本章介紹相對重力觀測方程式與重力網平差，並且在網形中產生奇異的問題 利用自由網和加權約制的方式來解決。要執行重力測量之前，要規劃網形（設計 矩陣）來預估網形精度。以經驗法來規劃網形並且克服因受地形限制而無法施測 之重力測線。另外我國於2003 年 12 月購進 FG5 絕對重力儀，約制新的絕對重力 值可預估提高重力網的精度是多少。
3-1 相對重力測量觀測方程式與重力網平差
相對重力測量觀測方程式是重力網平差的基本要件包含環境改正完的相對重 力值、基準未知數和漂移參數。重力網平差中為了使重力值有唯一解、且法方程 式不產生奇異，因此本章介紹自由網與加權約制平差。
3-1-1 相對重力測量觀測方程式
相對重力測量除了重力值外，觀測方程式還包含一些參數，如基準未知數和 漂移參數等。重力測量的觀測方程式為(Torge, 1989)：
)
0 D(
t N g v
l
+ = + + ( 3-1a )基準未知數
N
0，漂移參數D( 。t
)以讀數之差Δ
l
i，j =l
j −l
i組成之相對重力觀測方程式為：( ) ( ) [
j i]
i j j i j
i
v g g t t
l
, + , = − +D −DΔ ( 3-1b )
(4-2b)式未知基準
N
0因相減而消除，v
i，j為Δl
i，j之殘差， ， 為觀測時間。觀測多餘觀測以估計未知數的方法有若干種，例如：（1）最小二乘法（method of least-squares）、（2）最大可能性法（maximum-likelihood method）、（3）最小變方法
（method of minimum variance）。當觀測量呈常態分怖時，上述方法所得未知數估
Model)來求解未知數，定義未知坐標參數 X 和隨機觀測量之間的關係。相對重力 網的基本觀測量是相對重力值，即是兩相鄰重力點之重力差值再加上環境變化和 系統誤差影響加入適當的數學模式和隨機模式。在函數模式中，若係數矩陣或法 方程式矩陣的秩數不足，會成造法方程式矩陣為奇異矩陣（singular matrix），也就 是法方程式矩陣之逆不存在。為了克服秩虧(rank defect)問題採用：(1). 加入坐標 虛擬觀測量來解決。 (2). 固定網中任一點。因此、本章介紹兩種模式(自由網平差、
加權約制平差)，所利用公式和理論直接摘錄李莉華（2001）、Hwang et al.（2004）
等所整理內容，方便本論文研究。
1. 自由網平差
造成法方程式 N 矩陣秩不足的原因有基準不足和圖形缺失兩種。基準不足是 網型中沒有足夠的訊息來定義參考系空間位置所需之基準參數；圖形缺失是構成 一個穩定圖形所必須具有的基本觀測量不足。為了克服秩虧的問題，採用秩虧自 由網平差，最主要將網中所有點變動機率視為相同。
在沒有已知點的重力網和三角三邊網間接平差時，如果任意假定一組已知 點，則平差後所得之其他高程或坐標，是相對於已知點的成果。已知點位置不同，
平差後的高程或坐標也不同，另外精度也不同。距離已知點越遠精度越差。沒有 給定已知點平差，它的法方程式矩陣( N)是秩虧的奇異陣，因此有無窮多組解。另 外在高程網、GPS 基線網、導線網也都有相同的情形。通常這類的平差問題稱為 秩虧自由網，簡稱自由網(魯林成和於宗壽，1982)。在自由網平差中沒有已知起算 數據，為了使參數有唯一解，在 改正量加權平方合最小外，尚有兩種特性 (Caspary, 1988)，即：
PV VT
X 2
X
XT = = min 且 trace(QXX)=min ( 3-3 )
使未知數X 的未知數向量，和未知數向量的協因子矩陣(Cofactor Matrix) 的跡（trace）最小。重力網觀測方程式係數矩陣 A 之每一列之前 k 各元素由 0、-1、
0
[
Ag AP]
點給定先驗變方值(priori variance），也就是適當的權，讓改正數 值趨近於零，這 種平差的方式稱為加權約制平差(weighted constrains adjustment)，僅固定一點就稱 為最小約制平差。加權約制平差的數學模式如下( Uotila，1986)。V
xb
)
未知參數
Xˆ
a之變方-協變方矩陣( variance-covariance matrix)為：1
低。因此，設計矩陣是重力測量施測量前的第一步驟，關係著外業結束後網型平 差精度的好壞，不能輕忽之。
3-2-1 虛擬觀測(pseudo measurement)
在重力測量還未執行前必須先規劃網形，考慮網形的強弱。每個點至少要跟另 外相異的兩個點相連，避免點有標準偏差過大情形發生。因此，本節是以經驗法 則來探討重力網形規劃之問題。台灣屬於地形起伏較大之島。受到地形的限制，
在高山地區無法讓每一個點有足夠觀測量來求得較佳解，因此利用虛擬觀測 (pseudo measurement)的方式來達到(如圖 3-1)。在下圖 3-1 是在中央山脈佈設的重 力點，在點S705 必須再與另一點相連，不然觀測量不足會產生標準偏差過大情形 發生。點 S705 與周圍相鄰點中僅與 S513 易到達，其他點因為地形的限制，人員 無法到達，這時採虛擬觀測的方式多增加一組觀測量(S705 至 S325)。在相對重力 測量中，採往返觀測，每一點都會施測兩次，避免人為誤差以及率定儀器漂移。
在三角網中(S705、S513、S325)，S705 至 S513、S513 至 S325 是重力施測路線。
S325 至 S705 路線可把 S705 至 S513、S513 至 S325 路線觀測 S325、S705 的重力 值，取出來當作S325 至 S705 路線所觀測到的重力值。由於這種方式並不是從 S325 測至 S705，而是利用間接的方式來取得資料。吾人稱之為“虛擬觀測(pseudo measurement)”。專門使用在山區不易到達之處，用來克服點位觀測量過少之問題。
3-2-2 實例驗證
以今年內政部要實行一等重力測量為例，一等重力測量有825 點，利用未知數 變方協變方矩陣，對角線元素開平方來求得每一點之標準偏差如（3-23）式，先驗
單位權中誤差（ ）設為 1mgal。權矩陣(p)跟重力儀精度有關。Graviton EG 相 對重力儀精度設為0.02mgal，精度平方之倒數來當作每一個相對重力的權如（3-2）
式，固定新竹已知重力點。在網形中有標準偏差過大地區增加多餘觀測量來增加 該區之精度，並配合公路網及山區步道最後設計出一等重力點825 點規劃網形 (如 圖3-2)。在此網形中特殊地方採用虛擬觀測，其餘地方用實際觀測。利用（3-23）
式求出每一個未知重力點的標準偏差，結果如(表 3-1)。最大值是 0.043mgal，最小 值因為固定點是新竹所以是0、平均值是 0.034mgal、rms 是 0.005mgal，每一點均 小於一等重力精度0.06mgal（中興測量，2004），所以此預估設計矩陣可被接受。
把所有點之標準偏差畫成直方圖，成一鐘型分布(如圖 3-3 )。
2
σ
0圖3-1 虛擬觀測網形圖
圖3-2 一等重力點網形規劃圖
表 3-1 一等重力測量網型設計結果 標準偏差最大值
(mgal)
0.043
標準偏差最小值
(mgal) 0 標準偏差平均值(mgal) 0.034
標準偏差均方根
rms(mgal) 0.005
0 50 100 150 200 250 300
0.002 0.007 0.013 0.018 0.024 0.03 0.035 mgal
numbers
圖3-3 一等重力測量點位標準偏差直方圖
3-3 增加絕對重力點對網形之影響
由於高精度絕對重力儀和相對重力儀之發展，促進了各個國家高精度重力網 產生。我國在購置了FG5 絕對重力儀之後，可以研究在重力網中絕對重力薄弱地 區引入新的絕對重力值將大為提高國家控制網的精度和可靠性。另外在選擇絕對 重力點前要考慮他們的準確度與分布狀況，來做適當的挑選。
3-3-1 實例驗證
以一等重力點網形規劃為例如圖（3-2），加上內政部於今年即將完成台灣省 15 個絕對重力點之施測（如圖 3-4），15 個絕對重力點平均分佈在台灣本島，網形 結構性強。把15 個絕對重力點加在一等重力點之網形規劃中，利用(3-23 )式將PX 矩陣中斜對角線上，相應位置先驗權值為最大，矩陣內其餘元素為零，求得每一 點之標準偏差，先驗單位權中誤差（ ）設為1mgal。權矩陣(p)跟重力儀精度有 關。Graviton EG 相對重力儀精度設為 0.02mgal，精度平方之倒數來當作每一個相 對重力的權如（3-2）式。求出每一個未知重力點的標準偏差，結果如(表 3-2 )， 最 大值是 0.031mgal，最小值是 0，因為 15 個絕對點固定所以是 0、平均值是 0.020mgal、均方根是 0.004(mgal)。跟表 3-1 比標準偏差平均值降低了 0.014 mgal 精度提升 41％（0.014÷0.034）。重力點標準偏差直方圖如圖3-5 成一鐘型分布。
2
σ
0新竹
台中
大溪
太魯閣 陽明山
墾丁
台東 玉里
五分山
台南
日月潭
爺亨
嘉義
甲仙 鳳山
圖3-4 台灣十五個絕對重力點
表3-2 一等重力測量加絕對重力點網型設計結果 標準偏差最大值
(mgal) 0.031 標準偏差最小值
(mgal)
0
標準偏差平均值(mgal) 0.020 標準偏差均方根
rms(mgal) 0.004
0 50 100 150 200
0.002 0.006 0.011 0.015 0.020 0.025 0.029 mgal
num be rs
圖 3-5 一等重力測量點加絕對重力點標準偏差直方圖