3-1 有限元素法簡述
電腦輔助分析乃運用電腦快速運算的能力，經由核對電腦快速運算 結果，以求得結構設計上不斷的改進，電腦因為具有快速的運算能力，
因此常被用來做設計上計算與分析，而達到輔助設計分析的目的。設計 工程師可以在電腦上模擬結構物在受外力作用後所產生的應力及應變情 形，並且可以計算結構物在動態方面如共振頻率等或其他方面的特性。
分析出來的結果，工程師可以判斷這個產品設計的可行性。所以運用電 腦輔助分析技巧，可以提高結構物產生的優良率與結構物的品質。而且 目前此一分析法，也已獲各界認同與使用。
有限元素再工業界的應用已經超過一百年以上的歷史，發展上是從 Matrix Structural Analysis 的方法開始發展，首先是以 Beam 及 Truss 為主 的鋼構上應用。但是推廣至今有限元素法已經可以應用到很多的物理領 域。
假設一懸臂樑，當其末端受外力作用，此結構將產生變形。將此外 力移除，則此結構物將回復至原點，並紀錄尾端應變與應力之關係，會 發現剛好是為一線性關係，此一現象剛好合乎虎克定律：
F ＝ K × X
其中 F 為外力，X 為位移，K 為結構剛性強度。
圖 3-1 以單一彈簧模擬結構體行為 F
F
所以此結構體將可以轉換成彈簧與質量點相連接之狀況來模擬（如 圖 3-1），若只要知道結構體尾端受力變形之情形時，則只要知道此結 構物之截面及長度與彈簧剛性關係，就可以求得彈簧之剛性。但是若想 知道結構體中間或中間以外之其他點的變形情形，只使用一根彈簧來模 擬此系統就太過於簡化了，而難以達成目的。所以必須將此結構系統分 成兩個或多個結構組合而成的系統來做分析，組合而成的新系統可以用 一新彈簧系統一樣可以使用虎克定律來進行求解的動作（如圖 3-2）。
在有限元素的計算分析上，就是將結構體分成多個小單元並轉換成彈簧 與質量點相連接之剛性系統，然後使用虎克定律來進行求解。這些小單 元在有限元素法中專業名詞稱為元素（Element），而組成元素之參考點 稱為節點（Node）。
圖 3-2 兩結構體以新彈簧系統模擬
元素為有限元素法的主軸，它是由許多節點組合而成的，存在的形 狀可以是點元素、線元素、面元素及體積元素等等（如圖 3-3），其計 算方式都是使用虎克定律來進行求解。但是如何轉換成剛性矩陣，又與 選擇的假設與數值方法不同而有所不同，例如能量法、Rayleigh-Ritz 法 等等【16】。在節點上，每一節點都有其具有的物理意義，在節點上都 有描述這些物理量的變數。這些變數就是所謂的節點自由度（Degree of
F
Element Node
Freedom）。一般節點通常包含 UX、UY、UZ 三個自由度，但若在薄殼 元素上就增加了 POTX、POTY 及 POTZ 等共六個自由度。所以節點自由 度通常與所選用的自由度有所相關（如圖 3-4）【17】。
圖 3-3 元素種類 Point Element
Line Element Quadrilateral
Element Hex Element
3D Spar UX、UY、UZ
2D Soild UX、UY、UZ
3D Soild UX、UY、UZ
3D Beam UX、UY、UZ
POTX、POTY、POTZ
3D Shell UX、UY、UZ
POTX、POTY、POTZ
3D Thermal Solid TEMP
圖 3-4 元素自由度個數
3-2 有限元素法的相關電腦程式
有限元素法是眾多數值分析方法中的一種，是由 1950 年一群航空工 程師為了試圖分析飛機複雜的結構問題時所發展出來的一種方法，目前 已經發展的非常的完善，且普遍的應用在機械、電機、電子、航太、土 木工程等領域，為結構分析與設計不可或缺的模擬工具。
由於現在工程結構日愈龐大如台北的 101 金融大樓等，而此類結構 所遭遇到之相關工程問題也愈來愈複雜，而要處理的問題往往是複雜的 幾何形狀與材料性質，因此必須使用更多的元素，而且需要解的方程式 也跟著增加。因此若還是使用人力去計算有限元素的問題已經不符合現 在複雜工程情況，所以利用電腦的快速計算能力來輔助人力上計算的不 足，加上電腦工業的發展一日千里，使得有限元素法的軟體也隨之蓬勃 發展。
本研究是針對中間支撐來做分析，而中間支撐材料為鋼材，而且要 分析的部份為中間支撐的非線性、線性特性、塑性分析、破壞力學等。
所以本研究所使用的軟體就以 ANSYS 這套商用軟體為主，而且它是一 套被廣為適用的套裝軟體，因此要找尋相關資料庫也較為方便。
3-3 ANSYS 分析處理作業流程
一般完整的有限元素方程式（finite element program）包含前置處理
（ pre-processing ） 、 解 題 程 式 （ solution ） 和 後 置 處 理 （ post-processing）。將此三部份內容分述如下：
一、前置處理
1. 建立有限元素模型所需輸入的資料，如節點、座標資料、元 素內節點排列次序。
2. 材料特性。
3. 元素切割產生。
4. 邊界條件。
5. 負荷條件。
二、解題程式
1. 元素勁度矩陣計算
[ ]
K2. 全域負荷向量之組合
{ }
F3. 線性代數方程式
[ ]
K{ }
U ＝{ }
F 求解4. 資料反算法求應力、應變、反作用力等 三、後置處理
將解題部份所得之解答如：變位、應力、反力等資料，經由圖 形介面以各種不同表示方式把等位圖、等應力圖...等呈現出來。
有限分析之流程圖（如圖 3-5）。
圖 3-5 有限元素分析之流程圖 不合理
合理 工程問題
● 蒐集相關資料
● 決定分析項目
● 獲取材料機械性質及幾何條 件、負荷
建立有限元素模型
● 材料性質
● 幾何形狀之定義
● 元素切割產生
● 加邊界條件
● 加負荷條件
● 加時間變化情形
分析
分析結果顯示、列印
結果研判
是否提出改進方法
問題解決或得到最佳設計
有線元素程式
前處理
（Preprocessing）
解題
（Solution）
後處理
（Postprocessing）
3-4 有限元素分析流程及優缺點
一、有限元素法分析流程 1. 選用適當的元素
針對所需要分析的結構體選擇適當的元素，方能確保分析出來的 結果是較正確的，若選擇錯誤的元素則分析結果將會與實際上有 過大的差異。而元素的選用是屬於分析開始的第一項作業。它是 最簡單也是最難的動作。當元素選用完畢，就已經決定模型要如 何簡化與建構方式，同時也決定了解題與邊界條件的可能方式。
因此在元素的選擇上要非常謹慎。
2. 將整個物理空間格點化形成元素，並賦予元素適當的屬性
元素的屬性共有五種，元素的種類、元素的特性參數、材料性 質、元素的座標系統和截面編號，元素屬性的設定只要在建立起 有限元素模型之前先設定好即可，並沒有規定一定要先完成此步 驟才可以進行其他步驟，只是習慣上會先完成此步驟，以方便以 後操作。當元素的特性設定完成後，緊接者就要考慮材料性質。
在設定材料性質時要先考慮材料在變形後是否會進入塑性變形區 而形成材料非線性現象。當這些性質都設定好且結構體模型建立 完成，方可開始做空間格點形成元素。
3. 設定邊界條件
邊界條件的設定在使模型能夠充分的反應在真實的世界中所受到 外在因素的影響，因此如何正確的給定邊界條件是相當重要的，
根據所分析的物理現象不同，而有各種不同的邊界條件。設定拘 束邊界條件乃在破壞剛性矩陣的 Singularity，如此才能進行靜態 方程式的求解。然而不管如何設定，重要的是盡量符合實際結構
體的真實狀況。過度的邊界條件拘束反而容易造成結果的偏差。
4. 選用解題的解法
當要進入求解時，首先必須要先確定到底要使用動態方程式或靜 態方程式，以及以何種方式來求解動態方程式。在靜態的分析 中，並沒有求解的選項需要設定，在大部分的情況下都可以直接 求得答案，不過也因此在求解前更應該注意是否有犯錯，一般結 構靜態分析會看的結果資料有下列三種：
（1）變形
（2）應力和應變 （3）反作用力
5. 組合形成系統方程式並求解
將結構體根據以上步驟流程進行設定完後，就可以進入計算階 段，求解之時間將會因為格點的大小、多寡、材料性質及邊界條 件而有所不同。
6. 解讀結果
對簡單的結構體而言，所得到的資訊是足夠可以判別結構體之行 為變化。但倘若是複雜的結構體，太多的資訊反而會讓人摸不清 頭緒，此時可以利用圖形來快速的了解到結構體的應力應變分布 情形。
二、有限元素法之優缺點
有限元素法雖至今已發展完善且被工程界廣泛的使用，其具備有一 定的特色及優缺點，有限元素法在學術研究與工程分析上是受到歡迎的 一種數值模擬方法，然而該分析方法仍然有一些條件與環境上的限制，
吾人將有限元素法之優缺點列舉如下：
有限元素法的優點：
1. 將整個系統劃分成多個有限元素
2. 不論描述系統的方程式多麼困難、物體的幾何形狀與邊界條 件多麼複雜、材料組成多千變萬化，它都可以切割成一塊塊 的元素直接了當地處理（但是計算不一定簡單）
3. 鄰近元素的材料性質不一定要相同，這樣可以針對多種材料 所組合而成的結構體做分析。
4. 線性、非線性均適用
5. 不需將每個結構體拿進實驗室做測試
6. 不規則形狀的邊界，能用直線的元素做近似估計，或用規則 的元素做近似分析，或用取線邊界做正確配合來描述結構 體。
7. 元素大小可以改變，能視需要而將元素擴大或縮小，元素過 大或縮小相對也會影響求解時間
8. 邊界條件，諸如不連續性的面負荷，這種解法不會產生任何 困難。可以很容易解決混合邊界條件
有限元素法的缺點：
1. 無線區域之問題較難模擬，如基樁周圍之土壤，本身即屬於 無限域之問題，在有限元素法分析中，若模擬土壤邊界的尺 寸過大，則將造成求解時間過長；反之，若模擬的邊界尺寸 過小，將會造成分析結果誤差過大。因此，尺寸的大小將視 分析人員而定，其求解之結果也將會有所差異
2. 整個過程做離散處理，需龐大的資料輸出空間與計算容量，
且若分割過於詳細，解題將非常耗時，但依現今科技日益發