透地雷達基本理論

透地雷達其探測方法為利用發射天線於待測物表面發射高頻電 磁波穿透待測物內部，並依據入射波遇到不同介電性質之介面，產生 全反射或部分反射之物理現象，將反射波經由接收天線接收，之後透 過軟體進行影像處理與判讀分析，以瞭解下方待測物之剖面情況與特 性。

3-1 電磁波基本概述

電波的舉止行動，可由馬克斯威爾(Maxwell)方程式引進波動方 程式，並運用其解得知。圖 3.1 表示平面波形。從圖可以知道從波源 所發生的電波，最初是以相位相等的面呈球面狀的球面波傳播。不 過，隨著遠離波源，相位的面就慢慢變成直線。而像這樣相位相等的 面直線狀的波就稱之為平面波。

圖 3.1 平面波示意圖

相位相等的面 平面波 球面波 波源

3-2 電磁波波傳原理

電磁波波傳理論，源自於 1864 年的馬克斯威爾(Maxwell)所提出 的四大方程式，馬克斯威爾所提出的四大方程式，經赫茲於西元 1888 年，以精密的實驗證實電磁波之存在。

馬克斯威爾方程組指出：在任意點上，時變的電場產生時變的磁 場，時變的磁場產生時變的電場。可以想像，當空間存在一個時變場 源時，由於時變電磁場相互轉換的結果，必然會產生離電源以一定速 度向外傳播的電磁擾動，這種以有限速度傳播的電磁擾動就是電磁波 如圖 3.2 所示，此四大方程式為：

Maxwell 電磁波第一方程式，即為安培定律：

t J D

H ∂

+∂

=

∇ (3-1) Maxwell 電磁波第二方程式，即為法拉第定律：

t E B

∂

−∂

=

×

∇ (3-2) Maxwell 電磁波第三方程式，即為電場的高斯定律：

ρ

=

×

∇ D (3-3)

Maxwell 電磁波第四方程式，即為磁場的高斯定律 ：

=0

×

∇ B (3-4) 式中：

E：電場強度(伏特/公尺；V/m)

E：磁通量密度 (特斯拉；T)

H：磁場強度(安培/公尺；A/m)

J：電流密度(安培/平方公尺；A/m²)

D：電位移、電通密度(庫倫/平方公尺；C/m²)

3

電磁第一方程式表示，在沒有電流狀態下，時變電場將會產生磁 場 。 式 中 J 為 自 由 電 子 在 電 場 作 用 下 ， 移 動 所 產 生 的 傳 導 電 流 (conductivity current)；

t D

∂

∂ 為時變電場作用在極性物質時，所產生的 位移電流(displacement current)。第二方程式表示，當通過導體迴路所 圍的面積，其磁通量發生變化時，將在導體迴路上產生感應電流 (Faraday ，於 1931 年發現)。第三方程式表示，在靜電場模型時的向 量基本微分方程式。第四方程式則表示，在靜磁場模型時的向量基本 微分方程式。

圖 3.2 理想介質中平面波電場與磁場示意圖【31】

3-3 材料電性參數

透地雷達電磁波之穿透深度與解析度，除了與雷達頻率高低有 關，與所施測材料介質的電性參數也有關。就所施測的材料而言，材 料的含水量、導電度、衰減度、介電常數、導磁率等，都會影響透地 雷達施測結果。因此如何求得介質材料電性參數，用來評估電磁波衰 減程度、埋設物反射訊號大小與埋設位置，是提供透地雷達圖判釋之 重要參考數據。

x

Y

E

H

波傳方向 電場

磁場

3-3-1 導電度

電磁波的穿透深度，除了與頻率高低有關，另一個影響的電性參 數就是導電度(conductivity)，導電度為材料介質中傳導電流的能力，

定義為電阻之倒數，其關係式如下：

σ ρ1

= (3-5) σ：導電度(S/m)

ρ：電阻率(Ω/m)

導電度越高的材料電磁波滯留損失愈高，在相同頻率波長之下電 磁波穿透能力愈低，所能探測的深度就越淺。透地雷達的應用大致將 導電度分為三等級【32】：

1. 高導電度(σ ≥10⁻²S/m)：為不適合透地雷達探測介質。如：海水、

濕頁岩等。

2. 中導電度(10⁻⁷ ≤10⁻²S/m)：為普通的透地雷達探測介質。如：純水、

乾黏土等。

3. 低導電度(σ ≤10⁻⁷S/m)：為優良的透地雷達探測介質。如：空氣、

混凝土、瀝青等。

3-3-2 衰減度(attenuation)

電磁波於介質中的衰減程度與介質的導電度、介電常數有關，其 關係式如下：

ε µ α σ

=

2 ，β =ω µε ω：角頻率(rad/sec) (3-6) 若電磁波在低損耗介質中傳播時(σ <<ωε)，衰減度公式可以簡化如 下：

ε

r

α 1635 σ

=

(3-7)

α：衰減度(db/m) σ：導電度(S/m) ε_r：相對介電常數

式中可以發現衰減度與導電度成正比。電磁波能量衰減原因可以 分為下列三種(Beres＆Haeni et al., 1991)【33】：

(1) 電磁波能量因穿越導電介質而部分轉換成熱能。

(2) 在水中的介電衰減(dielectric relaxation)

(3) 黏土礦物化學離子的擴散(chemical diffusion)

當物質為金屬般的良導體時，電磁能量衰減非常快速，所以電磁 能量是無法在良導體中傳播的，僅在導體周圍行進。故衰減度越大表 示電磁波衰減越快，雷達波所能探測深度越淺。天線頻率 100MHz 和 1GHz 材料的衰減係數，如表 3.1 所示【34】。

表 3.1 天線頻率 100MHz 和 1GHz 材料衰減係數 材料 100MHz 1GHz 濕黏土 5-300dB/m 50-3000dB/m 濕泥土 1-60dB/m 10-600dB/m

乾砂 0.01-2dB/m 0.1-20dB/m 冰 0.1-5dB/m 1-50dB/m 純水 0.1 dB/m 1dB/m 海水 100dB/m 1000dB/m 乾混凝土 0.5-2.5dB/m 5-25dB/m

磚塊 0.3-2.0dB/m 3-20dB/m

3-3-3 相對介電常數 (Relative Dielectric Constant)

材料介電度為影響電磁波於材料介質內波傳速度快慢之最大因 素，一般材料介電度在透地雷達技術中稱為介電常數，而介電常數於 透地雷達技術中所代表是一種衡量材料可在電場中儲存多少能量的 基準，其定義為電介質在空氣中的介電常數與在真空中的電介常數的 比(兩者相比之倍數)，稱為相對介電常數，不同之電介質的媒介 (Medium)具有不同之相對介電常數，則相對介電常數ε可以用下式表 示：

ε =ε0⋅ε_r或

ε0

εr = ε (3-8)

εr：電界質之相對介電常數

ε0：真空中介電常數≅8.854187817×10⁻¹²[F/m]

電磁波在各種介質中會有不同的電性參數，如表 3.2 所示【35】。

表 3.2 各種常見介質的電性參數

介質 導電度(mS/m) 相對介電常數 速度(m /μs)

空氣 0 1 300

淡水 0.5 81 33

混凝土 0.0055 4~10 95~150

塑膠 ~0 3 80~150

石灰岩 0.5~2 7~16 75~113 花崗岩 0.01~1 5~7 113~134

頁岩 1~100 5~15 77~134

黏土 2~1000 5~40 74~150

泥砂 1~100 9~23 63~100

砂 0.01 4~30 55~150

永凍土 0.01~10 4~8 106~150

磧石 - 9~25 60~100

冰 - 3~4 150~173

3-3-4 相對導磁率(Relative Permeability Constant)

材料的導磁率 ( μ ) 是說明該材料導磁性能好壞程度的一個 物理量，導磁率的數值越大，材料的導磁性能越好。導磁率又稱為導 磁系數(Permeability)。真空的導磁率是一個常數，空氣的導磁率與真 空導磁率非常接近，所以在一般情況下，空氣的導磁率也可看作等於 真空的導磁率，其他材料的導磁率µ與真空中導磁率µ₀ 的比值，稱 為該材料的相對導磁率 µ_r，其關係式如下所示：

真空中導磁率µ₀ =4π×10⁻⁷[H/m]

µ =µ₀⋅µ_r 或

µ0

µ_r = µ (3-9)

相對導磁率是一個無單位的物理量。材料的相對導磁率說明了該 導磁性能比真空 ( 或空氣 ) 高多少倍，其大小代表該的導磁性能的 高低。

3-3-5 穿透係數與反射係數

透地雷達發射電磁波由介質 1 傳播到介質 2 中，會有一部份反 射，一部份則會穿透往下傳播，其反射係數與穿透係數如下所示。

1 2

1 2

µ η

η η

+

= −

R (3-10)

1 2

2 2

η η

η

= +

T (3-11)

其中η₁、η₂分別為介質 1、介質 2 的之阻抗(Impeddance)，一般 介質的阻抗大小和下列參數有關：

(1)相對介電常數εr

(2)導電率σ

(3)角頻率ω

(4)導磁率µ

其關係式如下：

η j^ωµ

j = −1 ω 2= πf f =1GHz (3-12)

對於絕緣體而言，導電率σ =0，假設介質 1、2 為絕緣體，且導 磁率µ相同，可得到下列公式：

2 1

2 1

r r

r

R r

ε ε

ε ε

+

= − (3-13)

其中ε_r為介質中相對介電常數

若介質並不是絕緣體，導磁率也不相同，其反射係數 R 與穿透 係數 T 可得下列關係式【36】：

1 1 2

2

1 1 2

2

r r r

r

r r r

r

R

ε µ ε

µ

ε µ ε

µ

+

−

= (3-14)

1 1 2

2 2

2 2

r r r

r r

r

T

ε µ ε

µ ε µ

+

= (3-15)

其中：µ_r為介質中之相對導磁率 ε_r為介質中之相對介電常數

表 3.3 常見之相對介質反射係數

入射物質 反射物質

空氣 塑膠 混凝土 金屬

空氣 － 0.27 0.42〜0.54 ~1 塑膠 -0.8 － 0.17~0.31 ~1 混凝土 -0.54〜-0.42 -0.31~-0.17 － ~1

金屬 ~-1 ~-1 ~-1 －

3-4 波傳現象之物理特性

波可分為機械波與電磁波兩種。機械波是由機械震動系統產生，

且傳播時需要介質才能傳導，如聲波、水波或繩波等。電磁波是由電 磁震盪系統產生的，可在無介質的真空傳播，如光波、重力波。

3-4-1 波的行進方式

波形成的條件必須包括波源及介質這兩項，例如，對平靜的水面(介 質)投擲小石子時，以該處(波源)為中心展開圓波紋如圖 3.3 所示，而 水波經由上下方向之震動起伏，逐漸向外擴散。電磁波的傳遞，是利 用週期性地改變電荷狀態，造成周圍空間產生隨時間變化的電位差，

因此產生隨時間變化的磁場，同時也產生隨時間變化的電場，因而交 互振動成為波在空間傳播【37】。

圖 3.3 水波

3-4-2 頻率、週期、波長和速度之間的關係

(1) 頻率(Frequency)

波的頻率如圖 3.4 所示，就是在一秒鐘內波重複出現的次數，通 常以 f [Hz]表示，舉例來說，如果在一秒鐘內重複出現 2 次波，其頻 率為 2Hz，同樣地如果一秒鐘內重複出現 1000 次波，則頻率為

1000Hz(1kHz) 。

波的大小

波長 波峰

圖 3.4 頻率表示圖

(2) 頻率與週期之間的關係

如圖 3.5 所示，正弦波(Sine Wave)的一個週期假設為T[s]，則頻 率 f 為



 = z

T H

] S[

1 1

秒 ，頻率表示一秒鐘內有多少個週期為T之正弦波發 生，頻之單位為 Hz。

(3) 波長

波長(Wave Length)，就是指正弦波之波峰與波峰(波谷與波谷)之 間的距離而言，如圖 3.5 所示，其單位為公尺[m]或公分[cm]。頻率越 高則波長越短。

2Hz

4Hz

重複出現 2 次

重複出現 1000 次 重複出現 4 次

1 秒鐘

1000Hz

圖 3.5 波之速度與波長、頻率之關係

(4) 波之速度與波長、頻率之間的關係及表示方式

正弦波的波長λ[m]、週期為T[s]、頻率為 ƒ[Hz]，當其速度ν[m/s]

行進時，由於速度等於距離(在此為波長λ)除以時間(在此為週期

T )，可以用下式表示：

[ ]

m s Tλ

ν = =

時間

速度 距離 (3-16)

又，由於週期T與頻率 f 之間的關係為

f T1

= ，因此可導出下面之關係 式：

f

v=λ× (3-17) 假設波之行進速度為^3×108

[ ]

^{m s} (即電磁波在真空中行進之速度)，則頻 率與波長之間的關係如圖 3.6 所示。

週期 T[s]

頻率

f =T1

波長^λ

[ ]

^m

波之行進速度^ν

[ ]

^{m /s}

圖 3.6 電磁波(波速為^3×108

[ ]

^{m s} )時，頻率與波長之關係

3-4-3 波之公式

波之相位與時間之關係， 如圖 3.7 所示，角度θ(相位)變化之速 度稱為角速度(角頻率)，以ω表示，在某時間t時之角度θ(相位)為

⋅t

=ω

θ 。設角速度ω之波旋轉一圈(即 360°: 2π Radian)的時間為 T，

則：

T ω 2π

= (3-18) 頻率 f 與週期T之間的關係如下：

f =T1 (3-19) 因此，角速度ω可以用下式表示：

ω 2= πf (3-20) 此式若以速度為ν行進之波來表示角度θ變成如下所示：

50Hz

1 波長 6000km

1 波長 60cm 500MHz

1 波長 30cm

1 波長 15cm

1GHz

2GHz

f t π ω

θ = ⋅ =2 (3-21)

( )

( )

kx

x f f f x ft x

=

⋅

=

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

=

π λ

λ ν

λ π

π ν

2 2 2

(3-22)

由上式得知，角度θ等於波數k與波之行進距離 x的乘積。

根據圖 3.7 所示，可以利用 ^f

( )

^{x = Asinθ = Asinkx式來表示“波往} 右行進之波與往左行進之波兩者之行進速度均為ν，往右行進之波可 以用下式表示：

^f

( )

^{x = Asin}

{

^k(x−vt

}

(3.23) 往左行進之波可以用下式表示：

^f

( )

^{x =Bsin}

{

^k(x+vt

}

(3-24) 當往右行進之波與往左行進之波相重疊（假設兩波之波幅相等，

A＝B），合成之波如下式所示：

^Asin

(

^kx−kvt

)

^+Bsin

(

^kx+kvt

)

^{=2Asinkx⋅coskvt} (3-25) 上式可用圖 3.8 所示，此圖表示波形是將某一點固定而波幅發生 變化，由於波為固定，故稱之為“駐波”。在高頻訊號，當反射波發 生時也會產生同樣的駐波。

圖 3.7 角速度ω與相位θ

0 θ

⋅t

= ω

2π(旋轉一周)

旋轉一周越快頻率越高

⋅t

=ω θ

圖 3.8 行進波與反射波之合成

3-5 透地雷達探測方法

3-5-1 透地雷達剖面圖像產生方式

透地雷達電磁波的行進方式簡單的說，可分為三個步驟：

(1) 由激發天線發射出電磁波能量。

(2) 電磁波進入不同的介質層或接觸到待測物體，則會產生反射波。

(3) 接收天線將這些反射波依序擷取，並記錄之。

電磁波的傳播會隨著介質種類的不同與介質的埋設深度不同而 產生不同的反射振幅，而介質的電性參數是影響電磁波反射訊號的主 要因素，因此可以利用反射訊號(振幅)之間的差異，來評估埋設物反 射訊號強弱與埋設深度。雷達波連續反射剖面圖產生方式如圖 3.9、

圖 3.10 所示，在 Δ t 時間範圍內，雷達天線正下方（A 區）並無接觸 到埋設介質，但在從一時間內(Δ t)，雷達天線發射訊號前端（B 區）

已經接觸到了埋設介質，因此在（A 區）得到的反射訊號，包括了同 一時間內(B 區)位置的反射訊號，所以利用透地雷達檢測鋼筋或管線

行進波

反射波

(

^{kx kvt}

)

Asin −

(

^{kx kvt}

)

Asin +

2A

kvt A cos 2

kvt kx

Asin cos

2 ⋅

合成波大小取決於往右行 進之波與往左行進之波的 相位差(距離之差)

在文檔中 中 華 大 學 (頁 32-55)