一般結構的變形分析可區分為線性和非線性，從圖2-1 常見的懸臂樑，
施予一F 力，得一位移 ν，若變形量小則 F 與 ν 呈線性關係，如圖 2-1(a) 所 示；反之，變形量大則為非線性問題，如圖2-1(b) 所示。
常見非線性應力分析有三類：1.幾何 2.材料 3.接觸分析等問題。這裡 假設分析的複材皆為線彈性材料，無塑變問題，邊界上也無接觸問題，只 考慮大位移下的幾何非線性問題。
幾何非線性也略分兩大類：1.大位移小應變 2.大位移大應變。前者是 指材料變形後應變值小，材料性質仍屬線彈性範圍，但位移量大Green’s 應 變仍是非線性，如彈性薄板的大撓曲問題。後者是指材料位移量和應變量 大，已經屬於材料非線性的問題，如金屬塑性加工或橡膠的大應變。因此 在有限元素分析中，非線性問題必須依賴數值疊代方法來做收斂性，如牛 頓－拉福森法來求解。
2-1 非線性薄板理論
在薄板非線性理論中較常使用的為von Karman plate 。考慮 一薄板的非線性問題，表面受z 方向的 q(x,y)均佈力，並且於板子邊緣施加 單位長度的相切力
theory
N 和正向力vs N ，如圖 2-2 所示，薄板Γ其厚度為 h。 v
2-1.1 非線性位移與應變場
計算前先由 Kirchhoff 假設：垂直於板子中性面的斷面在變形前和 變形後依舊垂直於中性面，並且假設為小應變量和旋轉量，其變形後 的位移場假設如下：
1 1 2 3
2-1.2 合力關係式
考慮薄板部分的受力情形，如圖 2-3(a)所示，其中Nx(Ny)表示x(y) 方向單位長度下的in-plane正向力，Nxy表示x方向單位長度下的in-plane 剪力；Mx(My)表示以y(x)方向為軸且單位長度下的彎矩；Mxy表示以x
(Strain Energy)
(1)U V ij ijdv V ij ij
dv (Potential Energy)(1)
law，因此這裡我們只觀察 i,j=1,2，其中w為均佈力q 的微小虚位移 量，
u
v和u
s分別為Nv正向力與N 相切力所產生的 in-plane 位移量。vs 相對於邊界來看，可視為 surface traction，其中 ρ 為板子密度、U 為位 移量。最後將(2.2)、(2.3)、(2.4)式帶入(2.5)式，並由總勢能 2.6 式，為 總應變能和總位勢能的總和，對其作一次變分等於零，如下：2.7(a)、(b)式為平面應力平衡方程式，2.7c 式可和古典板理論相比 較發現，由於考慮了 in-plane 的分佈力，多了非線性項次
示我們的正向應力，如下：
1 N Ii 為以等參單元(isoparameter)表示形狀函數(shape function)，另 乘上一個 5x5 的單位矩陣 I。2.11b 式為節點位移矩陣，m 為節點數。 為 Congruent Matrix，
..
e為 Global 節點加速度矩陣。由上式以有限單元法求得之非線性合力方程式，若已知施力大小 就可求得本文非線性靜力分析所需的 z 方向位移量，而在有限元素法 中做非線性分析需使用數值疊代方法做運算，則使用牛頓-拉福森法 (Newton Raphson Method)來做數值疊代和收斂，以下為此法的介紹，
並為之後彈性支承非線性靜力分析使用。
2-2.1 收斂準則
所以每一負荷增量內可切成若干個副增量，第一副增量結束後又 以 A 點為第二次搜尋的起始點，以此類推來求得非線性方程式的根，
而當負荷公差趨近於零則為收斂，繼續第二個負荷增量的搜尋，故負 荷增量和副增量的設定，將會影響搜尋時間與收斂性，因此在有限元 素非線性分析中必須有收斂公差為準則，如下：
( ( )k )
Fapp F u δ 為收斂公差 (2.19) 圖2-4 分析是收斂的，若是非線性函數太複雜或起始點位置F0不 對，疊代分析便會發散，無法求得準確的目標解，如圖2-5 所示，若 是增量和副增量取的不適當，便會錯過下一個搜尋的起始點，如圖2-5 的a點，導致求得的位移量不精確，且整個系統無法取得收斂值。