(沒有刻度)與圓規畫圖的方 法，這種方法簡稱尺規作圖。尺規作圖與邊邊邊定理有密切關 係。下面我們來證明邊邊邊定理：有三個邊對應相等的兩個三角 形全等。 已知： 在△ABC 與△A B C′ ′ ′中， AB=A B′ ′、 BC=B C′ ′、 CA=C A′ ′ (圖 3-39)。 求證： △ABC≅△A B C′ ′ ′。 證明： 如圖，把△ABC 拼在△A B C′ ′ ′上，使最長的邊 BC 與 B C′ ′重合，並且使點 A 與點 A′在 B C′ ′邊的兩旁， 連結 A A′ 。 ∵ AB= A B′ ′、 AC =A C′ ′ (已知) ∴ ∠ = ∠1 2、 3∠ = ∠4 (等邊對等角) ∴ ∠B A C′ ′ ′= ∠BAC (等式性質) 在△ABC 與△A B C′ ′ ′中 AB A B BAC B A C AC A C ′ ′ = ′ ′ ′ ∠ = ∠ = ′ ′ ( ) ( ) ( ) 已知 已知 已知 ∴ △ABC≅△A B C′ ′ ′ (SAS) 圖 3-39 1 2 C A B A A′ B′ C′ (B) (C) 3 4【例】 根據邊邊邊定理，用直尺與圓規作一個三角形與已知三 角形全等。 已知： △ABC (圖 3-40)。 求作： △A B C′ ′ ′，使△A B C′ ′ ′ ≅△ABC 作法： 1. 作 B C′ ′ = BC。 2. 以點 B′為圓心，AB 為半徑作弧。 3. 以點 C′為圓心，AC 為半徑作弧，與前弧 交於點 A′。 4. 連結 A B′ ′、 A C′ ′。 △A B C′ ′ ′就是所求的三角形。 證明： 在△ABC 與△A B C′ ′ ′中 ∵ A B′ ′ = AB、B C′ ′ =BC、C A′ ′ =CA (作圖) ∴ △A B C′ ′ ′ ≅△ABC (SSS)
練 習
用直尺與圓規作一個等腰三角形，使它的底邊與腰分別等於已知 線段 a、b。3.11 基本作圖
先介紹幾種最簡單最常用的尺規作圖，通常稱為基本作圖。 其它較複雜的作圖，都是由基本作圖組成的。 圖 3-40 C B A A′ B′ C′ a b1. 作一個角等於已知角 已知： ∠AOB (圖 3-41)。 求作： ∠A O B′ ′ ′，使∠A O B′ ′ ′= ∠AOB。 作法： 1. 作射線 O A′ ′。 2. 以點 O 為圓心，以任意長為半徑作弧，交 OA 於 C、交 OB 於 D。 3. 以點 O′為圓心，以 OC 長為半徑作弧，交 O A′ ′ 於 C′。 4. 以點 C′為圓心，以 CD 長為半徑作弧，交前弧 於 D′。 5. 經過點 D′作射線 O B′ ′。 ∠A O B′ ′ ′就是所求的角。 證明： 連結 CD、 C D′ ′。由作法可知 △C O D′ ′ ′ ≅△COD(SSS) ∴ ∠C O D′ ′ ′= ∠COD (全等三角形的對應角相等) 即 ∠A O B′ ′ ′≅ ∠AOB 2. 平分已知角 已知： ∠AOB (圖 3-42)。
求作： 作射線 OC，使∠AOC= ∠BOC。
作法： 1. 在 OA 與 OB 上分別截 取 OD、OE，使 OD OE= 2. 分別以 D、E 為圓心， DE 的長為半徑作弧，在∠AOB內，兩弧 交於點 C。 3. 作射線 OC。 圖 3-42 C E B A O D 圖 3-41 C D B A O A′ B′ C′ O′ D′
OC 就是所求的角。 證明： 連結 CD、CE。由作法可知 ODC≅ OEC △ △ (SSS) ∴ ∠COD= ∠COE (全等三角形的對應角相等) 即 ∠AOC= ∠BOC 3. 經過一點作已知直線的垂線 (1) 經過已知直線上的一點作這條直線的垂線。 已知： 直線 AB 與 AB 上一點 C (圖 3-43)。 求作： AB 的垂線，使它經過點 C。 作法： 作平角 ACB 的平分線 CF。 直線 CF 就是所求的垂線。 證明： 由作法可知 1 2 ACF BCF ACB ∠ = ∠ = ∠ ∵ ∠ACB=180° (平角的定義) ∴ ∠ACF = °90 (等量代換) 即 CF 是 AB 的垂線。 (2) 經過已知直線外的一點作這條直線的垂線。 已知： 直線 AB 與 AB 外一點 C (圖 3-44)。 求作： AB 的垂線，使它經過點 C。 作法： 1. 任意取一點 K，使 K 與 C 在 AB 的兩旁。 圖 3-43 C D B A F E 圖 3-44 C D B A F E K
2. 以 C 為圓心，CK 長為半徑作弧，交 AB 於點 D 與 E。 3. 分別以 D 與 E 為圓心， DE 的長為半徑 作弧，兩弧交於點 F。 4. 作直線 CF。 直線 CF 就是所求的垂線。 證明： 略。 4. 作線段的垂直平分線 已知： 線段 AB (圖 3-45)。 求作： 線段 AB 的垂直平分線。 作法： 1. 分別以 A、B 為圓 心， AB 的長為半 徑作弧，兩弧相交 於點 C 與 D。 2. 作直線 CD。 直線 CD 就是線段 AB 的垂直平分線。 證明： 略。 因為直線 CD 與線段 AB 的交點，就是 AB 的中點，所以我 們也用這種方法平分已知線段或作線段的中點。 5. 經過已知直線外的一點作這條直線的平行線 已知： 直線 AB 與 AB 外一點 M (圖 3-46)。 求作： 直線CD//AB ，且CD 經 過點 M。 作法： 1. 過點 M 作直線 PN， 交直線 AB 於 N。 2. 過點 M 作直線 CD，使同位角 PMD∠ = ∠PNB。 直線 CD 就是所求的平行線。 證明： 由作法可知 PMD∠ = ∠PNB 圖 3-45 C B A D 圖 3-46 C D B A M N P
∴ CD//AB (同位角相等，兩直線平行)
練 習
用直尺與圓規作圖，並口述作法： 1. 作一個角等於 45°。 2. 把已知線段 4 等分。 利用基本作圖，可以進行其它作圖。 【例】 已知底邊 a、底邊上的高 h，求作等腰三角形。 已知： 線段 a、h (圖 3-47)。 求作： △ABC，使 AB=AC，且 BC =a、高 AD=h。 作法： 1. 作線段 BC=a。 2. 作線段 BC 的垂直平分線 MN，MN 與 BC 交於點 D。 3. 在 MN 上截取 DA，使 DA h= 。 4. 連結 AB、AC。 △ABC 為所求的等腰三角形。證明： 由作圖可知，△ABD≅△ACD (SAS)
∴ AB= AC (全等三角形對應邊相等) 又 ∵ BC=a、 AD⊥BC、 AD=h (作圖) ∴ △ABC 是所求的等腰三角形。 一般的幾何作圖題，應有下面幾個步驟：已知、求作、作法、 圖 3-47 C D B A M N h a
證明。比較複雜的問題，在作圖之前可先作分析。目前，我們只 要求寫出已知、求作、作法三個步驟。
練 習
作一個直角三角形，使它的兩條直角邊分別等於線段 a、b。習 題 九
1. 作一個角等於已知鈍角。 2. 已知鈍角三角形，用尺規作出它的 (1) 三條角平分線； (2) 三條中線； (3) 三條高 (畫三個圖，不寫作法)。 3. 已知線段 AB，求作 AB 的中點 C。 4. 已知一腰與一底邊長，求作等腰三角形。 5. 已知一直角邊與與它相鄰的一個銳角，求作直角三角形。五、直角三角形
3.12 直角三角形的性質
直角三角形也是一種常見的特殊三角形，它除了有一般三角 形的性質外，還有一些特殊性質。 因為直角三角形有一個角是直角，根據三角形內角和定理可 a b推出下面的定理： 定理 1 在直角三角形中，兩個銳角互餘。 下面我們再來研究直角三角形另外一些性質。 在圖 3-48 中，從 Rt△*ABC 的直角頂點 C， 作射線 CD，交 AB 於 D，使 ACD∠ = ∠A。 我們看 CD 與斜邊 AB 的大小有什麼關係。 ∵ ∠ACD= ∠A ∴ AD=CD (等角對等邊) 又 ∵ ∠ + ∠ = °B A 90 (直角三角形兩銳角 互餘) ∠ + ∠1 ACD= °90 ∴ ∠ = ∠B 1 ∴ BD=CD 於是得 AD=BD=CD 即 CD 是斜邊 AB 上的中線，並且 1 2 CD= AB。 由此，我們得到下面的定理： 定理 2 在直角三角形中，斜邊上的中線等於斜邊的一半。 注意：從本節開始，在證明過程中，括號內的理由，可以只 寫主要公理與定理，已知、定義等一般不再註明。 由定理 2 可知，在圖 3-48 中， CD=BD。如果∠ = °A 30 ， 那麼，∠ = °B 60 ，△DBC 是等邊三角形，所以 1 2 BC=BD= AB。 由此，得到下面的推論： 推論 1 在直角三角形中，如果一個銳角等於 30°，那麼它 所對的直角邊等於斜邊之一半。 * 符號「Rt△」表示直角三角形。 圖 3-48 1 C D B A
反過來，如果在 Rt△ABC 中， C∠ = ∠Rt 、 1 2 BC= AB，那 麼△BCD 是等邊三角形，∠ = °B 60 。所以∠ = °A 30 。於是，又有 下面的推論： 推論 2 在直角三角形中，如果一條直角邊等於斜邊的一 半，那麼這條直角邊所對的角等於 30°。
練 習
1. 說出直角三角形有哪些重要性質。 2. 在 Rt△ABC 中， C∠ = ∠Rt ，CD 是高，找出圖中相等的角。 3. Rt△ABC 中，CD 是斜邊上的中線，CE 是高。已知 AB = 10 cm、 DE = 2.5 cm，求 CD 的長與 DCE∠ 的度數。 【例 1】 圖 3-49 是屋架的設計圖之一部 份，其中 AB = 7.4 m、D 是 AB 的中點，並且 DE、BC 都垂直於AC。如果∠BAC= °30 ，DE、DC
與 BC 的長各是多少 m？
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解 在△ABC 中 ∵ BC⊥ AC、 ACB∠ = ∠Rt 、 ∠BAC= °30 ∴ 1 2 BC= AB (在直角三角形中，30°角所對的邊等 於斜邊的一半) ∴ 1 7.4 3.7 2 BC= × = (m) (第 2 題) C D B A (第 3 題) C D B A E 圖 3-49 C B A D E又 ∵ D 是 AB 中點，CD 是中線 ∴ 1 2 DC= AB (在直角三角形中，斜邊上的中線等於 斜邊之一半) ∴ 1 7.4 3.7 2 DC= × = (m) 在△AED 中，同理可求得 1 1 1.85 2 4 DE= AD= AB= (m)。 答：DE、DC 與 BC 的長分別是 1.85 m、3.7 m、3.7 m。 【例 2】 已知： 在△ABC 中， ACB∠ = ∠Rt 、AB=2AC，CD、 CE 分別是中線與高 (圖 3-50)。 求證： ∠ACE= ∠ECD= ∠DCB。 證明： 在△ABC 中 ∵ ∠ACB= ∠Rt AB=2AC ∴ ∠ = °B 30 (直角三角形中， 如果一條直角邊等於斜邊的一半，那麼 這條直角邊所對的角等於 30°) 又 ∵ CD 是中線 ∴ CD=BD (直角三角形中，斜邊上的中線 等於斜邊之一半) ∴ ∠DCB= ∠ = °B 30 (等邊對等角) 在△ACD 中， ∵ 1 2 AC= AB=CD，CE 是高 ∴ ∠ACE= ∠DCE (等腰三角形底邊上的高 與頂角平分線重合) ∵ 1(90 ) 2 ACE DCB ∠ = ° − ∠ 1(90 30 ) 2 = ° − ° = °30 ∴ ∠ACE= ∠ECD= ∠DCB 圖 3-50 C B A E D
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1. (口答) 已知△ABC 中，∠ACB= °90 、CD 是高、∠ = °A 30 、 AB = 4 cm，依次求 BC、 BCD∠ 、BD、AD。 2. 一個人從山下沿 30°的坡路登上山頂，共走了 500 m，求這座 山的高度。3.13 直角三角形全等的判定
要判定兩個直角三角形全等，除了可以應用一般三角形全等 的判定公理與判定定理外，還有下面的判定定理。 斜邊、直角邊定理 有斜邊與一條直角邊對應相等的兩 個直角三角形全等 (可以簡寫成「斜 邊、直角邊」或「RHS」)。 已知： 在△ABC 與△A B C′ ′ ′中， ACB∠ = ∠A C B′ ′ ′= ∠Rt 、 AB= A B′ ′、 AC =A C′ ′ (圖 3-51)。 求證： Rt△ABC≅Rt△A B C′ ′ ′。 (第 1 題) C B A D 圖 3-51 C B B A A′ B′ C′ (A) (C)證明： 把△ABC 與△A B C′ ′ ′拼在一起，使相等的直角邊 AC 與 A C′ ′重合，並使點 B 與點 B′在 A C′ ′邊的兩旁。 ∵ ∠A C B′ ′ ′= ∠Rt 、 A C B∠ ′ ′ = ∠ACB= ∠Rt ∴ ∠B C B′ ′ =2Rt∠ ∴ B′、 C′、B 在同一條直線上 在△A B B′ ′ 中 ∵ A B′ ′= AB= A B′ ∴ ∠ = ∠B B′ (等邊對等角) 在△ABC 與△A B C′ ′ ′中， ACB∠ = ∠A C B′ ′ ′、 ∠ = ∠B B′、 AB= A B′ ′ ∴ △ABC≅△A B C′ ′ ′ (AAS) 這個定理的條件，實際上是已知兩邊與其中一邊的對角對應 相等，前面我們已經想過，具備這樣條件的兩個三角形不一定全 等。但是，如果這個角是個直角，那麼這兩個三角形就會全等了。 【例 1】 已知： △ABC 中，D 是 BC 的中 點，DF ⊥ AB、DE⊥ AC， 垂足分別是 F、E，DF =DE (圖 3-52)。 求證： AB= AC 證明： Rt△DBF 與 Rt△DCE 中， DB=DC、 DF =DE ∴ Rt△DBF ≅Rt△DCE (RHS) ∴ ∠ = ∠B C ∴ AB= AC (等角對等邊) 另證： 因 DB=DC，△DBA 與△DCA 的面積相等， 即 1 1 2AB×DF =2 AC×DE 因 DF=DE，故 AB=AC。 圖 3-52 C B A F E D
【例 2】 已知斜邊與一條直角邊，求 作直角三角形。 已知： 線段 c、a (圖 3-53) 求作： Rt△ABC，使它的 斜邊 AB c= 、一 條直角邊 BC=a 作法： 1. 作線段 BC=a。 2. 過點 C 作直線 CD⊥BC。 3. 以 B 為圓心，c 為半徑作弧交 CD 於點 A 4. 連結 AB。 △ABC 就是所求的直角三角形。 證明： ∵ CD⊥BC ∴ ∠ = ∠C Rt 又 AB c= 、 BC =a 所以△ABC 為所求的三角形。 討論： 因為 Rt△中，斜邊一定要大於直角邊，所以 c≤a時，此題無解。
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1. (1) 兩條直角邊對應相等的兩個直角三角形是否全等？為 什麼？ (2) 兩個銳角對應相等的兩個直角 三角形是否全等？為什麼？ 2. 已知：如圖， CE ⊥AB、 DF ⊥AB、 // AC DB ，且 AC=DB 求證： CE=DF。 3. 求證：有兩條高相等的三角形是等腰 三角形。 圖 3-53 C D B A c c a a (第 2 題) C D B A F E習 題 十
1. 求證： 如果三角形一邊上的中線等於這條邊之一半，那麼 這個三角形是直角三角形。 2. 已知： 如圖，CD、CE、CM 分別是 Rt△ABC 斜邊上的高、 角平分線與中線。 求證： ∠ = ∠1 2。 3. 三角形三個角的度數之比為 1：2：3，它的最大邊之長等於 16 cm，求最小邊的長。 4. 已知： △ABC 中，∠ACB= °90 、CD 是高、∠ = °A 30 。 求證： 1 4 DB= AB。 5. 等腰三角形的底角等於15°，腰長等於 2a ，求腰上的高。 6. 已知直角三角形一條直角邊等於 10 cm，它所對的角為 60°。 求斜邊上的高。 7. 已知等腰三角形底邊上的高等於腰長之一半。求這個等腰三 角形各角的度數。 8. 已知： 如圖， OA OB= 、 AC⊥OA、 BC ⊥OB。 求證： ∠AOC= ∠BOC (第 4 題) C B A D (第 2 題) A D B C E M 1 2 (第 8 題) O C B A9. 已知： 如圖， AB CD= 、 DE⊥ AC、 BF ⊥AC ， E、F 是垂足，DE=BF。 求證： (1) AE=CF； (2) AB CD 。// 10. 已知： BE 與 CF 是△ABC 的高， BE=CF，H 是 BE 與 CF 的交點。 求證： HB=HC 11. 求證：有一條直角邊與斜邊上的高對應相等之兩個直角三角 形全等。 12. 已知： 如圖，AD 是△ABC 的中 線，CF⊥ AD，交 AD 於 F、 BE⊥ AD，交 AD 的 延長線於 E。 求證： CF =BE
六、逆定理、對稱
3.14 逆命題、逆定理
在等腰三角形一節裡，我們學過這樣兩個命題：(1)如果一個 三角形是等腰三角形，那麼它的兩個底相等；(2)如果一個三角形 有兩個角相等，那麼，它是一個等腰三角形。其中第一個命題的 題設「等腰三角形」恰好是第二個命題的結論，第一個命題的結 論「兩個底角相等」正好是第二個命題的題設。 (第 12 題) C D B A E F (第 9 題) C D A E B F在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結 論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那麼這兩個命 題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那麼另一個叫做 它的逆命題。 如果一個定理逆命題經過證明是真命題，那麼它也是一個定 理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個叫做另一個的逆定理。 例如，上面提到的等腰三角形之兩個定理是互逆定理；直角 三角形性質定理 2 的兩個推論也是互逆定理。 雖然每個命題都有逆命題，但要注意，因為一個真命題的逆 命題不一定也是真命題，所以並不是所有的定理都有逆定理。例 如，「對頂角相等」的逆命題是假命題，所以「對頂角相等」這 個定理沒有逆定理。
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1. (口答)說出下列命題的題設與結論，再說出它們的逆命題： (1) 兩條直線平行，內錯角相等； (2) 直角三角形的兩個銳角互為餘角； (3) 直角三角形的一個角是 30°，它所對的邊是斜邊之一半 (4) 等邊三角形的每個角都等於 60°。 2. 舉例說明，下列定理沒有逆定理： (1) 如果 a b= ，那麼 2 2 a =b ； (2) 如果兩個角都是直角，那麼這兩個角相等； (3) 如果三角形有一個角是鈍角，則它的另外兩個角是銳角3.15 線段的垂直平分線
設 MN 是線段 AB 的垂直平分線，點 P 是直 線 MN 上任意一點(圖 3-54)。連結 PA、PB。 ∵ AC=BC、 PC=PC、 ∠PCA= ∠PCB= ∠Rt ∴ △PCA≅△PCB (SAS) ∴ PA=PB 圖 3-54 B A P N M C因此，我們得到下面定理： 定理 線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距 離相等。 這個定理有逆定理： 逆定理 與一條線段兩個端點的距離相等之點，在這條線段 的垂直平分線上。 已知： PA=PB (圖 3-55)。 求證： 點 P 在線段 AB 的垂直平分線上 證明： 經過點 P 作 MN ⊥AB，垂足是 C 那麼 ∠PCA= ∠PCB= ∠Rt 在 Rt△PCA 與 Rt△PCB 中， PA=PB、 PC=PC ∴ Rt△PCA≅Rt△PCB(RHS) ∴ AC=BC ∴ MN 是線段 AB 的垂直平分線。就是說，點 P 在 AB 的垂直平分線上。 根據上述定理與逆定理可以知道，在 AB 的垂直平分線 MN 上的點與兩點 A、B 的距離都相等；反過來，到兩點 A、B 的距 離相等之點都在 MN 上，所以直線 MN 可以看作是與兩點 A、B 的距離相等之所有點之集合。 線段的垂直平分線可以看作是與線段兩個端點距離相等的 所有點之集合。 【例】 求證：三角形三邊的垂直平分 線交於一點。 已知： MN、GH、PQ 分別是 △ABC 三邊 AB、 BC、CA 的垂直平分 線 (圖 3-56)。 圖 3-55 B A P N M C 圖 3-56 C B A P Q M N H G R
求證： MN、GH、PQ 交於一點。 分析： 我們知道，兩條相交直線只有一個交點。要證 明三條直線交於一點，只要證明第三條直線通過前兩條 直線的交點就可以了。 證明： 設 MN、PQ 交於點 R。連結 AR、BR、CR。 ∵ MN 是 AB 的垂直平分線 ∴ AR=BR (線段垂直平分線上的點與這條 線段兩個端點的距離相等) 同理 AR CR= ∴ BR CR= ∴ 點 R 在 GH 上 (與一條線段的兩個端點距離相等的點，在 這條線段垂直平分線上) 因此，MN、GH、PQ 交於一點。
