2-1 二維光子晶體之設計
2-1-1 光子晶體元件設計步驟
a.先決定其晶格種類及所使用材料的折射率和決定其折射率的 分佈狀況。
b.算出其能帶結構。
c.分析能帶結構找出適合的波長和晶格常數(Lattice Constant) 的關係。
d. 按波長的比例將光子晶體等比例放大。
2-2-2 光子晶體元件設計說明
4. 先決定其晶格種類及所使用材料的折射率和決定其折射率的 分佈狀況，如下圖（12），在眾多結構中，最密六角堆疊排列 結構是非常好的選擇，可使光子晶體產生極寬的光子能帶，且 當折射率在 1.87 以上時，即可產生完整能隙。所以我們最後 也是以它為主要結構。
幾個種重要參數:
Backgroud Material:背景折射率，材質為空氣其折射率為 1 Material:基材折射率，材質為 Silicon 其折射率為 3.5 Index Difference: 基材折射率-背景折射率，其折射率為 2.5 Width:晶柱直徑
a:晶體週期長度
圖 12 重要參數示意圖
5. 計 算 其 能 帶 結 構 ， 也 就 是 其 色 散 關 係 (Dispersion Relation)，能帶結構可以用簡單的平面波展開法(Plane Wave Expansion Method)求得，在各個位置對應到的光子能隙是否 存在，在縱軸看到的 Frequency(ωa/2πc)會為一個常數，視
我們所選擇的能帶而定，在這裡我們所選擇的是 0.697，它是 我們定義的第一個 TE 波能帶所在的範圍的中間值，做這個選 擇是希望能有較大的 a 值，並且在較大的能帶的範圍下，可以 容許的製程上的誤差也較大，較不易落出能帶的範圍外，所 以，在 Frequency(ωa/2πc)等於 0.697 下以 10.26μm 的波 長下，換算出來的 a 為 6.967μm。
圖 13 光子晶體能帶圖
6. 分析能帶結構找出適合的波長和晶格常數(Lattice Constant) 的關係，我們透過對 width 的大小變化所影響的能隙變化做掃 瞄，希望可以使 width 佔 a 的比例盡量達到 a 的一半，使得在 製程上可以擁有較大的線寬，所以，在這裡我們所選擇的 width 我們所使用的點
圖 14 光子晶體能帶與 width 關係
7. 在光子晶體裡只要波長和晶格常數的比例相同，就擁有相同的 特性，所以可以設計同一種結構的光子晶體，然後等比例放 大，便能適合於各種不同波長的電磁波，如下表 2 為本論文的 特定結構下四個二氧化碳雷射主要波長所對應的四個光子晶 體的尺寸。
表 2 四個二氧化碳雷射主要波長所對應的四個光子晶體的尺寸 波長(μm) a(μm) width(μm)
10.611 7.205 4.323 10.260 6.967 4.180 9.569 6.497 3.898 9.294 6.311 3.786
我們所使用的點
8. 選定其波長和晶格常數的關係之後，再以有限時域差分 (Finite-Difference Time-Domain ,FDTD)進行電磁波在光子 晶體元件中運行的特性計算[11]，我們在模擬時將時間拉長至 30000μsec，在這個時間下穿透光的功率可以達到穩定的狀 態，並且將光源至光子晶體之間的距離固定在 160μm 使得模 擬的條件較一致。
圖 15 以有限時域差分模擬光子晶體
5.最後設計結構及參數大小
圖 16 最後設計結構
λ=10.260μm a=6.9665 μm width=4.180μm
n( Backgroud Material)=1 Material=3.5
Index Difference=2.5 Beam width:100μm
晶柱直徑(width)大小，我們選擇以週期長度(a)的0.6倍，為(0.6 × a) =4.180μm，這個選擇在半導體製程上有兩個好處:
i. 在兩晶柱間有較大的線寬( 2.79 µm) ii. 可以擁有較大的晶柱直徑 (4.180μm)
iii. 有較大的光子能隙，可以容許較大的製程誤差
2-2 二維光子晶體之模擬 2-2-1 模擬
以有限時域差分法(FDTD-Finite Difference Time Domain)[13]，如 圖17 為限元素差分法示意圖，做二維光子晶體之模擬，觀察 1~15 排光子晶體的光穿透能力來看光子晶體的光子能隙的現象，如圖 18-32
圖 17 為限元素差分法示意圖[摘自 Ref13]
圖 18 1 排光子晶體穿透能力
圖 20 3 排光子晶體穿透能力
圖 22 5 排光子晶體穿透能力
圖 24 7 排光子晶體穿透能力
圖 26 9 排光子晶體穿透能力
圖 27 10 排光子晶體穿透能力
圖 28 11 排光子晶體穿透能力
圖 29 12 排光子晶體穿透能力
圖 29 13 排光子晶體穿透能力
圖 31 14 排光子晶體穿透能力
圖 32 15 排光子晶體穿透能力
2-2-2 模擬結果
在特定的介電質分佈的結構，不同排數的重覆週期下，光的穿透 率及光子晶體對光的阻擋率，圖 33 為 1~15 排光子晶體穿透功率(%)。
圖 33 1~15 排光子晶體穿透功率(%)
由模擬結果來看當光子晶體的重複結構來看，當大於 4 排時穿 透功率便會小於 0.05%當大於 5 排時穿透功率便會接近於 0，在 11~13 排間有個小小的振盪，當光子晶體在只有一排時模擬的穿透功率並不 會是最大，而穿透功率的最大值會出現在第二排。