邊界條件

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= ⁺

2

1 j j

i f ϕ ϕ

λ i = 1 , ..., N + 3 ( 3.16 )

可得特徵值λi及相對應之特徵向量

[ ]

ai , i =1 ~ N + 3；取其中落於 j 與 j+1 間之 1 條特徵值λ及相對應之特徵向量。

3.4 邊界條件

由於本模式為一結合演算模式，需在同一時刻求解水流與輸砂方 程式，而在邊界上之求解未知數為流速、水深、底床高程及床質粒徑 組成，必需依據邊界之已知水理及輸砂資料建立關係式，例如流量歷 線、水位歷線及輸砂歷線等，利用這些邊界條件，再配合原特性方程 式（3.13），如此方能得到係數矩陣；若邊界所提供的水理或輸砂資 料並非求解未知數時，可根據邊界上控制體積內質量守恆之原理建立 彼此的關係式，並經由牛頓疊代法使邊界上之未知數在求解過程中，

以同時滿足邊界條件式與特性方程式。

當流況為亞臨界流(subcritical flow)時，河床波、粒徑篩分波之傳 遞方向皆由上游往下游傳，水面波之傳遞方向一與河床波、粒徑篩分 波同向，一則為逆向，即由下游往上游傳；故需一個與水流有關、一

個與河床高程及 N 個粒徑組成相關之上游邊界條件，以及一個與水 流有關之下游邊界條件。當流況為超臨界流(supercritical flow)時，兩 水面波由上游往下游傳，河床波與粒徑篩分波則往上游傳，故需兩個 與水流有關之上游邊界條件及 N+1 個與底床高程及粒徑組成有關之 下游邊界條件。

除了考慮外部的邊界條件，對於合流及分流的交匯區，必須給於 內部邊界條件，邊界條件式之處理與推導過程詳述於後。

1. 上游邊界條件

(1) 流量歷線

一般模式常採用在上游邊界所觀測到之流量歷線Q

( )

t ，作為數值 演算之一邊界條件式。因流量為流速及水深之函數，以牛頓疊代法求 解，則Q= Au可寫為

F^m

( )

u,h =A^mu^m−Q

( )

t_k+1 ( 3.17 )

( )

u h

F , 可是為誤差函數(error function)，其定義為估計值

(

^Amum

)

與 真值^[Q

( )

^{tk+1 ]}之絕對誤差。另定義前後兩次疊代誤差如下：

ΔF =F^m+1

( )

u,h −F^m

( )

u,h ( 3.18 ) (3.17)與(3.18)式中，k 為演算時間，m 為疊代次數。

當求解之未知數收斂時，F^m+1

( )

u,h =0。ΔF 之泰勒展開式如下(忽 略二次以上的項)：

^{u Fm}

( )

^{u h Q}

( )

^{tk Amum}

本模式引進緩衝段法( buffer reach method)加以改進，此法由 Cunge et al.（1980）提出，原應用於有限差分法之分離演算模式，主 要在消除不同 DX 對演算結果之影響。本文依其原理為將上游端河 段引進一緩衝段 ΔXB(如圖 3.4 所示)，並將在 sec0 之計算點移至 secb，其初始條件可由 sec0 及 sec1 依緩衝段長短內差而得。

此處以特性線之觀念求得緩衝段之長度，以特性線投射到空間軸 上之交點作為緩衝段之長度。通常特性線判斷標準依可蘭數 Cr 及最 大延後數M 決定，假設最大延後數 M=1 之情況下，由可蘭數之定義

t Cr x ⁱ

Δ

=Δ /

λ ，λ_i 為擾動波傳遞速度，則λ_b 底床擾動波傳遞速度。因

此處定義緩衝段為起始時刻之前一時刻之距離，故緩衝段之長度即為 前一時刻之空間間距與可蘭數 Cr之乘積(如圖 3.5 所示)，即特性線與 空間軸交點至初始時刻(即下一時刻)之距離，其數學關係式可表為

t x

C

x_b = _r ⋅Δ = _b⋅Δ

Δ λ 。緩衝段會隨著輸砂公式的選用而有不同的長度；

由（2.3）式滿足輸砂連續條件差分式而得：

( ) ( ) ( )

[

^{Q Q Q Q}

]

^{t X}B

(

^pr

)

^{B z}

k B k s k

B k

s⁺¹− ⁺¹ + 1−θ − Δ =Δ 1− Δ

θ ( 3.24 )

式中，

Qs ：上游邊界入砂量；

QB ：緩衝段下游端之輸砂量；

ΔXB ：緩衝段長度。

取 θ = 1，而ΔQ_s^k+1 =Q_s^k+1−Q_B^k+1，則由( 3.24 )可得

( )

₁

1 +

+ = _{i k}

k

i P t

P i=1,…,N ( 3.28 ) 因沈滓粒徑百分組成不易獲得，所以數值上仍考慮緩衝段法，以 緩衝段下游端之粒徑百分組成為上游粒徑變化之邊界條件，其求法乃 假設在緩衝段之中，滿足沈滓粒徑組成連續方程式[(2.4)式]：

[ ( ) ( ) ]

i^k k

S k B b k Si k Bi bf k

i C Q Q F Q Q P

P ⁺¹= ⁺¹− ⁺¹ − ⋅ ⁺¹− ⁺¹ + ( 3.29 ) 其中，

(

r

)

B

bf a p x

C t

Δ

−

⋅ Δ

= − 1

F_b ：沖刷時，F_b =P_bi；淤積時，F_b =P_boi； Q_Bi ：緩衝段下游端顆粒 i 之輸砂量；

Q_B ：緩衝段下游端之輸砂量；

Qsi ：上游邊界顆粒 i 之入砂量；

Q_s ：上游邊界輸砂量；

a ：交換層厚度；

P_r ：孔隙率。

2. 下游邊條件

本模式可有如下之選擇：

(1) 水位歷線

當流況為亞臨界流時，以下游邊界之實測水位歷線作為模式演算 之邊界條件：

h^k+1+z^k+1= y

( )

t_k+1 ( 3.30 )

(1) 合流:

將合流渠道分為三段，主流上游段、主流下游段及支流段，水流 流向及示意圖如下所示：

i i+1

j

主流

支流

圖 3.6 合流交匯區斷面示意圖

其中，i 表示主流上游段最後一個斷面點，i+1 表示主流下游段第一 斷面點，j 表示支流段最後斷面點。本研究採用兩點水位相等法，此 方法只需將渠道分為兩段，主流段和支流段，在亞臨界流況下，計算 主流段時上游給定流量，下游給定水位，當計算支流段時，支流之下 游水位未知，故假設 i 點水位和 j 點水位相同，如此合流之邊界給定，

即可算出內部斷面之流量及水深。此方法優點計算上較簡易，且要達 到兩點水位相等的收斂精度也較容易，但缺點為 i 點和 j 點水位相同 之法，需要在斷面相當接近情況之下，此假設才合理。

(2) 分流:

將分流渠道分為三段，主流上游段、主流下游段及支流段，水流 流向及示意圖如下所示：

i i+1 主流

j

支流

圖 3.7 分流交匯區隔點示意圖

其中，i 表示主流上游段最後斷面點，i+1 表示主流下游段第一斷面 點，j 表示支流段第一個斷面點。本研究採用兩點水位相等法。分流 與合流不同之處，在於支流上游流量為未知，必須由水位求得流量。

此方法需假設一合理之支流上游流量起始值，將 j 點水位等於 i+1 點 水位，利用特性線給水位求流量的方式，處理上游流量；經過特性速 度之修正，算出分流之起始流量，且同時需滿足質量守恆，並符合動 量方程式與連續方程式，如此算出主、分流內部點之水位與流量。本 模式採用之方法，優點為容易給定分流上游邊界，但缺點為模式中斷 面之建立需要求精確，若有較大之誤差，則模擬出支流流量則會和實 驗值有所出入，此部分問題與限制，必須做更進ㄧ步的探討和研究。

在文檔中 多方式特性法模式應用於動床主支流之研究 (頁 43-51)