辨識群聚圖型

由於只是依據群聚指標很難正確地描述群聚現象，甚至在某些特定的群聚圖型時，群聚 指標還會出現誤判群聚程度的狀況。因此，本研究擬加入了群聚圖型以便更正確地描述群聚 現象，所採用辨識群聚圖型之方法為 Wang（2009）所提出，此法為辨識晶圓 BIN 圖上之不 良晶粒所聚集成之圖型，以不良晶粒在晶圓上之行列座標為計算樣本，可將圖型分類成隨機 分佈、環狀分佈、區域集中分佈以及直線分佈（割痕），其主要測試步驟為：（1）首先透過空 間統計檢定（spatial statistical test）將圖型分為隨機分佈與非隨機分佈；（2）去除雜訊，此步 驟可將群聚圖型更明顯地顯示出來；（3）凹凸圖型測試；（4）特徵值比值測試。其辨識流程 如圖 3-2 所示。

圖 3-2 圖型辨識流程圖

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空間檢定法：

空間檢定法是由 Gart and Zweiful（1967）提出的 Odds Ratio 統計檢定，可測得各點分佈 是否具相關性或是彼此獨立。檢定過程先將目標晶粒（ _, ）與其相鄰晶粒之間關係表示如表 3-4。

表 3-4 相鄰晶粒關係表

, , ,

, , ,

, , ,

若晶粒為良品則 _, = 0；若晶粒為不良品則 _, = 1。其經過 Agresti（1990）修正後檢定 統計估計量為：

（3-4） =( + 0.5) × ( + 0.5) ( + 0.5) × ( + 0.5)

其中 、 、 與 為相鄰晶粒之各種相對關係（如表 3-5）之計數值，計算式如 下：

表 3-5 相鄰晶粒關係對照表

位置 g

位置 h

Good Bad Good

Bad

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（3-5）

= 1 − (1 − )

= 1 −

= (1 − )

=

其中

= 1 ；若 與 為相鄰晶粒

= 0 ；若 與 為不相鄰晶粒

此檢定之檢定步驟為：

(1). 檢定假設：

H ：晶圓上之缺陷晶粒呈隨機分佈 H ：晶圓上之缺陷晶粒呈非隨機分佈

(2). 檢定統計量

（3-6）

= ( + 0.5) × ( + 0.5)

( + 0.5) × ( + 0.5)~ (0， )

= 1

( + 0.5)+ 1

( + 0.5)+ 1

( + 0.5)+ 1 ( + 0.5)

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凹凸圖型測試：

判斷凹凸圖型時，因本研究將環狀圖型定義為其圖型很明顯地呈現中空的現象而非只有 些許凹陷，故本研究以圖型中心附近之晶粒狀態為判別依據，若其圖型中心區域並無明顯缺 陷則圖型為凹圖型，若中心區域也有很明顯的缺陷則圖型為凸圖型。因此本階段可分為兩步 驟：

 步驟一：計算幾何中心點（Xcenter , Ycenter）

（3-8）

=∑

= ∑

 步驟二：判別中心狀態

如圖 3-3，將中心點座標狀態分成兩軸皆為整數（a）、只有 Y 軸為整數（b）、只有 X 軸 為整數（c）與兩軸皆為非整數（d）等四種。在兩軸皆為整數的情況下，則判別中心晶粒狀 態，若為不良晶粒則此缺陷圖形為凸圖型；在只有 Y 軸為整數的情況下，則判別中心點左右 兩個晶粒之狀態，若皆為不良晶粒則此缺陷圖型為凸圖型；在只有 X 軸為整數的情況下，則 判別中心點上下兩個晶粒之狀態，若皆為不良晶粒則此缺陷圖型為凸圖型；在兩軸皆為非整 數的情況下，則判斷中心點周圍四片晶粒狀態，若超過三片為不良品則此缺陷圖型為凸圖型。

圖 3-3 凹凸圖型判別圖

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特徵值比值測試：

特徵值比值測試為 Bensmail and Celeuxt（1996）提出之方法，透過各缺陷晶粒在兩軸座 標之共變異數矩陣（covariance matrix），並計算該矩陣之兩個特徵值。如果兩特徵值相差甚 遠則其圖型歸類於較瘦長的直線型，若相差不多則歸類於較短胖型的區域集中型。判別過程 先計算所有缺陷晶粒之 X 座標( )與 Y 座標( )之共變異數矩陣( )：

（3-9） =

其中

= 1

− 1 ( − )( − )

= 1

− 1 ( − )( − )

= 1

− 1 ( − )( − )

= 1

− 1 ( − )( − )

接著計算共變異數矩陣( )之特徵值(eigenvalue, )與特徵向量(eigenvector, )，其特徵值 與特徵向量定義如（3-10），經過移項整理後為（3-11），其中 為單位矩陣。

（3-10） =

（3-11） ( − ) = 0

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為了使（3-11）式之特徵向量有非零解（non-trivial solution），( − )之行列式值必須為 零：

（3-12） ( − ) = 0

（3-13） − 1 0

0 1 = 0

（3-14） ( − ) − − = 0

（3-15） − + + − = 0

（3-15）式之 具有兩個解，並以其兩個特徵值解之比值（λ1/λ2，λ1<λ2）為判別依據。若 是兩個特徵值相差越小則比值會越接近 1，圖型越接近短胖型；反之如果相差越大則比值越 小，圖型越接近瘦長型。

臨界值的設定：

在判別過程中，各個臨界值的設定影響辨識準確度直接影響到此辨識法的準確度。本研 究經過多次的嘗試比對後，設定較佳的臨界值為：

(1). 空間統計檢定之檢定 值為 0.15。

(2). 去除雜訊時 _, 大於臨界值 0.4 時改晶粒標記為不良品。

(3). 檢驗共變異數矩陣特徵值比值時，若比值在 0.2 以下則計為直線型。

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