開口式共振腔與閉口式共振腔之比較

圖 2-1 閉口式共振腔尺度圖

圖 2-2 閉口式共振腔與開口式共振腔之場強分布圖

相較於閉口式共振腔，於第三部分(z3~z5)，不是完美的邊界線，所以第三部

分還是有些微的共振作用，從共振頻率

2 2

2 



 







 



 

L l r

x f c

w

mn 

 ^{可知，當有效長度}

L 越長，共振頻率 f 會越低，故開口式共振腔的有效長度會大於閉口式共振腔。

經過 cavity 程式的計算，我們得到開口式共振腔的共振頻率為 9.831 GHz，而閉 口式共振腔因為有明確的邊界條件，可以直接求出共振頻率為 9.872 GHz，以上 結果符合我們的預測。

。

2.3.2 場強以及相位對 Z 軸之關係

圖 2-2 場強分布圖

由圖可以看出在 z<z2時因為截止頻率ω< ωc故場強為幾乎為零，而在 z2 到 z3

場強接近於一駐波的形式，在 z3之後因為有部分反射以及部分傳遞，輸出端為一 斜率為正的斜直線，這是因為共振腔內的場強為衰減狀態，越早流出的場強越大，

所以輸出端右邊之場強大於輸出端左邊之場強。

0 5 10 15 20

0 2 4 6 8 10 12

Amplitude-z Plot

|f|

Z(cm) TE111

TE112

TE113

接下來是相位對 Z 軸的分佈圖

圖 2-3 相位分布圖

由圖 2-2 可知看出由於場強在主腔體內會形成駐波，所以相位 φ 固定，即圖 2-3 中的水平線。當場強於主腔體開口端輸出，代表為行進波，所以相位 φ 會增 加，即 2-3 圖中的斜直線。

0 5 10 15 20

Phase degree-z Plot



(rad)

Z(cm)

TE111 TE112

TE113

2.3.3 改變傾斜角 θ

當傾斜角度增大，於 Z3處的不連續性增加了，於 Z3處的反射也隨之增 加，使得傳遞出腔體的能量減少，儲存在腔體內部的能量增加，因此 Q 值也 會增加，如圖(2-4)。

圖 2-4 品質因子 Q 與傾斜角 θ 圖

而在不同的 TE 模式中，Q 隨著不同的 l 值呈現快速下降，這是因為當 l 上升 時，共振頻率會隨之上升，使得流出主腔體的能量增加，造成 Q 值下降。

2.3.4 改變管長 L

接下來，嘗試改變管長，並觀察品質因子 Q 隨管長的變化，長度增加，由

2 2

2 



 







 



 

L l r

x f c

w

mn 

 可知，共振波長也會隨之增加，共振頻率減小；而腔體越

長，場形邊界越大，儲存能量多，所以 Q 值越大，如圖(2-5)所示。

圖 2-5) 品質因子 Q-管長 L 對照圖

而在不同的 TE 模式中，Q 隨著不同的 l 值呈現快速下降，這是因為當 l 上升 時，共振頻率會隨之上升，使得流出主腔體的能量增加，造成 Q 值下降。

2.3.5 存在不匹配附載的共振腔

不匹配負載的開口式共振腔剖面圖，如圖 2-6，由於此不匹配負載會導致場 強在另一面也產生反射，可以當作兩個共振腔耦合。當第二個腔體的共振頻率 f’

越接近原來共振腔的共振頻率 f，將會有較多的能量從原來的共振腔傳播至第二 個共振腔。

d

圖 2-6 不匹配附載以及共振腔

為了瞭解開口式共振腔的不匹配負載對品質因子 Q 與對共振頻率 f 的影響，

首先，先改變不匹配負載的距離 d，然後描繪出 TE111 模的 R

Qd 圖，如圖

2-7，與 R

f d 圖，如圖 2-8。

由圖可知，隨著不匹配負載的距離 d 改變，第共振頻率 f 有週期性的變化，

所以可以猜測，耦合腔體的品質因子 Q 將會隨著不匹配負載的距離 d 而有週期 性變化，而週期性變化的平均值與沒有不匹配附載時的值接近。

圖 2-7 品質因子與不匹配載之 d/R 圖

0 2 4 6 8 10 12

400 450 500

Q-d/R plot

Q

d/R

圖 2-8 共振頻率與不匹配載之 d/R 圖

接下來我們分析 Q 再發生最大值與最小值時的場強情形，如圖 2-9，正如我們預 測的，Q 與兩個共振腔的耦合頻率有關，Q 有最小值時，是因為兩個共振腔的耦合頻 率較大，使得傳遞到第二個共振腔的能量增加，Q 因此變小，而當 Q 有最大值時，是 因為兩個共振腔的耦合頻率較小，使得傳遞到第二個共振腔的減少，Q 因此變大。

0 2 4 6 8 10 12

9.8305 9.8310 9.8315 9.8320 9.8325 9.8330 9.8335

f-d/R plot

f(Ghz)

d/R

圖 2-9 最大品質因子與最小品質因子之場強分佈圖

0 5 10 15 20 25 30

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

|f|

Z(cm)

Q

min

Q

max

第三章 頻域分析

3.1 理論推導

為了敘述方便，將圖 1-1 中開口共振腔的結構對 x-y 平面作反轉。如圖 3-1 所 示。

圖 3-1 頻域模型所使用之結構

考慮一截面為緩變裝置，裝置兩端接均勻的波導管。將已知單頻且能量固定的 電磁波從圖 3-1 左端位置 z = z1 處連續入射，而且入射頻率高於左端波導管的截 止頻率。入射波會被微波裝置反射，在左端波導管產生反射波。如果入射波頻率高 於右端波導管的截止頻率，則部份的入射波會穿透微波裝置到右端波導管，形成出 射波。如果入射波頻率低於右端波導管的截止頻率，則右端波導管形成衰減場

﹝evanescent field﹞。

在時域模型中，是假設在結構中已經存在單一個共振模在微波裝置中；而 在頻域模型裡，則是假設電磁波在穩定態 (steady state，即波的振幅在任何位置都 不隨時間改變) 的情況下，因此共振角頻率 ω 為實數。而電磁波在此遵循的波動 方程式和時域模型相同，邊界條件則如下述。假設場 f(z)隨著時間項 e^-iωt作振 盪。將在左端波導管的場分解成正向波和反向波：

 

其中 f+ 和 f－ 為複數常數，且假設場 f (z) 隨時間項 e^－iωt 作振盪。(2-4)式的傳

3.2 頻域法模型理論

振模之貢獻值。因此，譜線的峰值會發生在角頻率 ω = ωj 時，即 ωj 為第 j 個

3.3 最大場強法

在封閉式共振腔中，由於有明確的腔體邊界，所以同一個共振模下，其波峰 和節點的位置不隨著頻率而改變。因此，在掃頻過程中，在一固定位置且同一共 振模下所量得的場強頻譜和其他位置所量的的場強頻譜，會有固定的比例關係。

若我們將頻譜歸一，會得到完全相同的頻譜。亦即，在相同共振模下，最大場強 的位置不變，在一定點量測的的場強頻譜，和最大場強處的頻譜，有一固定比 例。所以，定點量測的場強頻譜，即為該共振模下的場強頻譜。

傳統量測共振腔的共振頻率和品質因子的方式如下：在腔壁上一定點位置，

在盡量不影響腔體的情況下，將電磁場耦合出來，量測不同頻率下的場強分布

|f(ω)|²。共振頻率即為頻譜的區域極大值，而品質因子則為 |f(ω)|² 頻譜的共振頻 率除以半高寬。

相較於封閉式共振腔，開口式共振腔沒有明確的腔體邊界。對於不同頻 率， 腔體內的波導波長 (guide wavelength) 也跟著改變，節點產生的位置也會 因此不同，連帶跟著場的最大值位置也跟著改變。如果模擬傳統量測頻譜的方 式，在固定位置

5 4 3

2 ^{3 3 3}

3

z L z L

z L z L

z  、  、  、  四個點量測場強頻譜，則可利

用程式 RFS2，掃描角頻率從 0.98 ωc 到 1.15 ωc，得到開口式共振腔光譜曲線，

如圖 3-2。在圖 3-2 中顯示，同一共振模下，不同位置測量的場強頻譜所對應的 鋒値頻率不同，這表示在開口式共振腔中，場強頻譜不再是單純頻率的函數

 

 ²

f ，而是角頻率 ω 和位置 z 的函數 f

 

z, ²。

圖 3-2 開口式共振腔定點量測頻譜之數值模擬圖。

從圖 3-2 可知，光譜與測量位置 z 有關，另，可看出開口式共振腔之共振角 頻率 ω，雖然有些微偏差，但大致相同，品質因子 Q 可能因為 Δω 對於這些共 振角頻率 ω 不同而改變。

由於開口式共振腔沒有明確的邊界，所以不同角頻率對應的最大場強位置會 不相同。若在同一頻率下，除去因為沒有明確邊界所造成的影響，可得到場強分 佈的最大值，即最大場強，所以每個不同的角頻率 ω 都可找出整個腔體中的最大 場強，且最大場強和位置 z 無關，即可得到和位置 z 無關的頻譜 fmax

 

 ²，如

0.98 1.00 1.02 1.04 1.06 1.08 1.10 1.12 1.14

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

|f

_max

|

²

 / 

_c

Z=Z

₃

+L/2

Z=Z

₃

+L/3

Z=Z

₃

+L/4

Z=Z

₃

+L/5

圖 3-3，稱為最大場強法。此頻譜的極大值為共振頻率，藉由半高寬的計算可得 品質因子





 ⁰

Q 。

最大場強法是先固定角頻率，然後找出空間中的最大場強，再進行掃頻 動作得到頻譜。若先固定位置進行掃頻得到頻譜，再對每一個 z 軸上的位置重複 掃頻的動作，可得到不同的頻譜，最後將每個頻譜重疊起來尋找每個角頻率下的 最大場強，則會和最大場強頻譜一樣。因此，將所有定點量測頻譜重疊起來，最 外圍的那層曲線，即為最大場強頻譜。

定性上，共振腔在共振角頻率 ω 下，腔體和電磁波之間的交互作用會最 強，也就是在共振角頻率 ω 下，腔體內的場能分佈會是附近角頻率 ω 的區域極 大値。由於我們探討的共振腔體結構較為簡單，TE 模的母函數﹝generating

1.00 1.04 1.08 1.12

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

|f_max|² - /_c plot

|fmax|²

 / 

c

圖 3-3 最大場強頻譜圖

function﹞Bz 的場形約略為正弦函數。

 

2 2 2

2 0

cos 2 1

sin 4







 

 z k

B_z B^{z z}

3.4 場能法〈總場能法〉

區間為斜波導管結構，對波有部分反射回共振腔的影響，因此仍是共振腔的一部

3.5 反射法

反射法的共振角頻率 ω 即為反射頻譜的區域極大值，品質因子 Q 則可由半高寬 法得到。

當管壁為完美導體時，管壁上沒有歐姆損耗，所以穩定態下，任何入射角頻 率得到的反射係數 Γ 皆為 1，因此無法藉由反射法得之共振角頻率 ω 和品質因 子 Q。由良好導體所製成的共振腔，雖然管壁上有歐姆損耗可以測量反射頻率，

但這也使得在位置 z1 ~ z2 區間的波導管會吸收反射波，在此區間的反射係數 Γ 不僅是角頻率 ω 的函數，還是位置 z 的函數，即 Γ = Γ(z,ω)。若改變 L1 的長 度，則在位置 z1 處所得到的反射係數 Γ 會不一樣，進而影響到反射頻譜。我們 要探討的反射頻譜是在位置 z2 處所計算的反射頻譜，若將位置 z4 ~ z5 區間的歐 姆損耗考慮進去，則在位置 z2 ~ z5 區間依然遵守(3-25)式能量守恆的關係。因此 將反射頻譜修正為

     







 

 ,

, ,

1

2 2

2

5

2

z P

dz z p z

R

fwd z

z ohm









 (3-30)

其中 Pfwd(z2,ω) 為在位置 z2 處往腔體內行進波的功率。反射法的重要性，在於它 是可以做實際測量。

3.6 數值模擬結果

首先我們先使用 RFS2 程式碼計算反射係數與輸入頻率的關係，我們使用如 圖 3-4 的結構，將波由左端射入並改變角頻率 ω，得到反射係數 Γ 對入射頻率的 圖 3-5。

圖 3-4 計算反射係數之結構

10 11 12 13 14 15

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

||

f(Ghz)

從圖 3-5 可以發現，當增加入射波的角頻率 ω，開口式共振腔於位置 z3 的反射 係數 Γ 將減少。當入射角頻率 ω 越接近截止角頻率 ωc，反射係數 Γ 趨近於 1，即表示全反射。

接著，我們模擬之前章節提到的不匹配負載，與反射係數 Γ 的關係，波由左 端射入，在位置 z3 的反射係數 Γ，為了適度簡化問題我們使用的結構如圖 3-6。

圖 3-6 測量反射係數 Γ 之不匹配開口式共振腔結構

之後，利用程式 RFS2 計算數據，並在不同的半徑 R 繪製反射係數 Γ 與入 射角頻率

c

 的關係曲線，如圖 3-7。

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

|| R=0.95cm

R=1.00cm

R=1.05cm

=10^o

由圖 3-7 我們依然可以觀察到，當固定錐角 θ = 10°、改變半徑 R 時，增加 入射波角頻率 ω，反射係數 Γ 會減少。而對於幾乎所有的掃頻頻帶，入射波通

由圖 3-7 我們依然可以觀察到，當固定錐角 θ = 10°、改變半徑 R 時，增加 入射波角頻率 ω，反射係數 Γ 會減少。而對於幾乎所有的掃頻頻帶，入射波通

在文檔中 開口式共振腔之特性探討與數值模擬 (頁 13-0)