重複單元體模擬結果

將薄梁理論推導出的結構柏松效應、適用於實心塊體的材料柏松 效應，以及用有限元素分析得到的綜合結果，展示在一起，如圖6.21，

其厚長比範圍介在0.03498 與 1.732 之間，相當於相對面積比 0.04 到 1.0 之間。由圖 6.21 可以發現有限元素分析得到的結果在薄壁的範圍(厚 長比小於0.4)，非常接近梁理論，而蜂窩結構越接近厚壁時(厚長比大 於1.0)時，則是趨近材料柏松效應之常數值。

一般在表示巨觀柏松效應時會發現每當𝜈^∗於厚壁的情況下，例如𝜉 大於1 時，式(18)所得之，𝜈^∗為負值，這顯然不合理，主要原因在於本 研究所使用的梁變形理論僅適用於薄壁的情況，厚壁時柏松效應的表 示式勢必要有所修正。至於材料柏松效應較為單純，就是蜂窩的微觀 材料性質𝜈_𝑠，也就是蜂窩組成材料實心塊體的基本性質。𝜈_𝑠與𝜈^∗所得到 的結果是相反的，𝜈_𝑠只適用於極厚壁的情況，在低密度的蜂窩結構中，

孔隙足以抵消材料柏松效應，因此𝜈_𝑠與𝜈^∗不能直接加成，必需用一個函 數來關聯這兩者。在此部分會根據分析結果介紹幾種近似法則來描述 總體柏松效應對厚長比的關係。

方法1.

其中一種近似做法是選一個臨界轉換點𝜉₀，每當厚長比小於𝜉₀，總 體柏松效應就採用𝑣^∗，若厚長比大於𝜉₀，則採用𝑣_𝑠。最佳的轉換點無疑 是𝜈^∗與𝜈_𝑠的交會點，這將使得總體柏松效應對厚長比的關係為一連續函 數。然而它的缺點是在臨界轉換點處，誤差將達到最大。

方法2.

另一個方法則是採用一個過渡轉換段，選取兩個轉換點𝜉₁與𝜉₂來切 換𝜈_𝑠與𝜈^∗，每當𝜉小於𝜉₁時，總體柏松效應採用𝜈^∗；𝜉大於𝜉₂時，則採用 𝜈_𝑠，其中𝜉₁ < 𝜉₂，若厚長比介於𝜉₁和𝜉₂之間時，則必須將𝜈_𝑠與𝜈^∗以分段 線性或二次方式疊加(Linear or Quadratic Superposition)的方式來表示。

在此我們令𝑣_𝑚為巨觀柏松效應的最終表示式，即

𝜈_𝑚=𝜈^∗，當𝜉 < 𝜉₁時 (19)

𝜈_𝑚=𝜈_𝑠，當𝜉 > 𝜉₂時 (20)

𝜈_𝑚=𝐹₁(𝜉，𝜉₁，𝜉₂)𝜈_𝑠+ 𝐹₂(𝜉，𝜉₁，𝜉₂)𝜈^∗，當𝜉₁ < 𝜉 < 𝜉₂時 (21) 其中一種簡單的線性疊加表示方式

𝜈_𝑚 = ^𝜉−𝜉1

𝜉₂−𝜉₁𝜈_𝑠 + ^𝜉2−𝜉

𝜉₂−𝜉₁𝜈^∗，𝜉₁ < 𝜉 < 𝜉₂ (22)

但𝜈_𝑠與𝜈^∗的有效範圍不一定相同，轉換點位置可以獨立選取，所以可以 採用另一種更有調整性的線性疊加方式

𝜈_𝑚 = ^{𝜉−𝜉𝑆1}

𝜉_𝑆2−𝜉_𝑆1𝜈_𝑠 + ^{𝜉2∗−𝜉}

𝜉₂^∗−𝜉₁^∗𝜈^∗ (23)

其中𝜉_𝑆1與𝜉_𝑆2為材料柏松效應𝜈_𝑠的兩個轉換點，𝜉₁^∗與𝜉₂^∗則為結構柏松效 應𝜈^∗的兩個轉換點。若以二次曲線做為內插函數，則可表示成

𝜈_𝑚 = ^{(𝜉−𝜉𝑆1)2}

(𝜉_𝑆2−𝜉_𝑆1)²𝜈_𝑠 + ^{(𝜉2∗−𝜉)2}

(𝜉₂^∗−𝜉₁^∗)²𝜈^∗ (24)

以上為幾種組合方式但並不唯一。如果以高次函數去符合數值結

圖6.23 是另一種分段線性轉換方式，當蜂窩結構為薄壁時主要是 以結構柏松效應為主，也就是說初期主要是結構柏松效應來貢獻，但 隨著厚長比增加，此時結構柏松效應以線性遞減至ξ = 0.637時降為 80

％。如果由圖6.24 來呈現，在ξ = 0.637以前，線性轉換的效果很好，

但厚長比介於0.637 與 1.0 之間效果不彰，而在厚長比大於 1.0 之後，

則是由材料柏松效應主導。

圖6.22 不同過渡區間對總體柏松效應之影響

100%

80%

0.637 0.000

0% 1.000 厚長比

柏松效應

結構柏松效應 材料柏松效應

圖6.23 不同過渡區間對總體柏松效應之影響

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 0.5 1 1.5 2

t/L

Vm

FEM

Piecewise Linear

圖6.24 分段線性轉換方式所得結果與有限元素數值結果比較