i caplet i caplet
m
‧
接著利用 Euler and Milstein scheme 進行間斷化( Discretization )，可得到
2
‧
spot spot spot spot
M
spot spot spot spot
M
spot spot spot spo
M M M M
二、最小平方蒙地卡羅模擬法最小平方蒙地卡羅模擬法最小平方蒙地卡羅模擬法最小平方蒙地卡羅模擬法(Least Squares Monte Carlo Approach, LSM) Longstaff and Schwartz(2001)提出利用最小平方蒙地卡羅法來得出一個最適 履約法則(optimal stopping rule)以極大化美式選擇權的價值。主要利用所模擬出 之所有路徑配合最小平方法(Least Squares Regression)，從到期日以倒推(back approach)方式，求出並比較每個履約時點的「繼續持有價值(holding value」和「立 即履約價值(immediate exercise value)」，以找出每條路徑的最適履約時點。如此，
不同路徑將有不同的履約時點及到期價值，將不同路徑的現金流量折現到期初，
加總平均後即可得到此一美式選擇權的價值。
首先，令 (h w t 為時點 t 立及履約價值，n, ) w nn, =1,...N ，為模擬路徑。
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LIBOR 利率路徑，並利用反向變易法(antithetic method)產生另一條利率路徑。重 覆以上N/ 2次，即可建構出N條利率路徑。‧ 國
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25 步驟三：
計算各路徑期末的商品價值。接著判斷在最後一個履約時點上，哪些路徑的 商品是處於價內，將這些路徑在該時點的利率作為自變數，並把這些路徑的期末 價值折現到此時點作為應變數，然後利用回歸式(3-33)求得各路徑的估計值，並 判斷該時點是否為各路徑的履約時點。在倒數第二個履約時點上，一樣以該時點 的利率作為自變數，如果一路徑有提早履約，以提早履約時點之價值折現到該時 點作為應變數；若無，則以期末價值代替，同樣利用回歸式(3-33)來決定該時點 是否為各路徑的履約時點。重覆以上過程直到第一個履約時點。
步驟四：
將各路徑的履約時點的價值以公式(3-16)折現至期初，若一路經無提早履約，
則期末為履約時點。最後加總平均這些期初價值，即商品價值。
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第四章 第四章 第四章
第四章 五年期雙區間鎖定可贖回債券 五年期雙區間鎖定可贖回債券 五年期雙區間鎖定可贖回債券 五年期雙區間鎖定可贖回債券
此章為商品個案分析，將依據第三章的研究方法來進行分析。
第一節 第一節 第一節
第一節 商品介紹 商品介紹 商品介紹 商品介紹
一 一 一
一、、、、商品說明書商品說明書商品說明書商品說明書
商品名稱 五年期雙區間鎖定可贖回債券 ( 5 YEARS USD CALLABLE
DUAL RANGE LOCK DOWN STEEPNER NOTE ) 發行機構 勞埃德 TSB 銀行（Lloyds TSB Bank plc）
發行機構評等 穆迪 Aaa / 標準普爾 AA
發行日 2007.12.7
到期日 2012.12.7
投資期間 5 年 (視情況發行商可進行贖回) 投資金額 USD 5,000,000
發行價格 100.00%
贖回價格 100.00%
利息計算 每季付息， 30/360 計息方式 7.00%( . .)p a
連結標的 Index 1：：：USD 3m LIBOR ：
以倫敦時間上午 11:00 Telerate 3750 所顯示之 USD 3m LIBOR 為準。
Index 1：：：USD 30y CMS – USD 10y CMS ：
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此 30 年與 10 年固定期間交換利率為半年付息之利率 交換，30/360 basis，以倫敦時間上午11:00 ISDAFIXI 路透社頁面所顯示為準。
計息轉換條款 如Index 於每一個觸發觀察日小於 4.75% ，計息將由1
7.00%( . .)p a 轉變為：
0.00%( . .) p a ≤ × 45 Index 2 ≤ 9.00%( . .) p a
且一旦轉換成以上的計息方式後，將以此計息方式直到債券到 期日。
附註：
觸發觀察日(Trigger Observation Date )為計息期間第一天之前 兩日。
贖回日(Call Date)為由 2008.03.07 起，每一個付息日(包含到期 日)發行商皆可進行贖回；且贖回時採行以面額 100%贖回。
二 二 二
二、、、、商品特性商品特性商品特性商品特性
此商品最大的特色在於其具有障礙選擇權的特性，在未碰觸到障礙 (3m LIBOR<4.75%)前，得到一固定利息 7%；在碰觸到障礙後，將進入一較複雜的計 息型態(45×(30y CMS - 10y CMS))，而當變成此計息型態時，將有機會得到較高 之利息 9%；但也有可能因 30y CMS 與 10y CMS 的走勢關係，而使投資報酬率 反而低於 7%。圖 4-1 與圖 4-2 為發行日前一年之 3m LIBOR、30y CMS 與 10y CMS 歷史走勢。
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圖 4-1. USD 3m LIBOR 歷史走勢圖 資料來源：Datastream(2006/07/14 ~ 2007/12/06)
圖 4-2. USD 30y CMS 與 10y CMS 歷史走勢圖 資料來源：Board of Governors of the Federal Reserve System
(2006/07/14 ~ 2007/12/06)
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29 三三
三三、、、、情境分析情境分析情境分析情境分析
以下針對此商品作情境分析，先假設 3m LIBOR 走勢未突破門檻障礙 4.75%，
接著假設 3m LIBOR 突破障礙下，30y CMS 和 10y CMS 之利差持續走高，走低 和維持目前水準，共四種情形。
1. 3m LIBOR 始終維持在 4.75%以上
假設 3m LIBOR 在每個觸發觀察日皆大於 4.75%，根據條款，投資人每季 將獲得固定付息 7%(年化報酬率)，如此我們可將投資此金融商品視為投資在利 息較高之定存；但因報酬率高於目前的利率水準，因此須考慮到發行商進行贖回 的問題。
2. 3m LIBOR 在第一個觸發觀察日小於 4.75%，且利差持續走高
假設交換利率利差每季上升 0.1%，目前的利差為 15.75% (以乘上 45 倍)，故 第一季為 15.85%，之後為 15.95%，16.05%，以此類推。根據條款，投資人將每 季皆可得到 9% (年化報酬率)，而如同情況 1，因為報酬率高於目前利率水準，
因此發行商進行贖回的可能性很大。表 4-1 列出利差上漲時，投資人的收益狀況，
假設在第四季時，發行商贖回此商品。
表 4-1. 利差上漲付息狀況
季 1 2 3 4
付息(年) 9% 9% 9% 9%
3. 3m LIBOR 在第一個觸發觀察日小於 4.75%，且利差持續走低
假設交換利率利差每季下跌 0.1%，第一季為 15.65%，之後為 15.55%，15.45%，
以此類推。根據條款，即使投資人持有此商品到到期日，仍可每季獲得 9% (年 化報酬率)；因此發行商進行贖回的可能性仍然很高。假設在第四季時，發行商 贖回此商品，投資人的收益狀況同表 4-1。
‧
品為每季付息，可配合拔靴法( Bootstrapping )以求出每季的殖利率，如此可得到 一完整的殖利率曲線。發行日(2007/12/07)當天的各季到期的 LIBOR rate 和一年 期以上的 Swap rate 報價如下： LIBOR rate 5.14063 4.93188 4.67375 4.48875資料來源：Datastream (2007/12/07) 表 4-3 各年度的 US IR Swap – Middle Rate (%)
‧
資料來源：Datastream (2007/12/07)
將市場 Swap rate 資料利用非線性內插法(Cubic Spline)內插出以三個月為間 隔的 Swap rate，並配合一年以下的 LIBOR rate，以拔靴法( Bootstrapping )根據交 換利率的公式求出零息債券價格。交換利率公式採(3-11)如下：
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為間隔的零息殖利率曲線( Zero Coupon Yield Curve− )求出，見表 4-3。本商品投 資期間雖僅為 5 年，但連結到 30y CMS，故需要長達 35 年的殖利率曲線，且由 於殖利率曲線會隨時間經過會愈趨平坦，因此假設 30 年後的殖利率皆相等，見 圖 4-1。
表 4-4 每季殖利率估計值
到期日 到期日 到期日
到期日(年年年年) 殖利率殖利率殖利率殖利率 到期日到期日(年到期日到期日年年) 年 殖利率殖利率殖利率殖利率 到期日到期日到期日到期日(年年年年) 殖利率殖利率 殖利率殖利率 到期日到期日到期日到期日(年年年年) 殖利率殖利率 殖利率殖利率
0.25 5.1406% 7.75 4.6672% 15.25 5.1231% 22.75 5.2415%
0.5 4.9319% 8 4.6911% 15.5 5.1311% 23 5.2416%
0.75 4.6738% 8.25 4.7135% 15.75 5.1392% 23.25 5.2416%
1 4.4888% 8.5 4.7349% 16 5.1472% 23.5 5.2417%
1.25 4.2314% 8.75 4.7555% 16.25 5.1551% 23.75 5.2417%
1.5 4.1328% 9 4.7755% 16.5 5.1630% 24 5.2417%
1.75 4.0647% 9.25 4.7952% 16.75 5.1706% 24.25 5.2418%
2 4.0399% 9.5 4.8145% 17 5.1781% 24.5 5.2419%
2.25 4.0453% 9.75 4.8331% 17.25 5.1853% 24.75 5.2420%
2.5 4.0575% 10 4.8510% 17.5 5.1923% 25 5.2422%
2.75 4.0739% 10.25 4.8685% 17.75 5.1989% 25.25 5.2425%
3 4.0921% 10.5 4.8859% 18 5.2052% 25.5 5.2427%
3.25 4.1167% 10.75 4.9031% 18.25 5.2110% 25.75 5.2430%
3.5 4.1503% 11 4.9200% 18.5 5.2164% 26 5.2432%
3.75 4.1876% 11.25 4.9363% 18.75 5.2212% 26.25 5.2435%
4 4.2234% 11.5 4.9520% 19 5.2255% 26.5 5.2437%
4.25 4.2571% 11.75 4.9669% 19.25 5.2292% 26.75 5.2440%
4.5 4.2912% 12 4.9807% 19.5 5.2322% 27 5.2442%
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4.75 4.3251% 12.25 4.9940% 19.75 5.2345% 27.25 5.2445%
5 4.3579% 12.5 5.0070% 20 5.2360% 27.5 5.2447%
5.25 4.3899% 12.75 5.0197% 20.25 5.2370% 27.75 5.2449%
5.5 4.4212% 13 5.0322% 20.5 5.2379% 28 5.2451%
5.75 4.4517% 13.25 5.0442% 20.75 5.2387% 28.25 5.2453%
6 4.4812% 13.5 5.0559% 21 5.2393% 28.5 5.2454%
6.25 4.5094% 13.75 5.0672% 21.25 5.2399% 28.75 5.2456%
6.5 4.5367% 14 5.0780% 21.5 5.2403% 29 5.2457%
6.75 4.5634% 14.25 5.0882% 21.75 5.2407% 29.25 5.2458%
7 4.5896% 14.5 5.0978% 22 5.2410% 29.5 5.2458%
7.25 4.6159% 14.75 5.1068% 22.25 5.2412% 29.75 5.2459%
7.5 4.6420% 15 5.1151% 22.5 5.2414% 30 5.2459%
圖 4-3 殖利率曲線圖
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F(0;2.5,2.75) 4.2824% F(0;5,5.25) 5.0350%
三 資料來源：Datastream (2007/12/07)
為了校準出各不同到期日Caplet的波動度，須先以非線性插補法得出每半 年期的Cap隱含波動度，帶入(3-21)，透過不斷迭代計算出各期Caplet隱含波動 度。步驟如下：
步驟一：
在以六個月LIBOR為標的下，Caplet的價值可用Black’s formula(3-9)來表示，
其中t=0，δk = =δ 0.5。Caplet的價值可表達為：
‧
‧
接著根據(3-22)，Caplet 波動度與遠期利率瞬間波動度的關係式：
1 1
‧
‧
‧
‧
8 發行機構利潤率= (1-0.93154)/ 0.93154 =0.0735。
9 利息收入=純債券價格-零息債券價格。
10 提前贖回價值=純債券價格-含贖回權債券價格。
‧
‧
Delta 是指殖利率曲線變動時，對本商品價格的影響。此商品本金為 5,000,000 美元，由前一節已知[E為 4,657,700 美元，而當殖利率曲線向上平移 10bp(0.1%)
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第五節 第五節 第五節
第五節 發行商與投資人策略及風險分析 發行商與投資人策略及風險分析 發行商與投資人策略及風險分析 發行商與投資人策略及風險分析
一、發行商的策略分析
從此商品的付息條件的設計可知，發行商付息的多寡乃根據市場上利率的走 勢而定，當 3m LIBOR 利率在觸發觀察日低於 4.75%時，一旦發行商對於利率未 來走勢看法錯誤，轉變後的計息型態可能使發行商面臨更高利息支出的潛在壓力。
所幸發行商擁有可贖回此商品的權利，所以當利率走勢不利於自身時，發行商勢 必會執行贖回權。
若發行商欲進行避險時，首先必須先針對 3m LIBOR 的走勢進行避險，可買 入一現金或無償式買權(Cash-or-Nothing Call, CNC)來規避 3m LIBOR 碰觸到障 礙門檻前的利息支出；而針對 30y CMS 與 10y CMS 的利率差走勢，可買入利率 價差買權來規避 30y CMS 高於 10y CMS 的風險。但如發行商欲從市場上買入符 合付息型態的避險工具仍屬不易，將使執行避險時的成本提高；因此對發行商而 言，執行贖回將是規避虧損最好策略。
二、投資人的風險分析
由商品的付息型態來看，投資人投資此商品最主要的考量因素為：
1. 在觸發觀察日，3m LIBOR 是否會觸碰到門檻 4.75%。
2. 發行商是否會執行贖回權。
由發行日前 180 天的歷史走勢來看，3m LIBOR 幾乎都在 4.75%以上，所以 不考慮發行商進行贖回下，此商品可視為一固定付息的債券。但由模擬結果來看，
發行商在前幾期進行贖回的可能性很高，而主要原因可能也來自發行商給予了交 換利率差 45 倍的乘數，雖定有付息上限 9%，但仍遠高於當時市場利率水準；
因此投資人進行投資前勢必要有發行商提早贖回的認知。整體而言，投資人面臨
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1. 匯率風險
因為此商品以美元計價，投資人除了負擔匯兌的手續費之外，還須承擔投資 期間內美元大幅下跌的風險。
2. 在投資風險(提前贖回風險)
當發行商執行其贖回權時，意味著投資已到期，此時投資人將面臨了在投資 風險。而這也是在可贖回的結構型商品中，投資人常面臨的風險。
3. 利率風險
由前一節可知，因為 Delta 為負值，因此當殖利率上升時會造成商品價值下 降；因此當市場利率未來走勢不如投資人預期時，即會造成本金上的虧損。
4. 信用風險
當發行商無法履行其利息支付時，投資人即面臨了本金上的損失。
第六節 第六節 第六節
第六節 本章小結 本章小結 本章小結 本章小結
本文所選擇商品為由全球知名的勞埃德銀行所發行，且擁有優良的信用等。
雖然本商品的投資期間為五年，但由模擬結果可以看出真正的投資期間應該 更短。儘管發行商提早贖回的可能性很大，但因其付息條件仍會對投資人具有相 當的吸引力，可將此商品當作短期的高收益投資標的。
觀察過去 30y CMS 和 10y CMS 的歷史走勢，可以發現期利率差皆為正值，
且一般而言，長天期的利率會大於短天期的利率。因此，對於發行商而言，在 45 倍的利率差加乘下，其實面臨了頗高的利息支出，如當發行商沒有適當的避
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險方式時，提早贖回是可期的結果。 根據模擬的結果，此商品由發行商在前兩 季贖回的累積機率也高達 76.88%，這也顯示了在發行此商品後，發行商進行避 險的成本可能過高，而傾向以贖回的方式來降低其風險。
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第五章 第五章 第五章
第五章 結論 結論 結論與建議 結論 與建議 與建議 與建議
本論文主要對於市面上交易量較大的利率結構型商進行評價。第四章中所採 用的個案為勞埃德銀行發行的「五年期雙區間鎖定可贖回債券」，其計息方式連
本論文主要對於市面上交易量較大的利率結構型商進行評價。第四章中所採 用的個案為勞埃德銀行發行的「五年期雙區間鎖定可贖回債券」，其計息方式連