非線性分析理論 - 房屋結構非線性分析方法之比較及簡化研究

2-1 側推曲線

ATC-40[1]所提及的側推曲線分析(Pushover curve analysis)已經逐漸成為結構非線分析及評估結構耐震能力愈來愈重要的方法。其做法先以倒三角形或模態(mode shape)方式分配水平側力 P 於結構上，不斷增加此水平側力至結構產生破壞倒塌。由上述水平側力 P 及其所造之結構頂層水平位移 Δ，以 P 為縱軸 Δ 為橫軸繪製成圖(圖 2-1)即為側推曲線(Pushover curve)。另由於在此一推倒過程中，梁柱皆由於產生塑鉸(plastic hinge)而進入非線性階段，因此側推曲線也同樣為非線性曲線，故側推分析亦稱作非線性分析(Non-Linear analysis)。

利用此側推曲線，我們除了可知道結構的破壞點之外，亦可求出結構物受某一水平外力時的功能績效點(Performance Point)。並且由此功能績效點，我們可以知道結構物之耐震性能或者結構是否已經破壞。而於本論文當中，所有側推曲線分析均由 PISA3D 程式製作而成。

2-2 反應譜 2-2-1 反應譜

單自由度結構物(圖 2-2)在已知自然週期與阻尼比的情況下，受到某動力擾動(圖 2-3)的最大反應(位移、速度及加速度)即為反應譜 (圖 2-4)。而當一結構物受到此動力擾動時，我們則可從反應譜上得知此結構物之反應情形，了解此一動力擾動的特性。同時我們亦能以最大反應加速度及最大反應位移作圖(圖 2-5)，而此反應譜稱加速度位移反應譜(Acceleration-Displacement Response Spectra)，簡稱 ADRS。

2-2-2 單自由度彈性系統

單自由度彈性系統(Single Degree of Freedom Elastic System) 為研究結構受振反應之動力分析最常用的一種模式，其運動方程式可表示為：

m ) t ( ku ) t ( u c ) t ( u

m&& + & + =− && (2-1)

式中 m、c、k 別表示該系統之質量、阻尼及勁度，u&&(t)、u&(t)及u(t)

表示系統之絕對加速度、相對速度與相對位移，u&&_g為作用於系統之地表加速度。同時式(2-1)亦可改寫如下：

^u&&⁽^t⁾+²ξω^u&⁽^t⁾+ω²^u⁽^t⁾=−^u&&_g (2-2)

式中 m

= k

ω 為結構的自然頻率，^ξ⁼ _ω

m 2

c 為結構物的阻尼比。

改變式(2-2)之自然頻率固定一阻尼比，求出各項反應，並將最大反應記錄下來，最後把各自然頻率及其對應之最大反應繪製成圖即為該阻尼比下的反應譜。而u(t)可用杜哈美積分法(Duhamel integral) 求解，此法將於下一節作說明。

前面所提及之最大反應則可寫成：

S_d = u(t)_max;S_v = u&(t)_max;S_a = u&&(t)_max (2-3) 然而一般結構物之阻尼比大約為 0.05，所以為了計算上的方便，

最大速度S_v及最大加速度S_a從新定義如下：

^S_d = ^u⁽^t⁾_max^; ^PS_v =ω_D^S_d ≈ω^S_d^; ^PS_a =ω²_D^S_d ≈ω²^S_d(2-4) 式中 PS_v 為最大相對擬速度 (Maximum Relative Pseudo-Velocity) ，PSa 為最大絕對擬加速度 (Maximum Absolute Pseudo- Acceleration) 。ω_D =ω 1−ξ² 為阻尼自然頻率 (Damping Natural Frequency)約等於自然頻率。

求解單自由度結構物系統反應的方法，一般可分為時間域(Time Domain)分析法及頻率域(Frequency Domain)分析法。在時間域分析，可以利用杜哈美積分直接求解。而頻率域分析，則利用傅立葉轉換(Fourier Transform)將動力方程式轉換到複數頻率域內求解頻率域反應，再將結果轉回至時間域中。於本論文中反應譜皆以杜哈美積分法(Duhamel＇s integral)求出，故頻率域分析法的部分將不作說明。

2-2-3 杜哈美積分(Duhamel＇s integral)

杜哈美積分之概念為對於一單自由度彈性結構物，若初始位移及初始速度都為 0，當此結構物受外力擾動後，其於 t 時間時之位移量，

為此 t 時間之前所有外力擾動所造成之自由振動(Free vibration) 的總和。因此式(2-2)的結果可以杜哈美積分求解得：

2-3 NEWMARK 逐步法(NEWMARK step-by-step method)

上節所提及之杜哈美積分法只適用於彈性結構，而本節所提及之

今由 t0及 t1時間的力平衡方程式可得：將式(2-8)及式(2-9)代入式(2-12)得：

k∆u=∆p (2-13)

2-4 ATC-40 容量譜法(ATC-40 Capacity Spectrum Method)

2-4-1 ATC-40 容量譜法簡介

從 2-1 節的側推曲線，我們可評估結構物所能提供之最大性能 (capacity)而不致於倒塌。同時，我們亦可利用此一側推曲線配合某次地震的需求譜(Demand Spectrum)即 ADRS，得知結構物是否會於此地震下倒塌，如未倒塌則可找出結構物的性能位移點(Performance Point)。

ATC-40 則是運用此一做法，以等值的單自由度系統對結構物作分析。而當此單自由度結構物因構件降伏進入非線性階段時，結構會所產生額外的阻尼。ATC-40 則視此阻尼為等值之黏滯阻尼(Equivalent Viscous Damping)，由於阻尼的增加故對原有之需求譜會有所折減。

除此之外，由於此法是以等值單自由度系統作分析，所以側推曲線亦需作一轉換使之變成容量譜方可作分析。各項做法將於下列數節說明。

2-4-2 容量譜(Capacity Spectrum)

容量譜(圖 2-7)，乃是經由側推曲線轉換而得，因此兩者十分相似。我們可以說因為結構物為一多自由度的結構，所以其側推曲線亦為一多自由度的結構反應，而容量譜則把此一側推曲線的結果等值至單自由度的結構上。容量譜的意義在於可顯示結構物之耐震性能，且經由與需求譜反複选代求解，可求得結構物於此需求譜下的性能位移點。轉換式如下：

1 a

M / S P

= α (2-17)

1 , roof 1 d roof

S PF

= ∆ (2-18)

式(2-17)及式(2-18)中 M 為結構總質量，P 及∆_roof分別為總水平側力及其對應之頂層位移，φroof,1為第一振態(mode shape)頂層振形。

α¹ 及 PF¹ 則分別為第一自然振態振態質量係數 (modal mass coefficient for the first natural mode)及第一自然振態參與因子(modal participation factor for the first natural mode)，

此兩係數求法如下：

Y&& & &&

1&& && &&

∑

2-4-3 需求譜(Demand Spectrum)

對於某一地震記錄，找出其反應譜，並依此反應譜求出其 ADRS，

即為此地震的需求譜(圖 2-8)。唯需注意的地方是，一般反應譜多以 5%的阻尼比製作而成。假若結構已進入非彈性階段，則阻尼比會增加，因此 ADRS 亦需以新的阻尼比製作。

2-4-4 等效黏滯阻尼(Equivalent Viscous Damping)

當結構物進入非線性階段時，結構物除故有阻尼(一般為 5%)，同時亦有新的遲滯阻尼(Hysteretic Damping)產生。因此，原來由 5%

阻尼比所製成之反應譜及需求譜需作修正，應以新產生之阻尼比從新

式 (2-28) 中 κ 為阻尼修正因子 (Damping Modification Factor)ATC-40 建議，結構物具有良好消能性 κ=1；結構物具有中等消能性 κ=2/3；結構物消能性不佳 κ=1/3；無消能性 κ=0。

2-4-5 选代功能績效點

由阻尼比β= 0.05之需求譜及容量譜繪製成 ADRS，可相交出初始功能績效點。再由此初始功能績效點代入式(2-26)及式(2-27)可得出 βeq ，再以阻尼比βeq 之需求譜及容量譜繪製成 ADRS，則可相交出新的功能績效點，不斷选代後可得一收斂之β 值及功能績效點(圖 2-10)，此Sd_max 即為所求。尚需注意的是，此一Sd_max 乃是經過轉換成等值單自由度結構之譜位移，並非結構真正的非線性位移，而結構真正的非線性位移為：

∆_roof =Sd_max *PF₁ (2-29) 從新整理 ATC-40 容量譜法选代步聚：

1. 求出結構側推曲線，並轉換成容量譜。

2. 對欲分析之地震記錄求出其阻尼比為 5%之需求譜。

3. 容量譜及需求譜共同繪製成 ADRS，求出其相交點。

4. 利用新相交點，求出新 β 值即β 。以此eq β 重複 3，4 步，直eq

到功能績效點Sd_max收斂。

5. 結構非線性移位∆_roof =Sd_max *PF₁

2-5 位移係數法(Displacement Coefficient Method)

以上提及兩種結構非線性移位分析之方法，包括非線性歷時法即 NEWMARK BETA 逐步法以及容量譜法。於本節則將會提及 ATC-40 與 FEMA-273[9]中所使用亦是本論文所使用的最後一種結構非線性移位分析方法－位移係數法。位移係數法顧名思義可以若干係數代入公式中求出目標位移δ_t(Target Displacement)，使用上較為簡便。然而雖然使用上較簡便，但若其分析結果與前兩者相去不大，則此法亦為十分有效的方法。

位移係數法求目標位移公式如下：

₂

2 a e 3 2 1 0

t 4

S T C C C

C π

δ (2-30)

式(2-30)之觀念建立於 ₂

T = 為結構之有效基本週期(Effective Fundamental Period)。T_i為結構之彈性基本週期 (Elastic Fundamental Period) ， K_i 為結構之彈性水平勁度 (Elastic Lateral Stiffness)(圖 2-11)，K_e為結構之有效水平勁度(Effective Lateral Stiffness)。一般K_e ≈K_i，因此T_e ≈T_i。

2.^S_a為反應譜中有效基本週期對應之加速度。

3.C₀為第一振態之振態參與因子(Participation Factor)。

1 為反應譜特徵週期(Characteristic Period of the Response Spectrum) ，此值的決定可參考 FEMA-273 。 Inelastic Strength Demand)，W 為結構總重。

5. C₂ 為遲滯形狀修正因子 (Hysteresis Shape Modification Factor)。查表(表 2-2)可得出，唯有需要時則作線性內插。

6.C₃為二次效應修正因子(Second-order Effect Modification Factor)。若結構進入非線性破壞前為正勁度者，C₃ =1；若

針方向。因此最外側之構架所承受的力除原有之水平力外還有扭矩產生之水平力，而其位移側是此一總外力除以此構架勁度。

之所以考慮此一扭矩分配理論，是因為如上述所提到的，此一扭矩分析需要建立三維分析模型才能求解，而二維分析模型只能對結構施予通過剛心的外力求解，無法真正的對有扭矩時所產生的反應作分析。但是我們亦知道三維模型的計算時程至少是二維模型好幾倍的時間。因此若能以二維模型作分析，配合扭矩分配理論作為分析的基礎去找出三維時應有的反應，則可大大的減少計算時間，同時得出令人滿意的結果。

2-6-2 偏心位移公式推導

由上述說明及平面圖可得知，當結構分析時受到一偏心扭矩 T 時其大小如下：

T=Pxex +Pyey (2-31) 式中P_x及P_y分別為 x 向及 y 向之作用力，e_x及e_y分別為 x 向及 y 向之偏心。

此外定義當結構完全無偏心扭矩時 x 向總勁度為^K_x及 y 向總勁度為^K_y，並假設總勁度平均分配於該向構架中(若直接計算每一構架之勁度，所費時間不貲。而從分析結論而知，即使假設總勁度平均分配亦有令人滿意的結果)，得 x 向單一構架勁度^k_x及 y 向之單一構架勁度^k_y、x 向 y 向單一構架勁度比k_n如下：

y y y x

x x

K P K P

= δ

= δ (2-32)

y y y x

x x

n k K n

k = K = (2-33)

y n x

k = k (2-34)

式(2-32)及式(2-33)中P_x 及^P_y為x 向及 y 向施予的外力，^δ_x及δ_y 分別為^P_x 造成之 x 向頂層位移及^P_y造成之 y 向頂層位移。ⁿ_x及ⁿ_y則為 x 向構架數及 y 向構架數。

由上述之平面圖中，假設各構架距離剛心長度為h_y₁、h_y₂…h_x₄，

將式(2-36)代入式(2-35)可得：

在文檔中房屋結構非線性分析方法之比較及簡化研究 (頁 13-24)