第三章 研究方法
3.2 靜力分析方法
本節係參考民國九十八年六月交通部頒布的公路橋梁耐震設計
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規範中的第二章，靜力分析方法對橋梁模型進行行車向側推分析；規 範中提到，形狀規則之橋梁，適用靜力分析方法來決定設計總橫力，
並以靜力法進行結構分析。其中關於橋址的影響、結構周期和設計地 震力的大小、分部等，分述如下:
3.2.1 振動單元
振動單元係指進行地震力分析時，視為一體振動的單元，分為沿 縱向振動的單元(圖 3-2)和橫向振動的單元(圖 3-3)，本文主要是執 行縱向(行車向)分析，並因為分析之模型為兩伸縮縫之間的橋體，分 析單元鄰接別的分析單元，故模型上稍做修正，在共同邊界柱頂之質 量模擬鄰跨上部結構半跨的質量集中於柱頂。
3.2.2 橋梁基本振動周期
假設橋梁在考慮方向施加載重 w(x)時產生同施力方向之變位 u(x)與其同向之第一振態振形相似，則橋梁地震時之變位u(x, t)可表 示為:
u(x, t) = u(x) × u(t) (3-1) 假設外力w(x)徐徐加上，則外力所做的功𝑊𝐸亦為結構體儲存之 應變能U，可依下式計算：
𝑊𝐸 = 1
2∫ 𝑤(𝑥)𝑢(𝑥)𝑑𝑥 =0𝐿 𝛽2 (3-2) 其中
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β = ∫ 𝑤(𝑥)𝑢(𝑥)𝑑𝑥0𝐿 (3-3) 假設外力 w(x)突然釋放，不計阻尼效應下，則橋體以此第一振 態做簡諧運動，圓周頻率為ω。當橋梁振動至平衡位置時，全部的應 變能化為動能，此時動能以下式表示：
𝑇𝑚𝑎𝑥 = 𝜔2
2g ∫ 𝑤(𝑥)0𝐿 𝑢2(𝑥)𝑑𝑥 = 𝜔2𝜁
2g (3-4) 其中
ζ = ∫ 𝑤(𝑥)𝑢0𝐿 2(𝑥)𝑑𝑥 (3-5) 令𝑊𝐸 = 𝑇𝑚𝑎𝑥，則
𝛽
2 = 𝜔2g2𝜁 (3-6) 得到橋梁沿考慮方向之第一振態周期 T 為:
T = 2𝜋𝜔 = 2𝜋√𝛽g𝜁 = 2.01√𝜂 (3-7)
其中η = 𝜍
𝛽
在實際計算時，上述積分式之積分結果可以節點變數值相乘加總 得到，如式(3-8)
η = ∑ 𝑤∑ 𝑤𝑖𝑢𝑖2
𝑖𝑢𝑖 (3-8) 其中𝑤𝑖與𝑢𝑖分別為第 i 個節點之重量與位移。
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其中
𝑆𝑎𝐷 =設計地震水平譜加速度係數。
𝐹𝑢𝐷 =設計地震結構系統地震力折減係數。
𝐹𝑢𝐷與結構系統之容許韌性容量𝑅𝑎有關，一般而言，週期長的橋 梁彈性系統與彈塑性系統最大動力位移反應約相等，即等位移原理，
如圖 3-4 所示。因此，當系統降伏後尚能承受 R 倍之地表加速度方能 將韌性用盡崩塌，故取𝐹𝑢𝐷 = 𝑅𝑎；但對於周期較短之系統，彈性與塑 性變形階段所吸收的能量約略相等，如圖 3-5 所示，稱為等能量原理，
因此結構物降伏後，只能再承受√2𝑅𝑎 − 1倍的地表加速度就會將韌 性容量用盡而崩塌，故取𝐹𝑢𝐷 = √2𝑅𝑎 − 1，也就是說短周期之結構之 韌性沒有長周期結構來的好。
𝑆𝑎𝐷在短週期部份為一常數，等於工址短週期設計水平譜加速度 係數𝑆𝐷𝑆；當週期超過𝑇0𝐷後，則隨1/T 的衰減趨勢遞減，其中 T 為橋 梁的基本振動週期(秒)，在較短週期（T ≤ 0.2𝑇0𝐷）的範圍內，設計 水平譜加速度係數𝑆𝑎𝐷與結構週期呈線性變化關係，而短週期與中週 期的分界𝑇0𝐷依據式(3-11)計算。𝑆𝑎𝐷與𝐹𝑢𝐷計算方式如下:
𝑇0𝐷 = 𝑆𝑆𝐷1
𝐷𝑆 (3-11)
𝑆𝑎𝐷 = {
𝑆𝐷𝑆(0.4 +𝑇3𝑇
0𝐷) ; 𝑇 ≤ 0.2𝑇0𝐷 𝑆𝐷𝑆 ; 0.2𝑇0𝐷 ≤ 𝑇 ≤ 𝑇0𝐷
𝑆𝐷1𝑇 ; 𝑇 > 𝑇0𝐷
(3-12)
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𝑇0𝑀 =最大考量地震水平譜加速度係數短週期與中長週期的分界。
𝑆𝑀𝑆 =工址短週期之最大考量地震水平譜加速度係數。
𝑆𝑀1 =工址一秒週期之最大考量地震水平譜加速度係數。
3.2.5 結構系統韌性容量與容許韌性容量
設計地震作用時若橋梁仍設計保持彈性殊不經濟，故容許橋梁進 入塑性變形階段，則可適度降低彈性設計地震力，而其降低幅度端視 構材韌性好壞而定。橋梁在承受側力產生側位移後，通常在柱底生成 第一個降伏斷面，其塑性彎矩與降伏彎矩的比值隨斷面形狀而異，規 範中取較合理且保守的比值1.2，若將結構物以彈塑性之非線性關係 表示(圖 3-6)，則外力在𝑃𝑢以下為線性，其後為完全塑性，結構物的 韌性容量R 為∆u/∆y，目前是以 R 取代舊規範所定義之結構系統特性 係數𝑅∗，韌性容量R 隨橋梁型態與下部結構之類別而異，可由表 3-2 得知。
而系統容許韌性容量𝑅𝑎，規範中對區域的不同分類計算如下:
(1) 一般工址與活動斷層近域:
𝑅𝑎 = 1 +(𝑅−1)
1.5 (3-16) (2) 台北縣市區域
𝑅𝑎 = 1 +(𝑅−1)
2 (3-17)
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3.2.6 震區短周期與一秒周期設計水平譜加速度係數
台灣震區短週期與一秒週期之設計水平譜加速度係數(𝑆𝑆𝐷
、
𝑆1𝐷)，分別代表工址所屬震區在第一類（堅實）地盤下受設計地震作用時，
短週期結構與一秒週期結構之5%阻尼譜加速度與重力加速度 g 之比 值，是由50 年 10%超越機率的均布危害度分析求得，地震回歸期為 475 年，而均布危害度分析係考慮工址周圍約 200 公里以內過去發生 之地震規模、震央及震源深度等，並利用結構短週期與一秒週期水平 譜加速度隨距離、地震規模變化之衰減律以及其他地質構造等資料，
經複雜的或然率分析而得。
而震區堅實地盤短週期與一秒周期之最大考量地震水平譜加速 度係數(𝑆𝑆𝑀
、
𝑆1𝑀)則是代表工址所屬震區在第一類（堅實）地盤下受 最大考量地震作用時，短週期結構與一秒週期結構之 5%阻尼譜加速 度與重力加速度 g 之比值，由 50 年 2%超越機率之均布危害度分析 訂定，地震回歸期為2500 年。規範中將設計水平譜加速度係數依工址所屬之鄉、鎮、市、區位 置定義以台南縣為例，𝑆𝑆𝐷
、
𝑆1𝐷、
𝑆𝑆𝑀、
𝑆1𝑀可由表 3-4 查出該係數值。而台北縣市則又劃分為兩部分，一個是一般震區，以台北市為例可由 表 3-5 查表得到，另一個為台北盆地，於 3.2.9 節做說明。
3.2.8 反應譜工址地盤放大係數
反應譜工址地盤放大係數係考慮土壤之非線性放大效應，軟硬程 度不同之地盤產生不同的地盤周期，進而改變短周期與長周期結構之
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譜加速度放大倍率，故依據地盤種類與震區水平譜加速度係數，訂定 工址地盤放大係數𝐹𝑎與𝐹𝑣。
𝐹𝑎與𝐹𝑣可由表 3-6 與表 3-7 得到，在計算工址短周期與一秒周期 設計水平譜加速度係數(𝑆𝐷𝑆
、
𝑆𝐷1)與工址短周期與一秒周期最大考 量水平譜加速度係數(𝑆𝑀𝑆、
𝑆𝑀1)時都要用到。3.2.9 工址短周期與一秒周期設計水平譜加速度係數
規範中將工址短周期與一秒周期設計水平譜加速度係數分成三 部分，一般工址、活動斷層近域及台北縣市區域三種情況，包含工址 短週期與一秒周期之最大考量地震水平譜加速度係數分述計算如下:
(1) 一般工址:
𝑆𝐷𝑆 = 𝐹𝑎 × 𝑆𝑆𝐷 (3-18) 𝑆𝐷1 = 𝐹𝑣 × 𝑆1𝐷 (3-19) 𝑆𝑀𝑆 = 𝐹𝑎 × 𝑆𝑆𝑀 (3-20) 𝑆𝑀1 = 𝐹𝑣 × 𝑆1𝑀 (3-21) 𝐹𝑎 =反應譜等加速度段之工址地盤放大係數。
𝐹𝑣 =反應譜等速度段之工址地盤放大係數。
(2) 活動斷層近域:
對於活動斷層近域，工址所屬震區堅實地盤之短週期與一秒週期 水平譜加速度係數深受該斷層之特性以及工址與斷層間之水平距離 的影響，若僅由均布危害度分析做考慮，則無法完整表現活動斷層之
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區域特性，致使該區域考慮之地震力不足，設計出來的結構物無法反 滿足耐震要求，必須藉由特徵地震之規模密度函數配合舊有之分析，
定義斷層近域調整因子𝑁𝐴與𝑁𝑉，方能使結構物之設計趨於合理，滿 足斷層近域之耐震要求，可由表 3-8 得到。
𝑆𝐷𝑆 = 𝐹𝑎(𝑆𝑆𝐷× 𝑁𝐴) (3-22) 𝑆𝐷1 = 𝐹𝑣(𝑆1𝐷× 𝑁𝑉) (3-23) 𝑆𝑀𝑆 = 𝐹𝑎(𝑆𝑆𝑀 × 𝑁𝐴) (3-24) 𝑆𝑀1 = 𝐹𝑣(𝑆1𝑀 × 𝑁𝑉) (3-25) 𝑁𝐴 =反應譜等加速度段之斷層近域調整因子。
𝑁𝑉 =反應譜等速度段之斷層近域調整因子。
(3) 台北縣市區域之台北盆地:
𝑆𝐷𝑆 = 0.6 (3-26) 𝑆𝑀𝑆 = 0.8 (3-27)
𝑇0𝐷、𝑇0𝑀 = {
1.60 秒(台北一區) 1.30 秒(台北二區) 1.05 秒(台北三區)
(3-28)
𝑆𝐷1 = 𝑆𝐷𝑆 × 𝑇0𝐷 (3-29) 𝑆𝑀1 = 𝑆𝑀𝑆 × 𝑇0𝑀 (3-30) 非屬台北盆地之一般震區則查表 3-5 依式(3-16)至(3-19)計算得 到。
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3.2.10 設計總橫力下限值
橋梁震動單元之設計總橫力之下限值𝑉𝑚𝑖𝑛依下式計算:
𝑉𝑚𝑖𝑛 = 3.25𝛼𝐼×𝑆𝑎𝐷
𝑦𝑊 (3-31) 其中𝑉𝑚𝑖𝑛不得小於 0.4𝐼×𝑆𝐷𝑆
3.25𝛼𝑦 𝑊。
3.2.11 設計總橫力之分布
作用在橋梁單位長度上之設計水平地震力分布𝑝𝑒(𝑥)以下式計算：
𝑝𝑒(𝑥) = 𝑤(𝑥)𝑢(𝑥)
∫ 𝑤(𝑥)𝑢(𝑥)𝑑𝑥𝑉 (3-32)