第二章 文獻探討
2.4 非齊次卜瓦松過程模型
NHPP 模型主要在於決定一個適合的均值函數（Mean Value Function），來表示 在特定時間內預期出現的失效次數並估計其機率（尾崎俊治，2000）。主要應用於 發生的事件會伴隨著時間而遞增或遞減的情形下，此部份與軟體測試時間愈長發 生錯誤（Bug）的次數會愈來愈少相似，且除了可預測各個時間點的累積錯誤數目 外，還可估計出特定時間點下發生錯誤的機率。因此，許多軟體可靠度成長模型 皆以 HNPP 模型為基礎來描述軟體測試後的可靠度成長情形。
Pham (2007)將 NHPP 模型分為以下四種類型：
1. NHPP 指數型（Exponential-Shaped）模型。
2. NHPP S 型（S-Shaped）模型。
3. NHPP 不完美除錯（Imperfect Debugging）模型。
4. NHPP 不完美除錯 S 型模型。
NHPP 模型為假設失效強度（Failure Intensity）與軟體內剩餘的錯誤數目成正 比，且可透過求解下列微分方程式而獲得（Pham et al., 1999）：
[
( )- ( )]
) ) (
( b t a t m t dt
t
dm = (2.3)
其中，m(t)為時間t 時期望偵測到之錯誤數目，即均值函數；a(t)為故障內容函數
（Fault-Content Function），即時間 t 時軟體中的總錯誤數目，包含原有的錯誤數目 與後來產生的錯誤數目；b(t)為每單位時間的錯誤偵測率（Fault Detection Rate）
函數。藉由代入不同的a(t)與b(t)之數值，即可獲得不同的 NHPP 模型（如表 1），
以下將針對幾種 NHPP 模型的基本假設進行說明。
表 1 NHPP 軟體可靠度模型與均值函數之整理
模型名稱 MVF(m(t) )
Goel-Okumoto
)
Delayed S-shaped
)
Inflection S-shaped
)
Yamada Exponential
)
Yamada Rayleigh
)
Yamada Exponential Imperfect Debugging Model Yamada Linear
Imperfect Debugging Model Pham–Nordmann–Zhang
Model
Pham–Zhang Model
)
2.4.1 NHPP 指數型模型
1. Goel-Okumoto 模型
Goel-Okumoto (G-O) 模型的基本假設為（Xie, 1991）：
(1) 在時間 t 時，累積偵測到的錯誤數目服從卜瓦松分配（Poisson Distribution）
之形式。
(2) 所有錯誤彼此之間互相獨立且被偵測到的機會皆相同。
(3) 失效發生時，偵測到的錯誤會立即被移除（即忽略移除錯誤的時間）且不 會產生新的錯誤。
假設a(t)=a和b(t)=b，且邊際條件（Boundary Condition）m(0)=0時，可得 到
) -(1 )
(t a e bt
m = − (2.4)
失效強度函數（Failure Intensity Function）則為 abe bt
t m'
t)≡ ( )= −
λ( (2.5)
2.4.2 NHPP S 型模型
1. 延遲 S 型模型
延遲 S 型（Delayed S-shaped, DSS）模型的基本假設為（Yamada et al., 1983）：
(1) 軟體在任何時間下的失效行為皆為系統中的錯誤所造成。
(2) 軟體的最初故障內容函數為一隨機變數。
(3) 第(k−1)次與第k次失效發生的間隔時間取決於第(k−1)次失效發生的時 間。
(4) 失效發生時，偵測到的錯誤會立即被移除且不會產生新的錯誤。
假設a(t)=a和b(t)=b2t/(1+bt)，且邊際條件m(0)=0時，可得到
]
曲折 S 型（Inflection S-shaped, ISS）模型的基本假設為（Ohba, 1984）：
(1) 軟體中的部分錯誤彼此互相依賴（有可能為一組無法偵測到之錯誤）。
Yamada 指數型不完美除錯模型（Yamada Exponential Imperfect Debugging Model, Y-ExpI）的基本假設為（Yamada et al., 1992）：
(1) 當偵測到的錯誤被移除時，有可能會產生新的錯誤。
(2) 錯誤偵測率與軟體中剩餘的錯誤數目成正比。
(3) 故障內容函數為指數型函數，而錯誤偵測率為一常數。
假設a(t)=aeαt和b(t)=b，其中，α 為錯誤產生率（Fault Introduction Rate），
且邊際條件m(0)=0時，可得到
) -( )
( e t e bt b
t ab
m −
= + α
α (2.10)
失效強度函數則為
)
(-)
( e t be bt b
t ab + −
= + α α
λ α (2.11)
2. Yamada 線性不完美除錯模型
Yamada 線性不完美除錯模型（Yamada Linear Imperfect Debugging Model, Y-LinI）的基本假設為（Yamada et al., 1992）：
(1) 當偵測到的錯誤被移除時，有可能會產生新的錯誤。
(2) 錯誤偵測率與軟體中剩餘的錯誤數目成正比。
(3) 錯誤產生率和錯誤偵測率皆為一常數。
假設a(t)=a(1+αt)和b(t)=b，其中，α 為錯誤產生率，且邊際條件m(0)=0 時，可得到
b at e
a t
m = −bt α +α ) -)(1
-1 ( )
( (2.12)
失效強度函數則為
b a abe
t bt α α
λ( )= − (1- )+ (2.13)
2.4.4 NHPP 不完美除錯 S 型模型
1. Pham–Nordmann–Zhang 模型
Pham–Nordmann–Zhang(P–N–Z)模型的基本假設為（Pham et al., 1999）： (1) 故障內容函數為一線性函數。
(2) 在除錯階段中會產生新的錯誤，且每偵測到一個錯誤的錯誤產生率為一常
Pham–Zhang (P–Z)模型的基本假設為（Pham & Zhang, 1997）：
(1) 故障內容函數為一指數型函數，即測試過程中，一開始的錯誤數目會較測